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1、【2013江苏南京27题】对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似。例如，如图，ABCABC，且沿周界ABCA与ABCA环绕的方向相同，因此ABC与ABC互为顺相似；如图，ABCABC，且沿周界ABCA与ABCA环绕的方向相反，因此ABC与ABC互为逆相似。（1）根据图I、图II和图III满足的条件，可得到下列三对相似三角形：ADE与ABC；GHO与KFO；NQP与NMQ。其中，互为顺相似的是 ；互为逆相似的是 （填写所有符合要求的序号）（2）如图，在锐角ABC中，ABC，点P在A
2、BC的边上（不与点A、B、C重合）。过点P画直线截ABC，使截得的一个三角形与ABC逆相似。请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由。解：（1）根据定义，结合图形和条件可知，互为顺相似的是；互为逆相似的是。（2）由题意，分以下三种情况：第一种情况：当P在BC边上时，过点P能画出两条截线PQ1、PQ2，使CPQ1=A，BPQ2=A，此时，PQ1C、PBQ2均与ABC互为逆相似。第二种情况：当P在AC边上时，作CBM=A，BM交AC于M。当点P位于AM上（不含M）时，过点P1能画出一条截线P1Q1，使AP1Q1=ABC，此时，AP1Q1与ABC互为逆
3、相似。当点P位于CM上时，过点P2能画出两条截线P2Q2、P2Q3，使CP2Q2=CBA，AP2Q3=CBA，此时，CP2Q2、AP2Q3均与ABC互为逆相似。第三种情况：当P在AB边上时，作BCD=A，CD交AB于D，作ACE=B，CE交AB于E。当P在AD上（不含D）时，过点P1能画出一条截线P1Q1，使AP1Q1=ACB，此时，AQ1P1与ABC互为逆相似。当P在DE上时，过点P2能画出两条截线P2Q2、P2Q3，使AP2Q2=ACB，BP2Q3=ACB，此时，AQ2P2、Q3BP2均与ABC互为逆相似。当P在BE上（不含E）时，过点P3能画出一条截线P3Q4，使BP3Q4=ACB，此时
4、，Q4BP3与ABC互为逆相似。【2013江苏苏州29题】如图，已知抛物线y=x2+bx+c（b、c是常数，且c0）与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴相交于点C，点A的坐标为（-1，0）。（1）b= ，点B的横坐标为 （上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连接BC，过点A作直线AEBC，与抛物线y=x2+bx+c交于点E。点D是x轴上一点，其坐标为（2，0）。当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在(2)的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB、PC，设所得PBC的面积为S。 求S的取值范围； 若PBC的面积S为整数，则这样的PBC共有
5、 个。解：（1）点A（-1，0）在抛物线上-b+c=0，得b=+c由y=x2+bx+c=0得，xAxB=2c点B的横坐标为xB=-2c（2）当x=0时，y=c 点C（0，c）令AE交y轴于点FAFBC OA=1，OC=-c，OB=-2cOF=，即点F（0，）则直线AE的解析式为y=x+由x2+bx+c =x+及b=+c得x2+2cx+2c-1=0，则xAxE=2c-1xE=1-2c，yE=xE+=1-c设直线CD的解析式为y=mx+n，则 解得m=-c，n=c直线CD的解析式为y=-cx+c点E在直线CD上1-c=-c(1-2c)+c，即2c2+3c-2=0解得c=-2或(舍去)抛物线的解析式
6、为y=x2-x-2（3）由(2)得，B（4，0），C（0，-2）则直线BC的解析式为y=x-2 当点P在x轴下方、BC上方时SABC=ABOC=52=50S5当点P在x轴下方、BC下方时，过点P作y轴的平行线交BC于Q，交x轴于H。设P（m，m2-m-2），则Q（m，m-2）PQ=m-2-m2+m+2=-m2+2mS=PQOB=-m2+4m=-(m-2)2+40m4当m=2时，S有最大值40S4故，S的取值范围为0S5 结合图象可知，当0S4，且S为整数（即1、2、3）时，这样的PBC有33=9个；当S=4，这样的PBC有2个。故这样的PBC有11个。【2013江苏常州28题】在平面直角坐标系
7、xOy中，一次函数y=2x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C。点B的坐标为（a，0）（其中a0），直线l过动点M（0，m）（0m2）且与x轴平行，并与直线AC、BC分别相交于点D、E。P点在y轴上（P点异于C点）满足PE=CE。直线PD与x轴交于点Q，连接PA。（1）写出A、C两点的坐标；（2）当0m1时，PAQ是以P为顶点的倍边三角形（注：若HNK满足HN=2HK，则称HNK为以H为顶点的倍边三角形），求出m的值；（3）当1m2时，是否存在实数m，使CDAQ=PQDE？若能，则求出m的值（用含a的代数式表示）；若不能，请说明理由。解：（1）由y=2x+2易得，A（-1，0），C（0，2
8、）（2）PE=CE，EMy轴 CM=PMCM=2-m PM=2-mOM=m OP=PM-OM=2-2mOA=1PA=由题可得，D（，m），则DM=OQDM OQ=PQ=PAQ是以P为顶点的倍边三角形PA=2PQ=2即16m2-32m+15=0，解得m=或m=(舍去)m=（3）与(2)同理可得，PM=CM=2-m，OP=2m-2则OQ=AQ=OA+OA=mPQ=DEAB AC=，AB=a+1要使CDAQ=PQDE，则=m=1m2，a0 a1故，当a1时，存在实数m=，使CDAQ=PQDE；当0a1时，则不存在满足条件的实数m。【2013江苏淮安28题】如图，在ABC中，C=90，BC=3，AB=
9、5点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿BCAB的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿CAB方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为t秒。（1）当t= 时，点P与点Q相遇；（2）在点P从点B到点C的运动过程中，当t为何值时，PCQ为等腰三角形？（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设PCQ的面积为s平方单位。 求s与t之间的函数关系式； 当s最大时，过点P作直线交AB于点D，将ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的APD与PCQ重叠部分的面积解：（1）由题可得，BC=3，AC=4，AB=5则当t=7秒时，点P、Q相遇于点A。
10、（2） 当0t2时，点Q在AC上，若PC=QC，则PCQ是等腰三角形PC=3-t，QC=2t3-t=2t，得t=1 当2t3时，点Q在AB上，若PQ=CQ，则PCQ是等腰三角形过点Q作QHBC于H，则CH=PH=PCQHAC AQ=2t-4 CH=(2t-4)(2t-4)=(3-t)，得t=故，当t=1或时，PCQ为等腰三角形。（3） 在点Q从B返回A的过程中，4t7此时，CP=t-3，AQ=14-2t过点Q作QKAC于K，则QK=(14-2t)s=CPQK=(t-3)(14-2t)=-t2+6t-s=-t2+6t-=-(t-5)2+当t=5时，s最大此时，P为AC的中点将ABC沿PD折叠，点
11、A落在直线PC上PD是AC的中垂线CP=2，PD=BC=连接CD交PQ于E，则APDCPD，且CEP的面积就是要求的面积。由知，QK=，AQ=4，则AK=，PK=过点E作EFCP于F。EFQK ，得PF=EFEFPD ，得CF=EFPF+CF=CP=2EF+EF=2，得EF=SCEP=CPEF=2=故折叠后的APD与PCQ重叠部分的面积【2013江苏泰州26题】已知：关于x的二次函数y=-x2+ax（a0），点A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在这个二次函数的图象上，其中n为正整数。（1）y1=y2，请说明a必为奇数；（2）设a=11，求使y1y2y3成立的所有n的值；（
12、3）对于给定的正实数a，是否存在n，使ABC是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，求n的值（用含a的代数式表示）；如果不存在，请说明理由解：（1）由题意得，y1=-n2+an，y2=-(n+1)2+a(n+1)y1=y2-n2+an=-(n+1)2+a(n+1)整理得，a=2n+1n是正整数a必为奇数（2）当a=11时，y=-x2+11xy1y2y3-n2+11n-(n+1)2+11(n+1)-(n+2)2+11(n+2)化简得，010-2n18-4nn4n是正整数n=1、2、3、4（3）存在。过点B作BDx轴于D，过点A作AMBD于M，过点C作CNBD于N。则AM=CN=1AB=CBRtAM
13、BRtCNB（HL）ABM=CBNBD是等腰ABC的顶角的角平分线点A、C关于BD对称BD是抛物线的对称轴，点B是抛物线的顶点y=-x2+ax=-(x-)2+n+1=n=-1故，存在满足题述条件的n，且n=-1【2013江苏徐州28题】如图，二次函数y=x2+bx-的图象与x轴交于点A（-3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E。（1）请直接写出点D的坐标： ；（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使PED是等腰三角形？若存在，请求出
14、点P的坐标及此时PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由解：（1）点A（-3，0）在抛物线上-3b-=0，得b=1抛物线解析式为y=x2+x-当y=0时，x2+x-=0，解得x=-3或1点B坐标为（1，0）AB=4，即AD=4点D坐标为（-3，4）（2）DPEP APD+OPE=90APD+ADP=90 ADP=OPERtAPDRtOEP设OP=m（0m3），则AP=3-mOE=m(3-m)=-(m-)2+当m=时，OE有最大值故，当点P运动至（-，0）时，线段OE的长有最大值，最大值为（3）存在。 当点P在y轴左侧时，易证OPEADP则OP=AD=4，OE=AP=OP-OA
15、=1点P坐标为（-4，0） AH=4OHAH=OA=重叠部分的面积为：SADH=AHAD=4= 当点P在y轴右侧时，易证OPEADP则OP=AD=4，OE=AP=OA+OP=7点P坐标为（4，0）与同理可得AH=OA=SADH=AHAD=4=，BP=3 BK=S梯形ABKD=(BK+AD)AB=(+4)4=重叠部分的面积为：S四边形BKDH=S梯形ABKD-SADH=-=【2013江苏连云港27题】小明在一次数学兴趣活动中，对一个数学问题作如下探究：问题情境：如图1，四边形ABCD中，ADBC，点E为DC边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F。求证：S四边形ABCD=SABF。（S表示面
16、积）问题迁移：如图2，在已知锐角AOB内有一定点P。过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N。小明将直线MN绕点P旋转的过程中发现，MON的面积存在最小值。请问当MN在什么位置时，MON的面积最小，并说明理由。实际应用：如图3，若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部门计划以公路OA、OB和经过防疫站P的一条直线为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区MON。若测得AOB=66，POB=30，OP=4km，试求MON的面积（结果精确到0.1km2，参考数据：sin660.91，tan662.25，1.73）拓展延伸：如图4，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C
17、、P的坐标分别为（6，0）、（6，3）、（，）、（4，2），过点P的直线l与四边形OABC一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，求其中以点O为顶点的四边形面积的最大值。解：（1）点E是CD的中点 CE=DE易证ECFEDA，即证S四边形ABCD=SABF（2）连接OP，延长OP至C，使PC=OP，过点P作OB的平行线交OA于M，连接MP交OB于N，则该位置的直线MN，即点P是MN的中点，可使MON的面积最小。易知，SMON=SMOC过点P任作另一直线MN，交CM于D。由(1)可知，SMOC=S四边形ONDMSMONS四边形ONDM SMONSMON故，当P是MN的中点时，MON的面积最
18、小。（3）过点P、M作OB的垂线，垂足分别为K、H。由POB=30，OP=4可得，PK=2，OK=3.46MON面积最小 P是MN的中点MH=2PK=4，HK=KN由AOB=66得，OH=1.78HK=KN=OK-OH=1.68，ON=OK+KN=5.14SMON=ONMH10.3 km2（4） 当M、N分别在OC、AB边上时，延长OC、AB相交于D。要使四边形OANM面积最大，则DMN的面积最小，由(2)知，PM=PN过点P、M作x轴的垂线，垂足分别为E、F，则AE=EF=2，得OF=MF=2=PE由此可得，四边形OANM是梯形，MN=AF=4S四边形OANM=(MN+OA)PE=10 当M
19、、N分别在BC、OA边上时，延长CB交x轴于G。要使四边形ONMC面积最大，则GMN的面积最小，由(2)知，PM=PN易求得，AG=3，SOGC=过点P、M作x轴的垂线，垂足分别为E、F，则MF=2PE=4，得FG=MF=4，则M（5，4）NE=EF=1，NF=2，即NG=6SMNG=NGMF=12S四边形ONMC=SOGC-SMNG=10故，以点O为顶点的四边形面积的最大值为10【2013江苏南通28题】已知抛物线yax2bxc经过A（-4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等。经过点C（0，-2）的直线l与x轴平行，O为坐标原点。（1）求直线AB和这
20、条抛物线的解析式；（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为A，判断直线l与A的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB上的点D的横坐标为-1，P（m，n）是抛物线yax2bxc上的动点，当PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，则 解得k=-，b=1直线AB的解析式为y=-x+1当x=3和x=-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等9a+3b+c=9a-3b+c，得b=0将点A、B坐标代入yax2c得： 解得a=，c=-1抛物线的解析式为yx2-1（2）直线l与A相切。理由如下：过点A作AEl，交x轴于F，则AE=5AO=5AO=AE直线l与A相切（3）易
21、得点D坐标为（-1，）点P坐标为（m，m2-1）OP=m2+1过点P作PQl于Q，则PQ=m2+1OP=PQOD为定值，且DP+OP=DP+PQ当D、P、Q三点共线时，PDO的周长最小此时，DQl，点P的坐标为（-1，-）DP=+=DPOC四边形CODP是梯形OC=2，CQ=1S梯形CODP=(OC+DP)CQ=(2+)1=【2013江苏无锡28题】下面给出的正多边形的边长都是20cm。请分别按下列要求设计一种剪拼方案（用虚线表示你的设计方案，把剪拼线段用粗黑实线，在图中标注出必要的符号和数据，并作简要说明）（1）将图1中的正方形纸片剪拼成一个底面是正方形的直四棱柱模型，使它的表面积与原正方形
22、面积相等；（2）将图2中的正三角形纸片剪拼成一个底面是正三角形的直三棱柱模型，使它的表面积与原正三角形的面积相等；（3）将图3中的正五边形纸片剪拼成一个底面是正五边形的直五棱柱模型，使它的表面积与原正五边形的面积相等。解：（1）如下图，A为下底面，B1、B2、B3、B4为四个侧面，C1+C2+C3+C4=A为上底面（2）如下图，A为下底面，为边长为10cm的正三角形；B1、B2、B3为三个侧面；C1+C2+C3可拼成边长为10cm的正三角形，为上底面。剪拼线段均垂直于正三角形的边。（3）如下图，A为下底面，为边长为10cm的正五边形；B1、B2、B3、B4、B5为五个侧面；C1+C2+C3+C
23、4+C5可拼成边长为10cm的正五边形，为上底面。剪拼线段均垂直于正五边形的边。【2013江苏扬州27题】如图1，在梯形ABCD中，ABCD，B=90，AB=2，CD=1，BC=m，P为线段BC上一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PEPA交CD所在直线于E。设BP=x，CE=y。（1）求y与x的函数关系式；（2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围；（3）如图2，若m=4，将PEC沿PE翻折至PEG位置，BAG=90，求BP长。解：（1）PEPA，即APE=90APB+CPE=90B=90，ABCDC=90，APB+PAB=90B=C，PAB=CEPABPPCE
24、AB=2，BP=x，CE=y，PC=m-xy=（0xm）（2）y=+当x=时，y有最大值点E在线段CD上，CD=10y1010m2（3）m=4CE=y=（0x4），PC=4-x延长CE、AG交于FBAG=90四边形ABCF为矩形CF=AB=2，AF=BC=4，EF=2-yPCEPGEPG=PC=4-x，GE=CE=y，GPE=CPEAPE=APG+GPE=90APB+CPE=90APG=APBAFBC APB=PAGAPG=PAGAG=PGFG=2AG=AF-FG=4-24-2=4-xx2=4(y-1)=-2x2+8x-4即3x2-8x+4=0，解得x=2或BP的长为2或【2013江苏盐城28
25、题】如图1，若二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（-2，0）、B（3，0）两点，点A关于正比例函数y=x的图象的对称点为C。（1）求b、c的值；（2）证明：点C在所求的二次函数图象上；（3）如图2，过点B作DBx轴交正比例函数y=x的图象于点D，连接AC，交正比例函数y=x的图象于点E，连接AD、CD。如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向点D运动，同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连接PQ、QE、PE，设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使PE平分APQ，同时QE平分PQC，若存在，求出t的值；
26、若不存在，请说明理由。解：（1）由题意知，-2和3是方程x2+bx+c=0的根由韦达定理得：b=-，c=-（2）在直线y=x上任取一点M(m，m)，过点M作MNx轴于N，则ON=m，MN=m。tanMON= MON=60连接OC，过点C作CFx轴于F。点A、C关于直线y=x对称OC=OA=2，AOE=COE=MON=60COF=60OF=OCcos60=1，CF=OCsin60=点C坐标为（1，-）由(1)知，二次函数解析式为y=x2-x-当x=1时，y=-=-点C在所求的二次函数图象上（3）点A、C关于直线DE对称AD=CD，AE=CE，DAC=DCAPE平分APQ，QE平分PQCAPE=Q
27、PE，CQE=PQE在四边形ACQP中，APE+QPE+CQE+PQE+DAC+DCA=360APE+CQE+DAC=180在APC中，APE+AEP+DAC=180AEP=CQE APECEQ，即APCQ=AECE由题可得，BD=3，AB=5，则AD=AC=2DQ=t CQ=2-t由(2)知，AC=2，则AE=CE=AP=2t2t(2-t)=3整理得，2t2-4t+3=0解得t=或APAD，即2t2，得tt=故，存在t=s，使PE平分APQ，同时QE平分PQC。【2013江苏宿迁28题】如图，在梯形ABCD中，ABDC，B=90，且AB=10，BC=6，CD=2。点E从点B出发沿BC方向运动
28、，过点E作EFAD交边AB于点F。将BEF沿EF所在的直线折叠得到GEF，直线FG、EG分别交AD于点M、N，当EG过点D时，点E即停止运动。设BE=x，GEF与梯形ABCD的重叠部分的面积为y。（1）证明：AMF是等腰三角形；（2）当EG过点D时（如图3），求x的值；（3）将y表示成x的函数，并求y的最大值。解：（1）BFEGFE BFE=MFEEFADBFE=A，MFE=AMFA=AMF，即AF=MFAMF是等腰三角形（2）过点C作CHAD交AB于H则四边形AHCD是平行四边形AH=CD=2，BH=AB-AH=8EFADCH，得BF=MF=AF=AB-BF=10-，FG=BF=DMEF G
29、E=BE=x DE=在RtDCE中，CD=2，CE=6-x(6-x)2+4=()2，解得x=（3） 当点G与点M重合时，MF=BF=AF，即F为AB的中点。由(2)知，10-=，得x=当0x时，GEF与梯形ABCD的重叠部分的面积就是GEF(或BEF)的面积y=BFBE=x=此时，当x=时，y有最大值为 当x时，GEF与梯形ABCD的重叠部分的面积就是梯形MFEN的面积与(2)同理可得，GN=，GM=SGMN=GMGN=y=-()=y=当x=5时，y有最大值为 y的最大值为综上，y与x的函数关系式为：，且当x=5时，y有最大值为【2013江苏镇江28题】【阅读】如图1，在平面直角坐标系xOy中
30、，已知点A（a，0）（a0），B（2，3），C（0，3）过原点O作直线l，使它经过第一、三象限，直线l与y轴的正半轴所成角设为，将四边形OABC的直角OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，我们把这个操作过程记为FZ，a。【理解】若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ ， ；【尝试】（1）若点D恰为AB的中点（如图2），求；（2）经过FZ45，a操作，点B落在点E处，若点E在四边形OABC的边AB上，求出a的值；若点E落在四边形OABC的外部，直接写出a的取值范围；【探究】经过FZ，a操作后，作直线CD交x轴于点G，交直线AB于点H，使得ODG与GAH是一对相似的等腰三角形，直接写出FZ，a。解：
31、【理解】若点D与点A重合，由折叠性质可得：OC=OA=3，=AOC=90=45FZ 45 ，3【尝试】（1）连接CD延长交x轴于H。CBAH，BD=AD，即CD=HD点D是RtCOH斜边的中点OD=CD=DHOD=OC（折叠性质）OC=OD=CDCOD是等边三角形=COD=60=30（2）连接OB、OE由题意可得，DOECOB，BOKEOKOD=OC=3，DE=BC=2，OKE=90=45，即COK=AOK=45DAE=90-COK=45ADE是等腰直角三角形AD=DE=2OA=OD+AD=5，即a=5由图知，当点E落在四边形OABC的外部时，a的取值范围为0a5【探究】 当045时，点D在x轴上方令两个相似等腰三角形的底角为如图易得：CDO=KDO-=90-又CDO=DOG+DGO=290-=2，得=302+=90 =30NAB=2=60，BN=OC=3 NA=OA=ON+NA=2+，即a=2+FZ30，2+ 当4590时，点D在x轴下方易得ONC=2=COK=，KOG=则在RtOKG中，3=90，得=30=60在RtANB中，可得NA=3OA=2+3，即a=2+3FZ60，2+3
