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1、高三数学单元练习题：函数的单调性【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ ）A.y=-x+1 B.y=C.y=x2-4x+5 D.y=答案：B解析：A、C、D函数在（0，2）均为减函数.2.设函数f(x)在(-,+)上是减函数，则下列不等式正确的是（ ）A.f(2a)f(a) B.f(a2)f(a)C.f(a2+a)f(a) D.f(a2+1)0，a2+1a.又f(x)在R上递减，故f(a2+1) B.k- D.k-答案：D解析：2k+10k-.4.函数f(x)=在区间（-2，+）上为增函数，那么实数a的取
2、值范围为（ ）A.0a B.aC.a D.a-2答案：C解析：f(x)=a+在(-2,+)递增，1-2a.5.(2010四川成都一模，4)已知f(x)是R上的增函数，若令F（x）=f(1-x)-f(1+x)，则F（x）是R上的（ ）A.增函数 B.减函数C.先减后增的函数 D.先增后减的函数答案：B解析：取f(x)=x,则F(x)=(1-x)-(1+x)=-2x为减函数，选B.6.已知f(x)是定义在(-,+)上的奇函数，且f(x)在0，+）上是减函数，则下列关系式中正确的是（ ）A.f(5)f(-5) B.f(4)f(3) C.f(-2)f(2) D.f(-8)f(8)答案：C解析：f(x)
3、为奇函数,f(0)=0,f(2)0,即f(-2)f(2).7.(2010全国大联考，5)下列函数：（1）y=x2;(2)y=;(3)y=2x;(4)y=log2x.其中不是偶函数且在区间（0，+）上也不是减函数的有（ ）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个答案：D解析：（1）是偶函数，（2）（3）（4）都不是偶函数且在（0，+）上递增，故满足条件.二、填空题（每小题5分，共15分）8.函数y=的递减区间是_.答案：2，+解析：y=()t单调递减，t=x2-4x+5在2，+)上递增，递减区间为2，+).9.若函数f(x)是定义在（0，+）上的增函数，则不等式f(x)f(8x-16)的解集为_.
4、答案：（2，）解析：10.已知函数f(x)满足：对任意实数x1,x2,当x1f(x2),且f(x1+x2)=f(x1)f(x2),则f(x)=_(请写出一个满足这些条件的函数即可).答案：ax(0a0).(1)求函数在（0，+）上的单调区间，并证明之；（2）若函数f(x)在a-2,+上递增，求a的取值范围.解析：（1）f(x)在(0,+)上的增区间为,+，减区间为（0，）.证明：f(x)=1-,当x,+时，f(x)0,当x（0，）时，f(x)0.即f(x)在+上单调递增，在（0，）上单调递减.（或者用定义证）（2）a-2,+为，+的子区间，所以a-2a-20(+1)( -2)0-20a4.12
5、.(2010湖北黄冈中学模拟，19)已知定义域为0，1的函数f(x)同时满足：对于任意的x0，1，总有f(x)0;f(1)=1;若x10,x20,x1+x21,则有f(x1+x2)f(x1)+f(x2).(1)求f(0)的值；（2）求f(x)的最大值.解析：(1)对于条件，令x1=x2=0得f(0)0，又由条件知f(0)0，故f(0)=0.(2)设0x1b0)上是减函数且f(-b)0,判断F（x）=f(x)2在b,a上的单调性并证明你的结论.解析：设bx1-x2-a.f(x)在-a,-b上是减函数,0f(-b)f(-x1)f(-x2)f(-a),f(x)是奇函数,0-f(x1)-f(x2)，则
6、f(x2)f(x1)0,f(x1)2f(x2)2,即F(x1)F(x2).F(x)在b,a上为增函数.14.已知函数f(x)=(-1)2+(-1)2的定义域为m,n)且1mn2.(1)讨论函数f(x)的单调性；（2）证明：对任意x1、x2m,n,不等式|f(x1)-f(x2)|1恒成立.（1）解析：解法一：f(x)=(-1)2+(-1)2=+2,f(x)=(x4-m2n2-mx3+m2nx)=(x2-mx+mn)(x+)(x-).1mx0,x2-mx+mn=x(x-m)+mn0,x+0.令f(x)=0,得x=，当xm,时，f(x)0.f(x)在m,内为减函数，在，n）为内增函数.解法二：由题设可得f(x)=（-1）2-+1.令t=.1m2.令t=0,得x=.当xm,t0.t=在m,内是减函数，在，n内是增函数.函数y=(t-1)2-+1在1，+上是增函数，函数f(x)在m, 内是减函数，在，n内是增函数.（2）证明：由（1）可知，f(x)在m,n上的最小值为f()=2(-1)2,最大值为f(m)=(-1)2.对任意x1、x2m,n,|f(x1)-f(x2)|(-1)2-2(-1)2=()2-4+4-1.令u=,h(u)=u4-4u2+4u-1.1mn2,12,即10,h(u)在(1,)上是增函数.h(u)h()=4-8+4-1=4-51.不等式|f(x1)-f(x2)|1恒成立.
