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1、2013年广州数学中考热点考点及题型预测（黄立宗2013.05.04）17题-23题热点题型预测热点1：解分式方程（9分）1、 解方程 【考点说明】分式方程解法及其步骤。【参考答案】解：方程两边同时乘以 (x-2)x ，得 4x=5(x-2) 3分 4x=5x-10 5分 -x=-10 6分 x=10 7分 检验:把x=10代入(x-2)x=800 8分 所以 x=10 是原方程的解。 9分热点2：解不等式（组）（9分）2、解下列不等式组，并把其解集在所给的数轴上表示出来。【考点说明】不等式（组）的解法及步骤【参考答案】解：解(1)得，分解(2)得，分不等式组的解集为：，分分数轴表示为：热点3
2、：直方图及概率（12分）3、某校九年级有400名学生参加全国初中数学竞赛初赛，从中抽取了50名学生，他们的初赛成绩（得分为整数，满分为100分）都不低于40分，把成绩分成六组：第一组39.549.5，第二组49.559.5，第三组59.569.5，第四组69.579.5，第五组79.589.5，第六组89.5100.5。统计后得到下图所示的频数分布直方图（部分）观察图形的信息，回答下列问题： （1）第五组的频数为 （直接写出答案）(2) 估计全校九年级400名学生在69.579.5的 分数段的学生约有 个.（直接写出答案）（3）在抽取的这50名学生中成绩在79.5分以上的学生组成一个培训小组，
3、再从这个小组中随机挑选2名学生参加决赛，用树状图或列表法求出挑选的2名学生的初赛成绩恰好都不小于90分的概率.27101217人数分数39.549.559.569.579.589.5100.5【考点说明】直方统计图及树状图求概率【参考答案】解：（1） 2 （3分） （2） 56 （6分）（3）设分数79.589.5的两个学生为A、B，分数89.5100.5的两个学生为C、D树状图：(9分)共有12种等可能出现的结果，其中挑选的2名学生的初赛成绩恰好都不小于90分的结果共有2个（CD，DC）所以P(两个学生都不小于90分)= （12分）热点4：方程组及不等式组应用题（12分）4、为筹备一年一度的
4、运动会，某体育中心需要购置甲、乙两种体育器材共380件，其中乙种器材比甲种器材少60件（）甲、乙两种体育器材各多少件？（）一厂家承接了这批生产任务完成后厂家租用了A、B两种型号的货车共7辆，打算一次性将这两种器材运往体育中心已知A型货车最多可装载甲种器材40件和乙种器材20件，B型货车最多可装载甲种器材20件和乙种器材30件，则厂家安排A、B两种货车有几种方案？请你帮助设计出来【考点说明】一次方程及不等式组解法，一次方程及不等式组实际应用，方案设计【参考答案】解：（）设乙种器材有x件， 1分则甲种器材有（60x）件根据题意，得：（60x）x380， 2分解得x160，60x220 3分甲种器材
5、有220件，乙种器材有160件； 4分也可用二元一次方程组求解（）设用型货车y辆， 5分则型货车（7y）辆根据题意，得：， 8分解得，y取4、5 10分厂家安排、两种货车有两种方案：用辆型货车，辆型货车， 11分用辆型货车，辆型货车 12分热点5：圆的性质、切线及中位线定理（12分）5、 如图在RtABC中，C=90，以BC为直径作O交AB于D，取AC中点E，连结DE、OE （1）求证：DE是O的切线；（2）如果O半径是cm，ED=2cm，求AB的长【考点说明】圆的性质、切线，全等三角形，勾股定理，中位线定理。【参考答案】BADOCE5题123证明：（1）连结OD 1分O、E分别是BC、AC中
6、点OEAB 1=2，B=3 2分又OB=OD 1=B 2=3 3分而OD=OC，OE=OE OCEODE（SAS）OCE=ODE 5分又C=90，故ODE =90 DE是O的切线 6分BADOCE5题123方法二：证明：连接OD、CD BC是直径 CDE=ODE =90 1分 E是AC的中点 ED=EC 2分 在OCE与ODE中ED=EC，OD=OC，EC是公共边 OCEODE （SSS） 5分ECO=ODE =90 DE是O的切线 6分（2）在RtODE中，由，DE=2由勾股定理得9分又O、E分别是CB、CA的中点 AB=2 11分 所求AB的长是5cm 12分 24题-25题热点题型预测热
7、点1：在动点基础上讨论面积定值（最值）问题并证明1、如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120，AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BCCD上滑动，且E、F不与BCD重合（1）证明不论E、F在BCCD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BCCD上滑动时，分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变， 求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值【考点说明】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。【思路分析】（1）先求证AB=AC，进而求证ABC、ACD为等边三角形，得ACF =60，AC=AB， 从而求证ABE
8、ACF，即可求得BE=CF。（2） 由ABEACF可得SABE=SACF， 由S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC 即可得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，根据SCEF=S四边形AECFSAEF，则CEF的面积就会最大。【参考答案】解：（1）证明：如图，连接AC 四边形ABCD为菱形，BAD=120， BAE+EAC=60，FAC+EAC=60，1分 BAE=FAC。 2分 BAD=120， ABF=60。 3分 ABC和ACD为等边三角形。
9、4分 ACF=60，AC=AB。 ABE=AFC。 在ABE和ACF中， BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC， ABEACF（ASA）。BE=CF。 6分 （2）四边形AECF的面积不变，CEF的面积发生变化。理由如下： 由（1）得ABEACF，则SABE=SACF。 7分 S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。8分 作AHBC于H点，则BH=2， 。10分 由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短 故AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小， 又SCEF=S四边形AECFSAEF
10、，则此时CEF的面积就会最大 12分SCEF=S四边形AECFSAEF。CEF的面积的最大值是。 14分 热点2：在函数图像中多边形存在性问题讨论并确定点的坐标2、如图，已知抛物线y=x2+bx+c与一直线相交于A（1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N其顶点为D（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EFBD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求
11、APC的面积的最大值【考点说明】 二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称的性质，三角形三边关系，平行四边形的判定和性质，二次函数的最值。【思路分析】 （1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。（2） 根据轴对称的性质和三角形三边关系作N点关于直线x=3的对称点N， 当M（3，m）在直线DN上时，MN+MD的值最小。（3）分BD为平行四边形对角线和BD为平行四边形边两种情况讨论。（4）如图，过点P作PQx轴交AC于点Q；过点C作CGx轴于点G，设Q（x，x+1）， 则P（x，x2+2x+3），求得线段PQ=x2+x+2。 由图示以及三角形的面积公式知， 由二次
12、函数的最值的求法可知APC的面积的最大值。【参考答案】解：（1）由抛物线y=x2+bx+c过点A（1，0）及C（2，3）得， ，解得。抛物线的函数关系式为。1分 设直线AC的函数关系式为y=kx+n，由直线AC过点A（1，0）及C（2，3） 得，解得。 直线AC的函数关系式为y=x+1。3分 （2）作N点关于直线x=3的对称点N， 令x=0，得y=3，即N（0，3）。 N（6， 3） 4分 由得D（1，4）。5分 设直线DN的函数关系式为y=sx+t， 则，解得。 故直线DN的函数关系式为。6分根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M（3，m）在直线DN上时，MN+MD的值最小， 。 使MN+
13、MD的值最小时m的值为。7分 （3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）， 当BD为平行四边形对角线时，由B、C、D、N的坐标知，四边形BCDN是平行四边形， 此时，点E与点C重合， 即E（2，3）。 8分 当BD为平行四边形边时， 点E在直线AC上，设E（x，x+1），则F（x，）。 又BD=2 若四边形BDEF或BDFE是平行四边形时，BD=EF。 ，即。 若，解得，x=0或x=1（舍去）， E（0，1）。 9分 若，解得， E或E。11分 综上，满足条件的点E为（2，3）、（0，1）、。 （4）如图，过点P作PQx轴交AC于点Q；过点C作CGx轴于点G， 设Q（x，x+1），则P
14、（x，x2+2x+3）。 。 。13分 ， 当时，APC的面积取得最大值， 最大值为。14分 热点3：圆与二次函数综合，平移3、如图，C的内接AOB中，AB=AO=4,tanAOB=,抛物线经过点A(4，0)与点（-2，6）（1）求抛物线的函数解析式（2）直线m与C相切于点A交y轴于点D，动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动;同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动，点P的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQAD时,求运动时间t的值（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当ROB面积最大时，求点R的坐标.【考点说明】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方
15、程的关系，解二元一次方程组，直线与圆相切的性质，弦和弧的关系，垂径定理，平行的判定和性质，锐角三角函数定义，勾股定理，一元二次方程根的判别式。【思路分析】（1）将点A(4，0)与点（-2，6）代入抛物线y=ax2+bx，得方程组，解之即可得出解析式。（2）先得到OAD=AOB ，作OFAD于F，再求出OF的长，t秒时，OP=t,DQ=2t,若PQAD 则FQ=OP=t，DF=DQ-FQ=t。在ODF中，应用勾股定理即可求得结论。（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当ROB面积最大时，点R到OB的距离最大。此时，过点R平行于直线OB的直线与抛物线只有一个交点。求出直线OB的解析式，设过点
16、R平行于直线OB的直线l：，联立和，根据一元二次方程根的判别式求出，即可求得点R的坐标。【参考答案】解：（1）把点A(4，0)与点（-2，6）代入抛物线， 得，解得，。 抛物线的函数解析式为：。 （2）连接AC交OB于E，过点O作OFAD于点F。 直线m切C于A ， ACm。 弦AB=AO， 。ACOB。 mOB。 OAD=AOB。 OA=4，tanAOB=， tanOAD=，sinOAD=。 OD=OAtanOAD=4=3，OF=OAsinOAD=4=2.4。 t秒时，OP=t，DQ=2t，若PQAD， 则FQ=OP=t，DF=DQ-FQ=t。 在 ODF中，t=DF=（秒）。 当PQAD时,运动时间t的值为 1.8秒。 （3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当ROB面积最大时，点R到OB的距离最大。此时，过点R平行于直线OB的直线与抛物线只有一个交点。 tanAOB=，直线OB为。 设过点R平行于直线OB的直线l：， 联立和得， 整理得。 直线l与抛物线只有一个交点， =，解得。 将代入得，解得。 将代入得。R（）。
