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1、2009年全国硕士研究生入学统一考试303 数学三试题一、单项选择题：18小题，每小题4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 请将所给选项前的字母填在答题纸指定位置上.1. 函数的可去间断点的个数为( )A. B. C. D. 无穷多个2. 当时，与是等价无穷小，则( )A. ， B. ，C. ， D. ，3. 使不等式成立的的范围是( )A. B. C. D. 4. 设函数在区间上的图形为1-2023-1O则函数的图形为( )0231-2-110231-2-11 A. B. 0231-110231-2-11 C. D. 5. 设，均为阶矩阵，分别为，的伴随
2、矩阵. 若，则分块矩阵的伴随矩阵为( )A. B. C. D. 6. 设，均为阶矩阵，为的转置矩阵，且. 若，则为( )A. B. C. D. 7. 设事件与事件互不相容，则( )A. B. C. D. 8. 设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为. 记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为( )A. B. C. D. 二、填空题：914小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.9. .10. 设，则 .11. 幂级数的收敛半径为 .12. 设某产品的需求函数为，其对价格的弹性，则当需求量为件时，价格增加元会使产品收益增加 元.13. 设，. 若矩阵相似于
3、，则 .14. 设，为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差. 记统计量，则 .三、解答题：1523小题，共94分. 请将解答写在答题纸指定位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 本题满分9分求二元函数的极值.16. 本题满分10分计算不定积分（）.17. 本题满分10分计算二重积分，其中.18. 本题满分11分（1）证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在内可导，则存在，使得.（2）证明：若函数在处连续，在（）内可导，且，则存在，且.19. 本题满分10分设曲线，其中是可导函数，且. 已知曲线与直线，及（）所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的立体体积值是该
4、曲边梯形面积值的倍，求该曲线的方程.20. 本题满分11分设，.（1）求满足，的所有向量，；（2）对（1）中的任意向量，证明，线性无关.21. 本题满分11分设二次型.（1）求二次型的矩阵的所有特征值；（2）若二次型的规范形为，求的值.22. 本题满分11分设二维随机变量的概率密度为.（1）求条件概率密度；（2）求条件概率.23. 本题满分11分袋中有个红球、个黑球与个白球. 现有放回地从袋中取两次，每次取一个球. 以，分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.（1）求；（2）求二维随机变量的概率分布.2010年全国硕士研究生入学统一考试303 数学三试题一、单项选择题：18小题，每小题
5、4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 请将所给选项前的字母填在答题纸指定位置上.1. 若，则( )A. B. C. D. 2. 设函数，是一阶线性非齐次微分方程的两个特解，若常数，使是该方程的解，是该方程对应的齐次方程的解，则( )A. ， B. ，C. ， D. ，3. 设函数、具有二阶导数，且，是的极值，则在处取得极大值的一个充分条件是( )A. B. C. D. 4. 设，则当充分大时有( )A. B. C. D. 5. 设向量组：，可由向量组：，线性表示，下列命题正确的是( )A. 若向量组线性无关，则 B. 若向量组线性相关，则C. 若向量组线性
6、无关，则 D. 若向量组线性相关，则6. 设是阶实对称矩阵，且，若，则相似于( )A. B. C. D. 7. 设随机变量的分布函数为，则( )A. B. C. D. 8. 设为标准正态分布的概率密度函数，为上均匀分布的概率密度函数，若（，），则，满足( )A. B. C. D. 二、填空题：914小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.9. 设可导函数由方程所确定，则 .10. 设位于曲线（）下方，轴上方的无界区域为，则绕轴旋转一周所得空间区域的体积为 .11. 设某商品的收益函数为，收益弹性为，其中为价格，则 .12. 若曲线有拐点，则 .13. 设，为阶矩阵，且，则
7、.14. 设，是来自总体（）的简单随机样本，记统计量，则 .三、解答题：1523小题，共94分. 请将解答写在答题纸指定位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 本题满分10分求极限.16. 本题满分10分计算二重积分，其中由曲线与直线及围成.17. 本题满分10分求函数在约束条件下的最大值和最小值.18. 本题满分10分（1）比较与（）的大小，说明理由；（2）设（），求极限.19. 本题满分10分设函数在上连续，在内存在二阶导数，且.（1）证明存在，使；（2）证明存在，使.20. 本题满分11分设，. 已知线性方程组存在个不同的解.（1）求，；（2）求方程组的通解.21. 本
8、题满分11分设，正交矩阵使得为对角矩阵. 若的第列为，求，.22. 本题满分11分设二维随机变量的概率密度为，求常数及条件概率密度.23. 本题满分11分箱中装有个球，其中红、白、黑球的个数分别为，. 现从箱中随机地取出个球，记为取出的红球个数，为取出的白球个数.（1）求随机变量的概率分布；（2）求.2011年全国硕士研究生入学统一考试303 数学三试题一、单项选择题：18小题，每小题4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 请将所给选项前的字母填在答题纸指定位置上.1. 已知当时，函数与是等价无穷小，则( )A. ， B. ，C. ， D. ，2. 设函数在
9、处可导，且，则( )A. B. C. D. 3. 设是数列，则下列命题正确的是( )A. 若收敛，则收敛B. 若收敛，则收敛C. 若收敛，则收敛D. 若收敛，则收敛4. 设，则，的大小关系是( )A. B. C. D. 5. 设为三阶矩阵，将的第二列加到第一列得到矩阵，再交换的第二行与第三行得到单位矩阵. 记，则( )A. B. C. D. 6. 设为矩阵，是非齐次线性方程组的三个线性无关的解，为任意常数，则的通解为( )A. B. C. D. 7. 设，为两个分布函数，其相应的概率密度，是连续函数，则必为概率密度的是( )A. B. C. D. 8. 设总体服从参数为（）的泊松分布，（）为来
10、自总体的简单随机样本，则对应的统计量，( )A. ， B. ，C. ， D. ，二、填空题：914小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.9. 设，则 .10. 设函数，则 .11. 曲线在点处的切线方程为 .12. 曲线，直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为 .13. 设二次型的秩为，中行元素之和为，则在正交变换下的标准形为 .14. 设二维随机变量服从，则 .三、解答题：1523小题，共94分. 请将解答写在答题纸指定位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 本题满分10分求极限.16. 本题满分10分已知函数具有二阶连续偏导数，是的极值
11、，. 求.17. 本题满分10分求不定积分.18. 本题满分10分证明方程恰有个实根.19. 本题满分10分设函数在区间具有连续的导数，且满足，（），求的表达式.20. 本题满分11分设向量组，不能由，线性表出. （1）求的值；（2）将，用，线性表示.21. 本题满分11分设为三阶实对称矩阵，的秩为，且.（1）求的所有特征值与特征向量；（2）求矩阵.22. 本题满分11分设随机变量与的概率分布分别为且.（1）求二维随机变量的概率分布；（2）求的概率分布；（3）求与的相关系数.23. 本题满分11分设二维随机变量服从区域上的均匀分布，其中是由，与围成的三角形区域.（1）求的边缘密度；（2）求条件
12、概率密度.2012年全国硕士研究生入学统一考试303 数学三试题一、单项选择题：18小题，每小题4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 请将所给选项前的字母填在答题纸指定位置上.1. 曲线渐近线的条数为( )A. B. C. D. 2. 设函数，其中为正整数，则( )A. B. C. D. 3. 设函数连续，则二次积分( )A. B. C. D. 4. 已知级数绝对收敛，条件收敛，则( )A. B. C. D. 5. 设，. 其中，为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )A. ， B. ，C. ， D. ，6. 设为三阶矩阵，为三阶可逆矩阵，且，则( )A
13、. B. C. D. 7. 设随机变量与相互独立，且都服从区间上的均匀分布，则( )A. B. C. D. 8. 设，为来自总体（）的简单随机样本，则统计量的分布为( )A. B. C. D. 二、填空题：914小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.9. .10. 设函数，求 .11. 设连续函数满足，则 .12. 由曲线和直线及在第一象限中围成的平面图形的面积为 .13. 设为三阶矩阵，为的伴随矩阵，若交换的第一行与第二行得到矩阵，则 .14. 设，是随机事件，与互不相容，则 .三、解答题：1523小题，共94分. 请将解答写在答题纸指定位置上. 解答应写出文字说明、证
14、明过程或演算步骤.15. 本题满分10分求极限.16. 本题满分10分计算二重积分，其中是以曲线，及轴为边界的无界区域.17. 本题满分10分某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为（万元）. 设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为（件）和（件），且固定两种产品的边际成本分别为（万元/件）与（万元/件）.（1）求生产甲乙两种产品的总成本函数（万元）；（2）当总产量为件时，甲、乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小成本；（3）求总产量为件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.18. 本题满分10分证明：（）.19. 本题满分10分已知函数满足方程及.（1）求的表达式
15、；（2）求曲线的拐点.20. 本题满分11分设，.（1）计算行列式；（2）当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解.21. 本题满分11分已知，二次型的秩为.（1）求实数的值；（2）求正交变换将化为标准形.22. 本题满分11分设二维离散型随机变量的概率分布为（1）求；（2）求.23. 本题满分11分设随机变量和相互独立，且均服从参数为的指数分布，. 求：（1）求的概率密度；（2）求.2013年全国硕士研究生入学统一考试303 数学三试题一、单项选择题：18小题，每小题4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 请将所给选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.
16、 当时，用“”表示比高阶的无穷小，则下列式子中错误的是( )A. B. C. D. 2. 函数的可去间断点的个数为( )A. B. C. D. 3. 设是圆域位于第象限的部分，记（），则( )A. B. C. D. 4. 设为正项数列，下列选项正确的是( )A. 若，则收敛B. 若收敛，则C. 若收敛，则存在常数，使存在D. 若存在常数，使存在，则收敛5. 设矩阵，均为阶矩阵，若，且可逆，则( )A. 矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价B. 矩阵的列向量组与矩阵的列向量组等价C. 矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价D. 矩阵的列向量组与矩阵的列向量组等价6. 矩阵与相似的充分必要条件为( )A
17、. ， B. ，为任意常数C. ， D. ，为任意常数7. 设，是随机变量，且，（），则( )A. B. C. D. 8. 设随机变量和相互独立，且和的概率分布分别为则( )A. B. C. D. 二、填空题：914小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.9. 设曲线和在点处有公共的切线，则 .10. 设函数由方程确定，则 .11. 求 .12. 微分方程的通解为 .13. 设是三阶非零矩阵，为的行列式，为的代数余子式，若（），则 .14. 设随机变量服从标准正态分布，则 .三、解答题：1523小题，共94分. 请将解答写在答题纸指定位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或
18、演算步骤.15. 本题满分10分当时，与为等价无穷小，求与的值.16. 本题满分10分设是由曲线、直线（）及轴所围成的平面图形，分别是绕轴、轴旋转一周所得旋转体的体积. 若，求的值.17. 本题满分10分设平面区域由直线、及围成. 计算.18. 本题满分10分设生产某产品的固定成本为元，可变成本为元/件，价格函数为，（是单价，单位：元；是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（1）该商品的边际利润；（2）当时的边际利润，并解释其经济意义；（3）使得利润最大的定价.19. 本题满分10分 设函数在上可导，且. 证明：（1）存在，使得；（2）对（1）中的，存在，使得.20. 本题满分11分设，. 当
19、，为何值时，存在矩阵使得，并求所有矩阵.21. 本题满分11分设二次型，记，.（1）证明二次型对应的矩阵为；（2）若，正交且均为单位向量，证明在正交变换下的标准形为.22. 本题满分11分设是二维随机变量，的边缘概率密度为，在给定（）的条件下，的条件概率密度为.（1）求的概率密度；（2）求的边缘概率密度；（3）求.23. 本题满分11分设总体的概率密度为，其中为未知参数且大于零. ，为来自总体的简单随机样本.（1）求的矩估计量；（2）求的最大似然估计量.2014年全国硕士研究生入学统一考试303 数学三试题一、单项选择题：18小题，每小题4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
20、是符合题目要求的. 请将所给选项前的字母填在答题纸指定位置上.1. 设，且，则当充分大时有( ) A. B. C. D. 2. 下列曲线中有渐近线的是( ) A. B. C. D. 3. 设. 当时，若是比高阶的无穷小，则下列选项中错误的是( ) A. B. C. D. 4. 设函数具有二阶导数，则在区间上( ) A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时，5. 行列式( ) A. B. C. D. 6. 设，均为三维向量，则对任意的常数，向量组，线性无关是向量组，线性无关的( ) A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件7. 设事件
21、与相互独立，且，则( ) A. B. C. D. 8. 设，为来自正态总体的简单随机样本，则统计量服从的分布为( ) A. B. C. D. 二、填空题：914小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.9. 设某商品的需求函数为（为商品的价格），则该商品的边际收益为 .10. 设是由曲线与直线及围成的有界区域，则的面积为 .11. 设，则 .12. 二次积分 .13. 设二次型的负惯性指数是，则的取值范围是 .14. 设总体的概率密度为，其中是未知参数，是来自总体的简单样本. 若，则 .三、解答题：1523小题，共94分. 请将解答写在答题纸指定位置上. 解答应写出文字说明、
22、证明过程或演算步骤.15. 本题满分10分求极限.16. 本题满分10分设平面区域，计算.17. 本题满分10分设函数具有连续导数，且满足.若，求的表达式.18. 本题满分10分求幂级数的收敛域及和函数.19. 本题满分10分设函数，在区间上连续，且单调增加，. 证明：（1），；（2）.20. 本题满分11分设矩阵，为三阶单位矩阵.（1）求方程组的一个基础解系；（2）求满足的所有矩阵.21. 本题满分11分证明阶矩阵与相似.22. 本题满分11分设随机变量的概率分布为. 在给定的条件下，随机变量服从均匀分布（）.（1）求的分布函数；（2）求.23. 本题满分11分设随机变量，的概率分布相同，的概率分布为，且与的相关系数.（1）求的概率分布；（2）求.
