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1、 2010年江苏省淮安市清江中学高考数学模拟试卷 2011 菁优网一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1、已知集合A=1，3，B=1，2，3，4，若集合P满足AP=且AP=B，则P=2，4考点：子集与交集、并集运算的转换。专题：计算题。分析：先根据AP=且AP=B分析出1P，3P，2P，4P，从而求出集合P解答：解：AP=且AP=B1P，3P，2P，4P则P=2，4故答案为：2，4点评：本题主要考虑集合子集与交集、并集运算的转换，以及分析问题解决问题的能力，属于基础题2、已知复数z满足（1+2i）z=5，则|z|=考点：复数代数形式的混合运算。分析：复数相等，则复数的模也相等，化简
2、可得结果解答：解：（1+2i）z=5|（1+2i）z|=5|（1+2i）|z|=5 即|z|=5|z|=故答案为：点评：本题考查复数代数形式的模的运算，是基础题3、（2006湖南）某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班其中甲班有40人，乙班50人现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是85分考点：众数、中位数、平均数。专题：计算题。分析：本题是一个加权平均数的问题，做出甲和乙两个班的总分数，除以两个班的总人数，就是这两个班的平均成绩解答：解：甲班有40人，乙班50人现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平
3、均成绩是81分，该校数学建模兴趣班的平均成绩是分故答案为：85点评：本题考查加权平均数，这种问题注意要每一个数据乘以它的权重，得到所有数据之和，再除以所有数的个数这种题目是初中教材上学习的内容4、已知函数f（x）=ex，曲线y=f（x）过点（1，0）的切线方程为x+y1=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程。专题：计算题。分析：欲求在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决解答：解：f（x）=ex，f/（x）=ex，设切点为P（x0，y0），则切线的斜率为，且，切线方程为，由于切线过点（1，0）
4、，切线方程为y=x+1故答案为：x+y1=0点评：本小题主要考查互相平行的直线的斜率间的关系、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题5、已知函数的图象过点A（3，7），则此函的最小值是6考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数的图象。专题：计算题。分析：把点A代入函数式求得a，求得函数的解析式，然后把解析式整理成x2+2利用基本不等式求得函数的最小值解答：解：依题意可知3+a=7a=4f（x）=x+=x2+22+2=6（当且仅当x2=即x=4时等号成立）故答案为：6点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用考查了学生对基本不等式基础知识的灵活
5、应用6、已知kZ，若，则ABC是直角三角形的概率是考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模；等可能事件的概率。专题：计算题。分析：本题考察的知识点是古典概型，我们根据及kZ易求出满足条件的所有的k，然后分类讨论ABC是直角三角形时k的取值情况，然后代入古典概型计算公式，即可得到答案解答：解：由及kZ知：k3，2，1，0，1，2，3，若垂直，则2k+3=0k=2；若与垂直，则k22k3=0k=1或3，所以ABC是直角三角形的概率是点评：古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的
6、相互关系是解决问题的关键解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解7、阅读下面的流程图，若输入a=6，b=1，则输出的结果是1考点：设计程序框图解决实际问题。专题：操作型。分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量x的值，模拟程序的运行，并将运行过程的各变量的值列表进行分析，不难得到最终输出的结果解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：a b x 是否继续循环循环前 6 1第一圈5 是第二圈 4 6 2 是第三圈 2 3 1 否故输出的结果为：1故答案为：1点评：根据流程
7、图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模8、过椭圆（ab0）的左顶点A作斜率为1的直线l与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若AM=MB，则该椭圆的离心率为考点：椭圆的简单性质。专题：计算题。分析：易知左顶点A的坐标为（a，0），从而设直线l的方程为：y=x+a，与y轴相交得到B（0a），再由AM=MB知M为线段AB的中点得M（），最后由M在椭圆上
8、求得a，c关系得到离心率解答：解：根据题意：左顶点A（a，0），直线l的方程为：y=x+aB（0a），又AM=MBM（）又M在椭圆上整理得：a2=3b2=3（a2c2）2a2=3c2故答案为：点评：本题主要考查椭圆的顶点，离心率以及a，b，c间的转化关系，同时还考查线与线的关系，点与椭圆的位置关系9、已知在平面直角坐标系xoy中，O（0，0），A（1，2），B（1，1），C（2，1）动点M满足条件，则的最大值为4考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：利用向量的坐标求法求出各个向量的坐标，利用向量的数量积公式求出各个数量积代入已知不等式得到M的坐标满足的不等式，将的值用不等式组中的式子
9、表示，利用不等式的性质求出范围解答：解：设M（x，y）则，故答案为4点评：本题考查向量的坐标形式的数量积公式、不等式的性质10、已知在一个样本中，40个数据分别落在4个组内，第一、二、四组数据个数分别为5、12、8，则第三组的频数为15考点：频率分布直方图。专题：图表型。分析：根据小组频数之和等于数据总和计算第三小组的频数解答：解：根据题意可得：40个数据分别落在4个组内，第一、二、四组数据个数分别为5、12、8，则第三组的频数为40（5+12+8）=15故答案为：15点评：本题是对频率、频数灵活运用的综合考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于111、给出下列命题：“p：x（0，
10、+），不等式axx2a恒成立”；q：“1是x的不等式（xa）（xa1）0的解”若两命题中有且只有一个是真命题，则实数a的取值范围是4，0）（0，1考点：交、并、补集的混合运算；命题的真假判断与应用。专题：计算题。分析：通过解决二次不等式恒成立求出p是真命题时a的范围，通过解二次不等式求出q是真命题时a的范围，“有且仅有一个真”分两类求出a的范围解答：解：若p真则有a2+4a0解得4a0若q真则有（1a）（1a1）0解得0a1两命题中有且只有一个是真命题则p真q假时，有4a0且a1或a04a0p假q真时，有a0或a4且0a10a1总之a4，0）（0，1故答案为4，0）（0，1点评：本题考查二次不
11、等式恒成立求参数范围、二次不等式的解法、分类讨论的数学思想方法12、在正三棱锥ABCD中，E、F是AB、BC的中点，EFDE，若BC=a，则正三棱锥ABCD的体积为考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。专题：计算题。分析：先证明三棱锥的三个顶角都是90，然后求出侧棱长，再求体积解答：解：EFAC，EFDEACDEACBD（正三棱锥性质）AC平面ABD所以正三棱锥ABCD是正方体的一个角，AB=正三棱锥ABCD的体积V=故答案为：点评：本题考查棱锥的体积，是中档题13、Sn为等差数列an的前n项的和，已知S150，S160，记（n=1，2，15），若bn最大，则n=8考点：等差数列的前n项和。专题：综合
12、题。分析：由等差数列的前n项和的公式分别表示出S150，S160，然后再分别利用等差数列的性质得到a8大于0且a9小于0，得到此数列为递减数列，前8项为正，9项及9项以后为负，由已知的不等式得到数列的前1项和，前2项的和，前15项的和为正，前16项的和，前17项的和，的和为负，所以得到b9及以后的各项都为负，即可得到b8为最大项，即可得到n的值解答：解：由S15=15a80，得到a80；由S16=8（a8+a9）0，得到a90，等差数列an为递减数列则a1，a2，a8为正，a9，a10，为负；S1，S2，S15为正，S16，S17，为负，则0，0，0，又S8S10，a1a80，得到0，故b8=
13、最大故答案为：8点评：此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道综合题14、数据1，2，x，1，2的平均数是0，则这组数据的方差是2考点：极差、方差与标准差。专题：计算题。分析：先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算解答：解：1+2+x12=0，解得x=0，方差S2=（10）2+（20）2+（00）2+（10）2+（20）2=2故答案为：2点评：本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，xn的平均数为，则方差S2=（x1）2+（x2）2+（xn）2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立二、解答题（共10小题，满分
14、90分）15、如图，A、B是单位圆O上的点，C、D分别是圆O与x轴的两个交点，ABO为正三角形（1）若点A的坐标为，求cosBOC的值；（2）若AOC=x（0x），四边形CABD的周长为y，试将y表示成x的函数，并求出y的最大值考点：在实际问题中建立三角函数模型；三角函数的最值；平面直角坐标系与曲线方程。专题：计算题。分析：（1）根据ABO为正三角形求得BOA，利用点A的坐标求得sinAOC和cosAOC，进而利用两角和公式求得cosBOC（2）利用余弦定理分别求得AC和BD，进而根据ABO为正三角形求得AB，CD可知，四边相加得到y的函数解析式，利用两角和公式化简整理后，利用x的范围和正弦函
15、数的性质求得函数的最大值解答：解：（1）ABO为正三角形BOA=60点A的坐标为tanAOC=，sinAOC=，cosAOC=cosBOC=cos（BOC+60）=cosBOCcos60sinBOCsin60=；（2）由余弦定理可知AC=2sin，BD=2sin（），AB=OB=1，CD=2，=，0x当x=时，ymax=5点评：本题主要考查了三角函数的最值，数学模型的应用考查了学生分析问题和解决问题的能力16、已知：正方体ABCDA1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点（1）求证：B1D1AE；（2）求证：AC平面B1DE；（3）求三棱锥ABDE的体积考点：直线与平面平行的判定；棱柱、
16、棱锥、棱台的体积。专题：证明题；综合题。分析：（1）先证BD面ACE，从而证得：B1D1AE；（2）作BB1的中点F，连接AF、CF、EF由E、F是CC1、BB1的中点，易得AFED，CFB1E，从而平面ACF面B1DE证得AC平面B1DE；（3）易知底为面ABD，高为EC，由体积公式求得三棱锥ABDE的体积解答：解：（1）证明：连接BD，则BDB1D1，（1分）ABCD是正方形，ACBDCE面ABCD，CEBD又ACCE=C，BD面ACE（4分）AE面ACE，BDAE，B1D1AE（5分）（2）证明：作BB1的中点F，连接AF、CF、EFE、F是CC1、BB1的中点，CEB1F，四边形B1F
17、CE是平行四边形，CFB1E（7分）E，F是CC1、BB1的中点，又，四边形ADEF是平行四边形，AFED，AFCF=F，B1EED=E，平面ACF面B1DE（9分）又AC平面ACF，AC面B1DE（10分）（3） （11分）（14分）点评：本题主要考查线面垂直和面面平行的判定定理，特别要注意作辅助线17、某企业去年年底给全部的800名员工共发放2000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a人（1）若a=9，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？（2）为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？考点：其
18、他不等式的解法；函数单调性的判断与证明；根据实际问题选择函数类型。专题：计算题。分析：（1）设从今年起的第x年（今年为第1年）该企业人均发放年终奖为y万元在计划时间内，列出该企业的人均年终奖，令其大于或等于3万元，求出最低年限，判断a=9是否满足题意（2）设1x1x210，利用函数的单调性定义，人均年终奖年年有增长，确定a的范围，然后确定该企业每年员工的净增量不能超过的人数解答：解：（1）设从今年起的第x年（今年为第1年）该企业人均发放年终奖为y万元则；（4分）由题意，有，解得，所以，该企业在10年内不能实现人均至少3万元年终奖的目标（2）设1x1x210，则f（x2）f（x1）=，所以，60
19、8002000a0，得a24所以，为使人均发放的年终奖年年有增长，该企业员工每年的净增量不能超过23人点评：本题考查其他不等式的解法，函数单调性的判断与证明，根据实际问题选择函数类型，考查逻辑思维能力，分析问题解决问题的能力，是中档题18、在平面区域内有一个圆，向该区域内随机投点，将点落在圆内的概率最大时的圆记为圆M（1）试求出圆M的方程；（2）设过点P（0，3）作圆M的两条切线，切点分别记为A、B，又过P作圆N：x2+y24x+y+4=0的两条切线，切点分别记为C、D，试确定的值，使ABCD考点：圆的一般方程；二元一次不等式（组）与平面区域；圆的切线方程。专题：计算题；数形结合。分析：（1）
20、先画出该平面区域，明确区域所围成的平面图形的形状，再由“落在圆内的概率最大时的圆”则为该平面图形的内切圆再由圆的相关条件求圆的方程（2）根据PMAB，PNCD，则要使ABCD，只要PMPN即可，即由，建立关于的方程来求解解答：解：（1）画出该区域得三角形ABC，顶点坐标分别为A（2，4），（4，1），（8，9），（2分）且为直角三角形，三边长分别为3，4，5（4分）由于概率最大，故圆M是ABC内切圆，R=，（5分）设M（a，b），则（7分）解得a=3，b=4（9分）所以圆M的方程为（x3）2+（y4）2=5（10分）（2）要使ABCD，则PMPN，（13分）N，P（0，3）求得=6（16分）点
21、评：本题主要考查平面区域的画法，三角形的内切圆的求法以及圆的切线的应用还考查了数形结合的思想方法19、已知数列an前n项的和为Sn，且有Sn+1=kSn+2 （nN*），a1=2，a2=1（1）试证明：数列Sn4是等比数列，并求an；（2）nN*，不等式恒成立，求正整数t的值；（3）试判断：数列an中任意两项的和在不在数列an中？请证明你的判断考点：数列与不等式的综合；不等式的综合；数列的函数特性；等比数列。专题：转化思想；反证法。分析：（1）利用n=1求出常数k的值，再根据等比数列的定义找出Sn+14与Sn4的倍数关系，从而得出等比数列，用通项公式求出an；（2）将已知不等式移项，变成恒小于
22、零的问题进行讨论，化分式不等式为整式不等式，根据2Sn+1an+1an+10，变形不等式为形如（xx1）（xx2）0的形式，得出，最后将an+1和Sn+1的表达式代入不等式，通过讨论得出t的取值；（3）运用反证法，先假设成立，通过变形、推理，得出矛盾，从而说明不存在解答：解：（1）由Sn+1=kSn+2（nN*），a1=2，a2=1，令n=1得k=（1分）Sn+1=Sn+2，即Sn+14=（Sn4），（2分）因为S14=2，Sn4是等比数列（3分）Sn4=（2）（）n1即Sn=41（）n，从而求得an=（）n2（5分）（2）由得即化简得：即at（2Sn+1an+1）1（atan+11）0（7分
23、）2Sn+1an+1an+10（9分）an=（）n2，Sn=41（）n即对nN*都成立，则（10分）易得关于n递减，关于n递增（11分）n=1时它们分别取得最大与最小，从而有即t=3或4时成立（12分）（3）不在（13分）假设存在两项am，an的和在此数列中，设为第k项，即am+an=ak（m，n，k互不相等）an=（）n2是关于n单调递减，不妨设kmn则有（）m2+（）n2=（）k2（*）（*）式两边同乘以2n2，则有2nm+1=2nk显然这是不可能成立的（16分）点评：本题是一道数列与不等式相结合的综合题，属于难题第一小问运用等比数列定义，得出通项公式，入手较容易；第二小问将不等式进行等价
24、变形，同时要注意数列an+1、Sn+1表达式的及时运用与代入，还要结合数列的单调性的讨论，才能正确找出t的值，是本题的难点；第三小问运用反证法的同时，应注意推导时的等价变形和整数解的讨论20、已知函数，a为正常数（1）若f（x）=lnx+（x），且，求函数f（x）的单调增区间；（2）若g（x）=|lnx|+（x），且对任意x1，x2（0，2，x1x2，都有，求a的的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义。专题：计算题；分类讨论。分析：（1）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f（x）0求得的区间是单调增区间，f（x）0求得的区间是单调减
25、区间，即可得到答案（2）设h（x）=g（x）+x，依题意得出h（x）在（0，2上是减函数下面对x分类讨论：当1x2时，当0x1时，利用导数研究函数的单调性从及最值，即可求得求a的的取值范围解答：解：（1），（2分），令f（x）0，得x2，或，函数f（x）的单调增区间为，（2，+）（6分）（2），（8分）设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2上是减函数当1x2时，令h（x）0，得：对x1，2恒成立，设，则，1x2，m（x）在1，2上递增，则当x=2时，m（x）有最大值为，（12分）当0x1时，令h（x）0，得：，设，则，t（x）在（0，1）上是增函数，t（x）t（1）=0，a0，（
26、15分）综上所述，（16分）点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题21、设数列an，bn满足an+1=3an+2bn，bn+1=2bn，且满足=M，试求二阶矩阵M考点：二阶矩阵。专题：计算题。分析：由题设得，设，则M=A4由此利用矩阵的运算法则能够求出二阶矩阵M解答：解：由题设得，设，则M=A4（5分）M=A4=（A2）2=（10分）点评：本题考查矩阵的运算法则，解题时要注意矩阵的乘法运算22、从1，2，3，4，5五个数中任意取出2个数做加法，其和为偶数的概率是考点：等可能事件的概率。专题：计算题。分
27、析：欲求和为偶数的概率，先列举出所有情况，看和为偶数的情况占总情况的多少即可解答：解：从1，2，3，4，5五个数中任意取出2个数做加法有：1+2，1+3，1+4，1+5，2+3，2+4，2+5，3+4，3+5，4+5十组，和是偶数的有4组，所以概率是故答案为：点评：情况较少可用列举法求概率，采用列举法解题的关键是找到所有存在的情况用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比属于基础题23、过直线y=1上的动点A（a，1）作抛物线y=x2的两切线AP，AQ，P，Q为切点（1）若切线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值（2）求证：直线PQ过定点考点：直线的斜率；恒过定点的直线。
28、专题：证明题。分析：（1）设过A作抛物线y=x2的切线的斜率为k，用选定系数法给出切线的方程，与抛物线方程联立消元得到关于x的一元二次方程，此一元二次方程仅有一根，故其判别式为0，得到关于k的一元二次方程，k1，k2必为其二根，由根系关系可求得两根之积为定值，即k1k2为定值（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），用其坐标表示出两个切线的方程，因为A点是两切线的交点将其坐标代入两切线方程，观察发现P（x1，y1），Q（x2，y2）的坐标都适合方程2axy+1=0上，因为两点确定一条直线，故可得过这两点的直线方程必为2axy+1=0，该线过定点（0，1）故证得解答：解：（1）设过A作抛物线y
29、=x2的切线的斜率为k，则切线的方程为y+1=k（xa），与方程y=x2联立，消去y，得x2kx+ak+1=0因为直线与抛物线相切，所以=k24（ak+1）=0，即k24ak4=0由题意知，此方程两根为k1，k2，k1k2=4（定值）（5分）（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由y=x2，得y=2x所以在P点处的切线斜率为：，因此，切线方程为：yy1=2x1（xx1）由y1=x12，化简可得，2x1xyy1=0同理，得在点Q处的切线方程为2x2xyy2=0因为两切线的交点为A（a，1），故2x1ay1+1=0，2x2ay2+1=0P，Q两点在直线2axy+1=0上，即直线PQ的方程为：
30、2axy+1=0当x=0时，y=1，所以直线PQ经过定点（0，1）（10分）点评：本题考察转化的技巧，（I）将两斜率之积为定值的问题转化 成了两根之积来求，（II）中将求两动点的连线过定点的问题 转化成了求直线系过定点的问题，转化巧妙，有艺术性24、（1）用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案？（2）用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花求恰有两个区域用红色鲜花的概率；考点：分步乘法计数原理；离散型随机变量及其分布列。
31、专题：计算题；分类讨论。分析：对于（1）根据分布计数原理依次摆放鲜花，可直接解得对于（2）求恰有两个区域用红色鲜花的概率设M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，把图二5个区域中的4个区域用A、B、D、E分别表示出来，然后分类讨论出当区域A、D同色时和当区域A、D不同色时的总的排列种数再求出有两个区域同用红色的种数，相除即可得到答案解答：解：（1）根据分步计数原理，摆放鲜花的不同方案有：4322=48种（2）设M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如下图，当区域A、D同色时，共有54313=180种；当区域A、D不同色时，共有54322=240种；因此，所有基本事件总数为：180+240=420种（由于只有A、D，B、E可能同色，故可按选用3色、4色、5色分类计算，求出基本事件总数为A53+2A54+A55=420种）它们是等可能的又因为A、D为红色时，共有433=36种；B、E为红色时，共有433=36种；因此，事件M包含的基本事件有：36+36=72种所以，P（M）=点评：此题主要考查分布乘法计数原理和简单的排列组合问题在实际中的应用，题中涉及到分类讨论思想，在高考中属于常用思想，同学们需要多加注意
