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1、 2012年中考数学圆部分练习题一解答题（共30小题）1（2012上海）如图，在半径为2的扇形AOB中，AOB=90，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）ODBC，OEAC，垂足分别为D、E（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域2（2012宁夏）在O中，直径ABCD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CFAD求D的度数3（2003大连）如图，在ABC中，以BC为直径的O交AB于D，交AC于E，BD=CE求证：AB=AC
2、4（2010长春）如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，求直尺的宽5（2012黔西南州）如图，ABC内接于O，AB=8，AC=4，D是AB边上一点，P是优弧的中点，连接PA、PB、PC、PD，当BD的长度为多少时，PAD是以AD为底边的等腰三角形？并加以证明6（2007哈尔滨）如图，AB是O的弦，矩形ABCD的边CD与O交于点E，F，AF和BE相交于点G，连接AE，BF（1）写出图中每一对全等的三角形（不再添加辅助线）；（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明7（2012
3、沈阳）如图，O是ABC的外接圆，AB是O的直径，D为O上一点，ODAC，垂足为E，连接BD（1）求证：BD平分ABC；（2）当ODB=30时，求证：BC=OD8（2012凉山州）如图，已知直径为OA的P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，连接PC并延长PC交y轴于点D（0，3）（1）求证：PODABO；（3）若直线l：y=kx+b经过圆心P和D，求直线l的解析式9（2012大庆）如图ABC中，BC=3，以BC为直径的O交AC于点D，若D是AC中点，ABC=120（1）求ACB的大小；（2）求点A到直线BC的距离10（2011孝感）如图，等边ABC内接于O，P是上任一点（点P不与点A、B重合
4、），连AP、BP，过点C作CMBP交PA的延长线于点M（1）填空：APC=_度，BPC=_度；（2）求证：ACMBCP；（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积11（2011广州）如图1，O中AB是直径，C是O上一点，ABC=45，等腰直角三角形DCE中DCE是直角，点D在线段AC上（1）证明：B、C、E三点共线；（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；（3）将DCE绕点C逆时针旋转（090）后，记为D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由12（2011长沙）如图，在O中，直
5、径AB与弦CD相交于点P，CAB=40，APD=65（1）求B的大小；（2）已知圆心0到BD的距离为3，求AD的长13（2011宁波）阅读下面的情景对话，然后解答问题：（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？（2）在RtABC中，C=90，AB=c，AC=b，BC=a，且ba，若RtABC是奇异三角形，求a：b：c；（3）如图，AB是O的直径，C是O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在O内存在点E，使AE=AD，CB=CE求证：ACE是奇异三角形；当ACE是直角三角形时，求AOC的度数14（2
6、012新疆）如图，圆内接四边形ABDC，AB是O的直径，ODBC于E（1）请你写出四个不同类型的正确结论；（2）若BE=4，AC=6，求DE15（2003甘肃）如图，ABC是圆内接正三角形，P为劣弧BC上一点，已知AB=，PA=6（1）求证：PB+PC=PA；（2）求PB、PC的长（PBPC）16（2004长春）如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为P，若AP：PB=1：4，CD=8，求直径AB的长17小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题如图1，在0中，C是劣弧AB的中点，直线CDAB于点E，则AE=BE请证明此结论；（
7、2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦如图2，PA，PB组成0的一条折弦C是劣弧AB的中点，直线CDPA于点E，则AE=PE+PB可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立请写出证明过程；（3）如图3，PAPB组成0的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CDPA于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明18（2012自贡）如图AB是O的直径，AP是O的切线，A是切点，BP与O交于点C（1）若AB=2，P=30，求AP的长；（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是O的切线19（2012资阳）如图，在ABC中，AB=AC，A=30，以
8、AB为直径的O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交O于点P，连接EP、CP、OP（1）BD=DC吗？说明理由；（2）求BOP的度数；（3）求证：CP是O的切线；如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证AOGCPG”；小强说：“过点C作CHAB于点H，证四边形CHOP是矩形”20（2012株洲）如图，已知AD为O的直径，B为AD延长线上一点，BC与O切于C点，A=30求证：（1）BD=CD；（2）AOCCDB21（2012孝感）如图，
9、AB是O的直径，AM，BN分别切O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分ADC（1）求证：CD是O的切线；（2）若AD=4，BC=9，求O的半径R22（2012张家界）如图，O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作O的切线DC，P点为优弧上一动点（不与A、C重合）（1）求APC与ACD的度数；（2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形（3）P点移动到什么位置时，APC与ABC全等，请说明理由23（2012厦门）已知：O是ABC的外接圆，AB为O的直径，弦CD交AB于E，BCD=BAC（1）求证：AC=AD；（2）过点C作直线CF，交AB的延长线于点F，若
10、BCF=30，则结论“CF一定是O的切线”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例24（2012随州）如图：已知直角梯形ABCD，B=90，ADBC，并且AD+BC=CD，O为AB的中点（1）求证：以AB为直径的O与斜腰CD相切；（2）若OC=8cm，OD=6cm，求CD的长25（2012莆田）如图，点C在以AB为直径的半圆O上，延长BC到点D，使得CD=BC，过点D作DEAB于点E，交AC于点F，点G为DF的中点，连接CG、OF、FB（1）求证：CG是O的切线；（2）若AFB的面积是DCG的面积的2倍，求证：OFBC26（2012南京）如图，A、B是O上的两个定点，P是O上的动点（P不与
11、A、B重合）、我们称APB是O上关于点A、B的滑动角（1）已知APB是O上关于点A、B的滑动角，若AB是O的直径，则APB=_；若O的半径是1，AB=，求APB的度数；（2）已知O2是O1外一点，以O2为圆心作一个圆与O1相交于A、B两点，APB是O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交O2于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索APB与MAN、ANB之间的数量关系27（2012济宁）如图，AB是O的直径，AC是弦，ODAC于点D，过点A作O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC（1）猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论（2）求证：
12、PC是O的切线28（2011淄博）已知：ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EFAC，垂足为F（1）求证：直线EF是O的切线；（2）当直线DF与O相切时，求O的半径29（2012佛山）如图，直尺、三角尺都和圆O相切，AB=8cm求圆O的直径30（2011无锡）如图，已知O（0，0）、A（4，0）、B（4，3）动点P从O点出发，以每秒3个单位的速度，沿OAB的边0A、AB、B0作匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动（1）当P在线段OA
13、上运动时，求直线l与以P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围；（2）当P在线段AB上运动时，设直线l分别与OA、OB交于C、D，试问：四边形CPBD是否可能为菱形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l的出发时间，使得四边形CPBD会是菱形参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2012上海）如图，在半径为2的扇形AOB中，AOB=90，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）ODBC，OEAC，垂足分别为D、E（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，D
14、OE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域考点：垂径定理；勾股定理；三角形中位线定理。702491 专题：探究型。分析：（1）根据ODBC可得出BD=BC=，在RtBOD中利用勾股定理即可求出OD的长；（2）连接AB，由AOB是等腰直角三角形可得出AB的长，再根据D和E是中点可得出DE=；（3）由BD=x，可知OD=，由于1=2，3=4，所以2+3=45，过D作DFOE，DF=，EF=x即可得出结论解答：解：（1）如图（1），ODBC，BD=BC=，OD=；（2）如图（2），存在，DE是不变的连接AB，则AB=2，D和E是中点，DE=AB=；（3）如图（3），BD=x，OD=，1
15、=2，3=4，2+3=45，过D作DFOEDF=，EF=x，y=DFOE=（0x）点评：本题考查的是垂径定理、勾股定理、三角形的性质，综合性较强，难度中等2（2012宁夏）在O中，直径ABCD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CFAD求D的度数考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质。702491 分析：连接BD，根据平行线的性质可得：BDCF，则BDC=C，根据圆周角定理可得BDC=BOC，则C=BOC，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解解答：解：方法一：连接BD ABO是直径，BDAD又CFAD，BDCF，BDC=C又BDC=BOC，C=BOCABCD，C=30，ADC=60方法二：设
16、D=x，CFAD，ABCD，A=A，AFOAED，D=AOF=x，AOC=2ADC=2x，x+2x=180，x=60，ADC=60点评：本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质，正确得到C=BOC是解题的关键3（2003大连）如图，在ABC中，以BC为直径的O交AB于D，交AC于E，BD=CE求证：AB=AC考点：垂径定理；等腰三角形的判定。702491 专题：证明题。分析：本题要证边相等，我们可通过证角相等来实现那么可通过构建全等三角形来求解，如果连接CD，BE，根据圆周角定理我们不难得出BDC=BEC=90，而BD=CE，则弧BD=弧CE，因此EBC=DCB，而三角形BEC和CBD又共用了
17、一条公共边BC，因此两三角形全等，即可得出ABC=ACB，根据等角对等边就可得出所求的结论解答：证明：连接BE，CD，则BDC=CEB=90BD=CE，弧BD=弧CEEBC=DCBBC=CB，BECCDB（AAS）ABC=ACBAB=AC点评：本题主要考查了全等三角形的判定以及圆周角定理，通过构建全等三角形来得出角相等是解题的关键4（2010长春）如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，求直尺的宽考点：垂径定理的应用；勾股定理。702491 分析：过点O作OMDE于点M，连接OD根据垂径定理
18、“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”和勾股定理进行计算解答：解：过点O作OMDE于点M，连接ODDM=DE=8，DM=4在RtODM中，OD=OC=5，OM=3直尺的宽度为3cm点评：综合运用了垂径定理和勾股定理5（2012黔西南州）如图，ABC内接于O，AB=8，AC=4，D是AB边上一点，P是优弧的中点，连接PA、PB、PC、PD，当BD的长度为多少时，PAD是以AD为底边的等腰三角形？并加以证明考点：垂径定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系。702491 专题：探究型。分析：根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解解答：解：当BD=4时
19、，PAD是以AD为底边的等腰三角形理由如下：P是优弧的中点，弧PB=弧PCPB=PC在PBD与PCA中，PBDPCAPD=PA，即PAD是以AD为底边的等腰三角形点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，全等三角形的判定和性质，难度中等6（2007哈尔滨）如图，AB是O的弦，矩形ABCD的边CD与O交于点E，F，AF和BE相交于点G，连接AE，BF（1）写出图中每一对全等的三角形（不再添加辅助线）；（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明考点：圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定。702491 专题：证明题；开放型。分析：（1）根据已知及全等三角形的判定方法进行分析即可；（
20、2）利用矩形的对边平行和圆中同弧和相等的弧所对的角相等来找三角形全等的条件解答：解：（1）ADEBCF；ADFBCE：AEGBFG；AEBBFA；AEFBFE（只要正确写出两对全等三角形给1分，每多写出一对全等三角形增加1分，全写对得4分）（2）以AEBBFA为例：证明：ABCD，AFE=FAB在O中，AFE=ABE，ABE=FAB在O中，AEB=BFA，在AEB和BFA中，AEBBFA点评：全等三角形较多时，要有规律的去找先找单个全等的，再找两个或两个以上部分组成的三角形全等证在圆中的三角形全等时需注意利用圆中同弧和相等的弧所对的角相等来找三角形全等的条件7（2012沈阳）如图，O是ABC的
21、外接圆，AB是O的直径，D为O上一点，ODAC，垂足为E，连接BD（1）求证：BD平分ABC；（2）当ODB=30时，求证：BC=OD考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形；垂径定理。702491 专题：证明题。分析：（1）由ODAC OD为半径，根据垂径定理，即可得=，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分ABC；（2）首先由OB=OD，易求得AOD的度数，又由ODAC于E，可求得A的度数，然后由AB是O的直径，根据圆周角定理，可得ACB=90，继而可证得BC=OD解答：证明：（1）ODAC OD为半径，=，CBD=ABD，BD平分ABC；（2）OB=OD，OBD
22、=0DB=30，AOD=OBD+ODB=30+30=60，又ODAC于E，OEA=90，A=180OEAAOD=1809060=30，又AB为O的直径，ACB=90，在RtACB中，BC=AB，OD=AB，BC=OD点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用8（2012凉山州）如图，已知直径为OA的P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，连接PC并延长PC交y轴于点D（0，3）（1）求证：PODABO；（3）若直线l：y=kx+b经过圆心P和D，求直线l的解析式考点：圆周角定理；待定系数法求一次函数解析式；全等三角形的判定。7024
23、91 分析：（1）首先连接PB，由直径为OA的P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，可求得APB=DPO=60，ABO=POD=90，即可得PAB是等边三角形，可得AB=OP，然后由ASA，即可判定：PODABO；（2）易求得PDO=30，由OP=ODtan30，即可求得点P的坐标，然后利用待定系数法，即可求得直线l的解析式解答：（1）证明：连接PB，直径为OA的P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，APB=DPO=180=60，ABO=POD=90，PA=PB，PAB是等边三角形，AB=PA，BAO=60，AB=OP，BAO=OPD，在POD和ABO中，PODABO（ASA）；（2）
24、解：由（1）得PODABO，PDO=AOB，AOB=APB=60=30，PDO=30，OP=ODtan30=3=，点P的坐标为：（，0），解得：，直线l的解析式为：y=x+3点评：此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式此题综合性较强，难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用9（2012大庆）如图ABC中，BC=3，以BC为直径的O交AC于点D，若D是AC中点，ABC=120（1）求ACB的大小；（2）求点A到直线BC的距离考点：圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形。702491 分
25、析：（1）根据垂直平分线的性质得出AB=BC，进而得出A=C=30即可；（2）根据BC=3，ACB=30，BDC=90，得出CD的长，进而求出AE的长度即可解答：解：（1）连接BD，以BC为直径的O交AC于点D，BDC=90，D是AC中点，BD是AC的垂直平分线，AB=BC，A=C，ABC=120，A=C=30，即ACB=30；（2）过点A作AEBC于点E，BC=3，ACB=30，BDC=90，cos30=，CD=，AD=CD，AC=3，在RtAEC中，ACE=30，AE=3=点评：此题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，根据已知得出CD的长度是解题关键
26、10（2011孝感）如图，等边ABC内接于O，P是上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CMBP交PA的延长线于点M（1）填空：APC=60度，BPC=60度；（2）求证：ACMBCP；（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积考点：圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；梯形。702491 专题：几何综合题。分析：（1）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角；（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等即可；（3）利用上题证得的两三角形全等判定PCM为等边三角形，进而求得PH的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可解答
27、：（1）解：APC=60，BPC=60；（2）证明：CMBP，BPM+M=180，PCM=BPC，BPC=BAC=60，PCM=BPC=60，M=180BPM=180（APC+BPC）=180120=60，M=BPC=60，又A、P、B、C四点共圆，PAC+PBC=180，MAC+PAC=180MAC=PBCMAC=PBC，AC=BC，ACMBCP；（3）解：ACMBCP，CM=CP AM=BP，又M=60，PCM为等边三角形，CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，作PHCM于H，在RtPMH中，MPH=30，PH=，S梯形PBCM=（PB+CM）PH=点评：本题考查了圆周角定
28、理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及梯形的面积计算方法，是一道比较复杂的几何综合题11（2011广州）如图1，O中AB是直径，C是O上一点，ABC=45，等腰直角三角形DCE中DCE是直角，点D在线段AC上（1）证明：B、C、E三点共线；（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；（3）将DCE绕点C逆时针旋转（090）后，记为D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由考点：圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理；旋转的性质。702491 专题：证明题。分
29、析：（1）根据直径所对的圆周角为直角得到BCA=90，DCE是直角，即可得到BCA+DCE=90+90=180；（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，先证明RtBCDRtACE，得到BD=AE，EBD=CAE，则CAE+ADF=CBD+BDC=90，即BDAE，再利用三角形的中位线的性质得到ON=BD，OM=AE，ONBD，AEOM，于是有ON=OM，ONOM，即ONM为等腰直角三角形，即可得到结论；（3）证明的方法和（2）一样解答：（1）证明：AB是直径，BCA=90，而等腰直角三角形DCE中DCE是直角，BCA+DCE=90+90=180，B、C、E三点共线；（2）连接BD，AE
30、，ON，延长BD交AE于F，如图1，CB=CA，CD=CE，RtBCDRtACE，BD=AE，EBD=CAE，CAE+ADF=CBD+BDC=90，即BDAE，又M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而O为AB的中点，ON=BD，OM=AE，ONBD，AEOM；ON=OM，ONOM，即ONM为等腰直角三角形，MN=OM；（3）成立理由如下：如图2，连接BD1，AE1，ON1，ACBACD1=D1CE1ACD1，BCD1=ACE1，又CB=CA，CD1=CE1，BCD1ACE1，与（2）同理可证BD1AE1，ON1M1为等腰直角三角形，从而有M1N1=OM1点评：本题考查了直径所对的圆周角为直
31、角和三角形中位线的性质；也考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及旋转的性质12（2011长沙）如图，在O中，直径AB与弦CD相交于点P，CAB=40，APD=65（1）求B的大小；（2）已知圆心0到BD的距离为3，求AD的长考点：圆周角定理；三角形内角和定理；三角形中位线定理。702491 专题：几何综合题。分析：（1）由同弧所对的圆周角相等求得CAB=CDB=40，然后根据平角是180求得BPD=115；最后在BPD中依据三角形内角和定理求B即可；（2）过点O作OEBD于点E，则OE=3根据直径所对的圆周角是直角，以及平行线的判定知OEAD；又由O是直径AB的半径可以判定O是
32、AB的中点，由此可以判定OE是ABD的中位线；最后根据三角形的中位线定理计算AD的长度解答：解：（1）CAB=CDB（同弧所对的圆周角相等），CAB=40，CDB=40；又APD=65，BPD=115；在BPD中，B=180CDBBPD=25；（2）过点O作OEBD于点E，则OE=3AB是直径，ADBD（直径所对的圆周角是直角）；OEAD；又O是AB的中点，OE是ABD的中位线，AD=2OE=6点评：本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的中位线定理、圆周角定理解答（1）时，还可以利用外角定理来求B的度数13（2011宁波）阅读下面的情景对话，然后解答问题：（1）根据“奇异三角形”的定义，请
33、你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？（2）在RtABC中，C=90，AB=c，AC=b，BC=a，且ba，若RtABC是奇异三角形，求a：b：c；（3）如图，AB是O的直径，C是O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在O内存在点E，使AE=AD，CB=CE求证：ACE是奇异三角形；当ACE是直角三角形时，求AOC的度数考点：勾股定理；等边三角形的性质；圆周角定理。702491 专题：新定义。分析：（1）根据“奇异三角形”的定义与等边三角形的性质，求证即可；（2）根据勾股定理与奇异三角形的性质，可得a2+b2=c2与a2+c2
34、=2b2，用a表示出b与c，即可求得答案；（3）AB是O的直径，即可求得ACB=ADB=90，然后利用勾股定理与圆的性质即可证得；利用（2）中的结论，分别从AC：AE：CE=1：与AC：AE：CE=：1去分析，即可求得结果解答：解：（1）设等边三角形的一边为a，则a2+a2=2a2，符合奇异三角形”的定义是真命题；（2）C=90，则a2+b2=c2，RtABC是奇异三角形，且ba，a2+c2=2b2，由得：b=a，c=a，a：b：c=1：；（3）AB是O的直径，ACB=ADB=90，在RtACB中，AC2+BC2=AB2，在RtADB中，AD2+BD2=AB2，点D是半圆的中点，=，AD=BD
35、，AB2=AD2+BD2=2AD2，AC2+CB2=2AD2，又CB=CE，AE=AD，AC2+CE2=2AE2，ACE是奇异三角形；由可得ACE是奇异三角形，AC2+CE2=2AE2，当ACE是直角三角形时，由（2）得：AC：AE：CE=1：或AC：AE：CE=：1，当AC：AE：CE=1：时，AC：CE=1：，即AC：CB=1：，ACB=90，ABC=30，AOC=2ABC=60；当AC：AE：CE=：1时，AC：CE=：1，即AC：CB=：1，ACB=90，ABC=60，AOC=2ABC=120AOC的度数为60或120点评：此题考查了新定义的知识，勾股定理以及圆的性质，三角函数等知识解
36、题的关键是理解题意，抓住数形结合思想的应用14（2012新疆）如图，圆内接四边形ABDC，AB是O的直径，ODBC于E考点：圆周角定理；全等三角形的判定；等边三角形的性质。702491 专题：几何综合题；压轴题。分析：（1）连接PB，在PA上截取PE=PB，连接BE，则有BEP是等边三角形，由SAS证得ABECBP，则AP=CP，得到AP=AE+PE=PB+PC；（2）由于APB=ACB=60，因此可用余弦定理求解解答：（1）证明：连接PB，在PA上截取PE=PB，连接BE；ABC是等边三角形，ACB=APB，ACB=APB=60，AB=BC；BEP是等边三角形，BE=PE=PB；ACBEBC
37、=APBEBC=60EBC；ABE=CBP；在ABE与CBP中，ABECBP；AE=CP；AP=AE+PE=PB+PC（2）解：由余弦定理知，PB2+AP2AB2=2PAPBcosAPB；PB2+3628=6AB，PB26PB+8=0；解得PB=4或PB=2；所以PA=2，PB=4或PA=4，PB=2点评：本题通过构造等边三角形，利用等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、余弦定理等知识求解（1）请你写出四个不同类型的正确结论；（2）若BE=4，AC=6，求DE考点：垂径定理；勾股定理；三角形中位线定理；圆周角定理。702491 专题：计算题。分析：（1）由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周
38、角为直角可得出ACB为直角；由OD垂直于BC，利用垂径定理得到E为BC的中点，即BE=CE，=，由OD垂直于BC，AC也垂直于BC，利用垂直于同一条直线的两直线平行可得出OD与AC平行；（2）由OD垂直于BC，利用垂径定理得到E为BC的中点，由BE的长求出BC的长，由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角可得出ACB为直角，在直角三角形ABC中，由BC与AC的长，利用勾股定理求出AB的长，进而求出半径OB与OD的长，在直角三角形BOE中，由OB与BE的长，利用勾股定理求出OE的长，由ODOE即可求出DE的长解答：解：（1）四个不同类型的正确结论分别为：ACB=90；BE=CE；=；ODAC
39、；（2）ODBC，BE=4，BE=CE=4，即BC=2BE=8，AB为圆O的直径，ACB=90，在RtABC中，AC=6，BC=8，根据勾股定理得：AB=10，OB=5，在RtOBE中，OB=5，BE=4，根据勾股定理得：OE=3，则ED=ODOE=53=2点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，以及平行线的判定，熟练掌握定理是解本题的键15（2003甘肃）如图，ABC是圆内接正三角形，P为劣弧BC上一点，已知AB=，PA=6（1）求证：PB+PC=PA；（2）求PB、PC的长（PBPC）16（2004长春）如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为P，若AP：PB=1：4，CD=8，求
40、直径AB的长考点：垂径定理；相交弦定理。702491 分析：AB是直径，ABCD所以利用垂径定理得到CP=PD，再利用相交弦定理就可以得到CP2=APBP，然后求出直径的长解答：解：AB为直径，CDABPC=PDCD=8PC=PD=4（3分）设AP=x，则PB=4x由相交弦定理，得x4x=44x=2AB的长为10（6分）点评：此题比较简单，主要考查垂径定理和相交弦定理的应用17小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题如图1，在0中，C是劣弧AB的中点，直线CDAB于点E，则AE=BE请证明此结论；（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦如图2，PA，PB组成0的一条折弦C是劣弧AB的中点，直线CDPA于点E，则AE=PE+PB可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立请写出证明过程；（3）如图3，PAPB组成0的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CDPA于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明考点：圆心角、弧、弦的关系。702491 专题：证明题；探究型。分析：（1）连接AD，BD，易证ADB为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一这一性质，可以证得AE=BE（2）根据圆内接四边形的性质，先CDA=
