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1、2012年全国各地中考数学压轴题专集答案圆八、圆1（北京模拟）在ABC中，分别以AB、AC为直径在ABC外作半圆O1和半圆O2，其中O1和O2分别为两个半圆的圆心F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点（1）如图1，连接O1F，O1D，DF，O2F，O2E，EF，证明：DO1FFO2E；（2）如图2，过点A分别作半圆O1和半圆O2的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连接PQ，若ACB90，DB5，CE3，求线段PQ的长；（3）如图3，过点A作半圆O2的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连接PA求证：PA是半圆O1的切线AO1CB
2、O2EDFPQ图2AO1CBO2EDF图1图3AO1CBO2EDFPQ（1）证明：O1，O2，F分别是AB，AC，BC边的中点AO1CBO2EDFO1FAC且O1FAO2，O2FAB且O2FAO1BO1FBAC，CO2FBACBO1FCO2F点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点O1FAO2O2E，O2FAO1O1D，BO1D90，CO2E90BO1DCO2E，DO1FFO2EDO1FFO2EAO1CBO2EDFPQG（2）解：延长CA至G，使AGAQ，连接BG、AE点E是半圆O2圆弧的中点，AECE3AC为半圆O2的直径，AEC90ACECAE45，AC3AQ是半圆O2的切线，CAAQ，CAQ9
3、0AQEACE45，GAQ90，AQACAG3同理：BAP=90，AB=AP5CG6，GABQAPAQPAGB，PQBGACB90，BC4BG2，PQ2（3）设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CGMF于G，过B作BHMF于H，连接DH、AD、DMF是BC边的中点，SABF SACF ，BHCG由（2）知，CAQ90，ACAQ，2390FMPQ，2190，13同理：24AO1CBO2EDFPQMGHAMQCGA，AMCG，AMBH同（2）可证ADBD，ADBADP90ADBAHB90，ADPAMP90A、D、B、H四点在以AB为直径的圆上A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上且DBHDAH180
4、58，67DAMDAH180，DBHDAMDBHDAM，59HDM90，57906890，PAB90，PAAB又AB是半圆O1的直径，PA是半圆O1的切线2（上海）如图，在半径为2的扇形AOB中，AOB90，点C是上的一个动点（不与点A、B重合），ODBC，OEAC，垂足分别为D、E（1）当BC1时，求线段OD的长；（2）在DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由；（3）设BDx，DOE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域AECDOB解：（1）ODBC，BD BC 在RtBOD中，OD AECDOB（2）存在，长度保持不变的边为DE连
5、接ABOAOB2，AOB90，AB 2ODBC，OEAC，D是BC中点，E是AC中点DE AB（3）连接OC，过D作DFOE于FOD2，BDx，OD OAOBOC，ODBC，OEACAECDOBF12，34AOB90，DOE45在RtDOF中，DFOF 在RtDFE中，EF xy OEDF ( x )即y （0x ）3（上海模拟）BACNPM如图，已知在ABC中，AB15，AC20，cotA2，P是边AB上的一个动点，P的半径为定长当点P与点B重合时，P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且P与边AC相交于点M和点N时，设APx，MNy（1）求P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它
6、的定义域；（3）当AP6 时，试比较CPN与A的大小，并说明理由解：（1）过B作BDAC于DP与边AC相切，BD是P的半径BACNPMDHcotA2，sinA 又sinA ，AB15，BD3（2）过P作PHMN于H则PH x，PMBD3MH y2MH2 即y （3x 15）（3）当AP6 时，CPNA理由如下：当AP6 时，PH6，MH3，AH12，AM9AC20，MN6，CN5 ， ， 又PMPN，PMNPNMAMPPNC，AMPPNCCPNA4（上海模拟）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，B60，AB10，AD4，M与BAD的两边相切，点N在射线AB上，N与M是等圆，且两圆
7、外切（1）设ANx，M的半径为y，求y关于x的函数关系式；（2）当x为何值时，M与CD相切？（3）直线CD被M所截得的弦与直线BC被N所截得的弦的长是否可能相等？如果能，求出符合要求的x的值；如果不能，请说明理由AMCBDN解：（1）连接AM、MN，设M与AB相切于点E，连接MEAMCBDNEN与M是等圆，且两圆外切在RtMNE中，MN2ME，ANM30ADBC，B60，BAD120M与BAD的两边相切NAM60，AMN90在RtAMN中AM AN xMEAMsin60 x即y x（x 0）AMCBDNGF（2）设M分别与AD、CD相切于点F、G，连接MA、MF、MG则MFFDMGy且AFMF
8、cot60 y x xAD4，AFFDAD， x x4x8( 1 )（3）作NHBC于点H若直线CD被M所截得的弦与直线BC被N所截得的弦的长相等，则弦心距MGNHAMCBDNHFG当点N在线段AB上时AB10，BN10xFDMGNHBNsin60 (10x )AMCBDNHFGAF x，AFFDAD， x(10x )4x 当点N在AB延长线上时则FDMGNHBNsin60 ( x10 ) x( x10 )4x 当x 或x 时，直线CD被M所截得的弦与直线BC被N所截得的弦的长相等5（上海模拟）已知：半圆O的半径OA4，P是OA延长线上一点，过线段OP的中点B作OP的垂线交半圆O于点C，射线P
9、C交半圆O于点D，连接OD（1）当时，求弦CD的长；（2）设PAx，CDy，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（3）设CD的中点为E，射线BE与射线OD交于点F，当DF1时，求tanP的值BAOPCDAO备用图AO备用图解：（1）连接OCBAOPCDE当时，POCDOCBC垂直平分OP，PCOC4PPOCDOCDOCDPO， 即 ，解得CD22（2）作OECD于E，则CEDE y当点C在上时PBCPEO90，PPPBCPEO， 即 ，y x 22x4显然，B不与A重合，x4当D与C重合时，PC是半圆O的切线PCOC，PCO90此时PCO是等腰直角三角形OPOC，即x44，x44D不与C
10、重合，x4444x4y x 22x4（44x4）当点C在外时BAOPCDE同理，PBCPEO， 即 ，y x 22x4（0x44）（3）当点C在上时，过D作DGOP交BF于G则DEGPEB，DEFOBFBAOPCDEFG ，即 ，解得 1CE1，PE5，OE tanP 当点C在外时，过D作DGOP交BE于GBAOPCDEFG则DEGPEB，DFGBFO ，即 ，解得 1CE1，PE3，OE tanP 6（上海模拟）在RtABC中，C90，AC6，sinB ，B的半径长为1，B交边BC于点P，点O是边AB上的动点（1）如图1，将B绕点P旋转180得到M，请判断M与直线AB的位置关系；（2）在（1
11、）的条件下，当OMP是等腰三角形时，求OA的长；（3）如图2，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的N和以OA为半径的O外切，设NBy，OAx，求y关于x的函数关系式及定义域ABCN图2OABCP图1ABCPMD解：（1）在RtABC中，C90，AC6，sinB AB10，BC 8过点M作MDAB于D在RtMDB中，MDB90，sinB MB2，MD 2 1M与直线AB相离ABCPMO（2）MD 1MP，OM MP若OPMP，易得MOB90cosB ，OB OA10 ABCPMOE若OMOP，过O作OEBC于EcosB ，OB OA10 当OMP是等腰三角形时，OA的长为 或 （3）连接ON
12、，过N作NFAB于FABCNOF在RtNFB中，NFB90，sinB ，NByNF y，BF y，OF10x yN和O外切，ONxy在RtNFB中，ON 2OF 2NF 2( xy )2( 10x y )2( y )2y （0x 5）7（上海模拟）如图，O的半径为6，线段AB与O相交于点C、D，AC4，BODA，OB与O相交于点E，设OAx，CDyABDCEO（1）求BD的长；（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当CEOD时，求AO的长解：（1）OCOD，OCDODC，OCAODBABDCEOBODA，OBDAOC， OCOD6，AC4， ，BD9（2）OBDAOC，AOCB又A
13、A，ACOAOB， ABACCDBDy13， y x 2130y 8，0 x 21312，解得2 x 10定义域为2 x 10（3）OCOE，CEODCODBODAAOD180AODC180CODOCDADOADAO，y4x， x 2134xx22（舍去负值）AO228（安徽某校自主招生）如图，ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，且直线AH交BC于F设D、E、G分别为内切圆I与边BC、CA、AB的切点，求证：GEIAHFDCB（1）AGDF； （2）D、H、E三点共线证明：（1）由题意I为ABC的内心，所以ABHHBFAFBH，AHBFHB90又BHBH，AHBFHB，ABBF
14、又由切线长定理，得BGBDGEIAHFDCBAGDF（2）连接DE、EH、AI、EIAEIAHI90，A、E、H、I四点在以AI为直径的圆上AEHAIBI为ABC的内心，AIB90 CAEH90 CCDCE，DEC 90 CAEHDEC180D、H、E三点共线9（安徽某校自主招生）如图，扇形OMN的半径为1，圆心角90，点B是上一动点，BAOM于点A，BCON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q（1）求证：四边形EPGQ是平行四边形；（2）探索OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形；NOM备用图NOMBCGFDAQEP（3）
15、试说明3PQ 2OA 2是定值（1）证明：AOC90，BAOM，BCON四边形OABC是矩形，ABOC，ABOCNOMBCGFDAQEPE、G分别是AB、CO的中点AEGC，AEGC四边形AECG为平行四边形，CEAG连接OB点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点GFOB，DEOB，PGEQ四边形EPGQ是平行四边形（2）当CED90时，EPGQ是矩形此时AEDCEB90NOMBCGFDAQEP又DAEEBC90，AEDBCEAEDBCE， 设OAx，ABy，则 ，得y 22x 2又OA 2AB 2OB 2，即x 2y 21 2x 22x 21，解得x NOMBCGFDAQEP
16、BAO当OA的长为 时，四边形EPGQ是矩形（3）连接GE交PQ于点O，则OPOQ，OGOE过P作OC的平行线分别交BC、GE于点B、A由PCFPEG得， 2PA AB AB，GA GE OAAO GEGA OA在RtPAO 中，PO 2PA 2AO 2，即 又AB 2OA 21 2，3PQ 2AB 2 3PQ 2OA 2AB 2 OA 21 10（浙江杭州）如图，AE切O于点E，AT交O于点M、N，线段OE交AT于点C，OBAT于点B，已知EAT30，AE3，MN2（1）求COB的度数；（2）求O的半径R；（3）点F在O上（是劣弧），且EF5，将OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶
17、点分别与点E、F重合在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点也在O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与OBC的周长之比ABCEFMONT解：（1）AE切O于点E，OEAEOBAT于点B，AECOBC90又ACEOCB，ACEOCBCOBEAT30ABCEFMONTG(B)(C)(O)（2）在RtAEC中，CEAEtan303OCBACE60设BCx，则OBx，OC2x连接ON，得( x )2( )2( 2x3 )2解得x1或x13（舍去），x1R2x35（3）这样的三角形有3个画直径FG，连接GEEFOEOF5，EFG60BCOGEF即为所要画出的三
18、角形三种图形变换都不改变图形的形状，即变换前后的两个三角形相似变换前后两个三角形的周长之比等于它们的相似比又两个直角三角形斜边长FG2R10，OC2GEF与OBC的周长之比为5 : 111（浙江台州）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m4，n）是平面直角坐标系中四点（1）根据上述定义，当m2，n2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是_；当m5，n2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB长）为_（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关
19、于m的函数解析式（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；点D的坐标为（0，2），m 0，n 0作MHx轴，垂足为H，是否存在m的值使以A，M，H为顶点的三角形与AOD相似，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由AOyx（图3）BCAOByxC（图2）AOByxC（图1）AOyx（备用图2）AOyxC（备用图1）M解：（1）2（2）当4m 6时，显然线段BC与线段OA的距离等于A半径，即d2当2m 4时，作BNx轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长AOyxBCBCNd d关于m的函数解析式为：dAOyxC
20、MEBPNFKG（3）由题意可知，由线段PE，EFG，线段GK，KNP所围成的封闭图形就是点M随线段BC运动所围成的点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为：22224164m 0，n 0，点M随线段BC运动所形成图形的是线段M0E和AOyxCM0EBFM1M2M3H3H2H1R(D)x易知AOD是两直角边为1 : 2的直角三角形若AMH与AOD相似，则 或 2当2m24时，显然M1H1H1A， 2M1H12，H1A1，OH13m1321当4m26即M2在线段CE上时，同理可求m2523当6m28即M3在线段上时，AH32M3H3， 设M3H3x，则AH32x，AH32x2又RH32，( 2
21、x2 )2x 22 2，x1 ，x20（不合题意，舍去）OH342x ，m3 2 综上可知，存在m的值使以A，M，H为顶点的三角形与AOD相似，相应m的值为1，3，B12（浙江某校自主招生）已知矩形ABCD中，AB2，AD5，点E是AD边上一动点，连接BE、CE，以BE为直径作O，交BC于点F，过点F作FHCE于H，直线FH交O于点G（1）当直线FH与O相切时，求AE的长；（2）当FHBE时，求FG的长；DBACOFEH（3）在点E运动过程中，OFG能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时AE的长；如果不能，说明理由解：（1）连接OF、EFBE是O的直径，BFE90又AABF90，四边形ABF
22、E为矩形DBACOFEHAEBF，DECFFH与O相切，OFFHFHCE，OFCEBOOE，BFCFAEDE AD （2）作OMFG于M，连接OFFHBE，BECFHC90易证ABEDEC， 即 ，解得AE1或4DBACOFEHMG当AE1时，BF1，DECF4BE ，CE2 ，OF 由CFHCBE，得CH OMEHCECH ，FM FG2FM DBACOFEHMG当AE4时，BF4，DECF1BE2 ，CE ，OG 由CFHCBE，得CH OMEHCECH ，FM FG2FM （3）连接EF，设AEx则EFAB2，BFAEx，CFDE5x若OFG是等腰直角三角形，则FOG90当点G在点F上方
23、时ODBACHGEFMK连接BG、EG，设BG、EF交于点K，作GMEF于M则FBGFEG45BFK和EGK都是等腰直角三角形KFBFx，EK2x，GMKM EK1 xFMx1 x1 xGFMECF90FECRtGMFRtEFC， DBACHGEFKOM ，解得x1 ，x2 5（舍去）当点G在点F下方时连接BG、EG，设BC、EG交于点K，作GMBF于M则GBFGEF45BGK和EFK都是等腰直角三角形KFEF2，EK2BKx2，GMKM ( x2)，FM2 ( x2) ( x2)MFGHFCFEC90HCFRtFMGRtEFC， ，解得x1 ，x2 （舍去）综上所述，OFG能成为等腰直角三角
24、形，此时AE的长为 或 13（浙江模拟）在平面直角坐标系中，点A（10，0）、B（6，8），点P是线段OA上一动点（不与点A、点O重合），以PA为半径的P与线段AB的另一个交点为C，作CDOB于D（如图1）（1）求证：CD是P的切线；（2）当P与OB相切时，求P的半径；（3）在（2）的条件下，设P与OB相切于点E，连接PB交CD于F（如图2）求CF的长；在线段DE上是否存在点G使GPF45？若存在，求出EG的长；若不存在，请说明理由AOPBDyxC图1AOPBDyxC图2EFAOPBDyxCN12（1）证明：连接PC，过B作BNx轴于NPCPA，12A（10，0），B（6，8），OA10，BN
25、8，ON6在RtOBN中，OB 10OAOB，OBA1OBA2，PCOBCDOB，CDPCCD是P的切线（2）解：设P的半径为rAOPBDyxCEFNP与OB相切于点E，OBPE在RtOPE中，sinEOP 在RtOBN中，sinBON ，解得r （3）由（2）知r ，OP10 OE PCDCDEPED90四边形PCDE是矩形PEPC，矩形PCDE是正方形PEDC BDOBOEDE10 BFDPFC，BDFPCF90BDFPCF， AOPBDyxCEFGT34即 ，解得CF 存在在DE延长线上截取ETCF四边形PCDE是正方形PETPCF90，PEPCPETPCF，43，PTPFCPE90，G
26、PF45GPE345，GPE445即GPT45，GPTGPF又PGPG，PGTPGFGFGTGEETGECF设GEa，则DG a，GF a又DFDCCF 在RtDFG中，DF 2DG 2GF 2( )2( a )2( a )2，解得a 即EG的长为 14（浙江模拟）如图，以ABC的边BC为弦，在点A的同侧画交AB于D，且BDC90 A，点P是上的一个动点（1）判定ADC的形状，并说明理由；（2）若A70，当点P运动到PBAPBC15时，求ACB和ACP的度数；（3）当点P在运动时，过点P作直线MNAP，分别交AB、AC于点M、N，是否存在这样的点P，使得BMP和BPC和CPN彼此相似？请说明理
27、由PBACDBACD备用图解：（1）ADC是等腰三角形BDC90 AADC90 A，ACD90 AA90 APBACDMNACDADC，ADC是等腰三角形（2）A70，PBAPBC15ACB1807021580BPCBDC90 A90 70125PCB1801512540ACPACBPCB804040（3）存在当点P运动至的中点时，BMP和BPC和CPN彼此相似P是的中点，ABPCBP设Ax，ABPCBPy则ACB180x2y，PCB180y( 90 x )90y xACPACBPCB180x2y( 90y x )90y xPCBACP，PC平分ACB当点P运动至的中点时，点P是ABC的角平分
28、线的交点连接AP，则AP平分BAC，BMPCNP90 xBPCBMP和BPC和CPN彼此相似15（浙江模拟）如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，BC4AD4，B45将直角三角板含45角的顶点E放在边BC上移动（不与点C重合），一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点FBCAEFD（1）在点E移动过程中，当ABE为等腰三角形时，求CF的长；（2）在点E移动过程中，求ADF外接圆半径的最小值解：（1）BC4AD4，AD等腰梯形ABCD，B45，AB( BCAD )(4)3B45，BAEAEB135AEF45，CEFAEB135BCAEFDBAECEF，又BCBAECEF， CF BE BE BE
29、（1）若AEBE，则AEB90，BE AB ，代入（1）得CF 若ABAE，则BAE90，BEAB3，代入（1）得CF2若ABBE，则BE3，代入（1）得CF43（2）设ADF外接圆的圆心为OADF135，AOF90，AFr当AF最小时，r也最小；又当CF最大时，AF最小由（1）知CF BE BE 2 BE ( BE2)2 BCAEFDGO当BE2 即E为BC中点时，CF最大，为 此时DF3 作FGAD于G，则FGDG ，AGADDG AF长的最小值为： ADF外接圆半径的最小值为 AF 16（浙江模拟）已知直线yx2与x轴、y轴分别交于点A、B，C是x轴上异于A的一点，以C为圆心的C过点A，
30、D是C上的一点，如果以A、B、C、D为顶点四边形为平行四边形，求D点的坐标AOBxy11解：由题意，得A（2，0），B（0，2）AOBxyDCOAOB2，AB2 若CD是平行四边形的边，则CACDAB2 点C的坐标为（22 ，0）或（22 ，0）当C（22 ，0）时，点D的坐标为（42 ，2）或（2 ，2）当C（22 ，0）时，点D的坐标为（42 ，2）或（2 ，2）若CD是平行四边形的对角线，设AB、CD相交于点M则CACD2CM而点C到直线AB的距离为 CA，所以CMCA，即CACM故此时A、B、C、D四点不能构成平行四边形综上，若以A、B、C、D为顶点四边形为平行四边形，则D点的坐标为：
31、AOBxyDCAOBxyDCAOBxyDCxyMOMCMFMAMEMBMDM17（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A（8，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接AB并延长AB至点D，使DBAB，连接OB、DC相交于点E，过点E作EFOA于F，连接AE（1）如果以点A、C、D为顶点的三角形为等腰三角形，求点E的坐标；（2）如果以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似，求点E的坐标；（3）如果以点E、C、F为顶点的三角形与ABE相似，求点E的坐标解：（1）由题意，OBA90，OCCA4，CDCAxyMOMCMFMAMEMBMDMHM若DCDA作DHCA于H，则C
32、HHA CA2DHAOBA90，DAHOABDHAOBA， 即 ，BA2OB2，DCDA4，DH2EFOA，ECFDCH 设CFx，则EFxOFEOBA90，EOFAOBOEFOAB，即 ，解得x OF4x ，EFx E（ ，）若CADAxyMOMCMFMAMEMBMDMHM则BA DA CA2，OB2作DHCA于H，则DHAOBA ，即 ，HA1CH3，DH由ECFDCH，得 设CF3x，则EFx由OEFOAB，得 ，解得x OF43x5，EFx E（5，）（2）当点F在O、C之间时ECFBAO，要使ECF与AOB相似，只能ECFAOB此时OCE为等腰三角形，点F为OC中点，即OF2过B作BGDC交OA于GDBAB，CGAG2，OG6xyMOMCMFMAMEMBMDMGMBGDC，OECOBG 设OE2x，则OB3x由OEFOAB，得 ，解得x OE2x ，EF E（ 2，）当点F在C、A之间时ECFBOA，要使CEF与AOB相似，只能ECFOABxyMOMCMFMAMEMBMDMHM此时DCDA由（1）知，E（ ，）（3）若FECBAE，则EFCABEOB垂直平分AD，AEDEDBAE，FECDECFDEBOEC，OEOC4过B作BGDC交OA于GDBAB，CGAG2，OG6由OECOBG，
