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1、2014届高三数学辅导精讲精练181已知函数f(x)x28lnx，g(x)x214x.(1)求函数f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若函数f(x)与g(x)在区间(a，a1)上均为增函数，求a的取值范围；(3)若方程f(x)g(x)m有唯一解，试求实数m的值解析(1)因为f(x)2x，所以切线的斜率kf(1)6.又f(1)1，故所求的切线方程为y16(x1)即y6x7.(2)因为f(x)，又x0，所以当x2时，f(x)0；当0x2时，f(x)0时原方程有唯一解，所以函数yh(x)与ym的图像在y轴右侧有唯一的交点又h(x)4x14，且x0，所以当x4时，h(x)0；当0x4时，h(
2、x)0时原方程有唯一解的充要条件是mh(4)16ln224.2(2013衡水调研)设函数f(x)x22x2ln(1x)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当x1，e1时，是否存在整数m，使不等式m0，得函数f(x)的定义域为(1，)f(x)2x2.由f(x)0，得x0；由f(x)0，得1x1，x1，e1时，f(x)maxe2e.不等式mf(x)m22me2恒成立，即1m0.m是整数，m1.存在整数m1，使不等式m；(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值为3，如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由解析(1)f(x)xln(x)，f(x)1，当ex1时，f(x)0，此时f(x)单调递减；
3、当1x0，此时f(x)单调递增f(x)的极小值为f(1)1.(2)由(1)知f(x)在区间e,0)上有唯一的极小值1，即f(x)在区间e,0)上的最小值为1，即f(x)min1.所证不等式即f(x).令h(x)， 则h(x).当ex0时，h(x)0，故h(x)在e,0)上单调递减h(x)maxh(e).(3)假设存在实数a，使f(x)axln(x)的最小值为3.f(x)a(xe,0)若a，由于xe,0)，则f(x)a0.函数f(x)axln(x)在e,0)上是增函数f(x)minf(e)ae13，解得a，与a矛盾，舍去若a，则当ex时，f(x)a0，此时f(x)axln(x)是减函数当x0，此
4、时f(x)axln(x)是增函数f(x)minf()1ln()3，解得ae2.由知，存在实数ae2，使f(x)的最小值为3.4(2013山东济宁一模)已知函数f(x)xlnx，g(x).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：对任意的m，n(0，e，都有f(m)g(n).(注：e2.718 28是自然对数的底数)解析(1)f(x)xlnx(x0)，f(x)1(x0)由f(x)0，得x1，由f(x)0，得0x0)，g(x)(x0)当x(0，e时，g(x)0，g(x)在(0，e上单调递增当x(0，e时，g(x)maxg(e).对任意的m，n (0，e，f(m)g(n)f(m)ming(n)ma
5、x1.即证得，对任意的m，n(0，e，都有f(m)g(n).5(2013汕头质量测评)设函数f(x)x3x2(a21)x，其中a0.(1)若函数yf(x)在x1处取得极值，求a的值；(2)已知函数f(x)有3个不同的零点，分别为0、x1、x2，且x1f(1)恒成立，求a的取值范围解析(1)f(x)x22x(a21)，因为yf(x)在x1处取得极值，所以f(1)0.即(1)22(1)(a21)0.解得a2.经检验得a2.(2)由题意得f(x)x(x2xa21)x(xx1)(xx2)所以方程x2xa210有两个相异的实根x1，x2.故1(a21)0，解得a且x1x23.又因为x1x1x23，故x2
6、1.若x11x2，则f(1)(1x1)(1x2)0，而f(x1)0不符合题意若1x1f(1)恒成立的充要条件为f(1)a20，解得a.综上得a0.(1)当m1时，求曲线yf(x)在(1，f(1)点处的切线的方程；(2)求函数f(x)的单调区间与极值；(3)已知函数g(x)f(x)有三个互不相同的零点，求m的取值范围解析(1)当m1时，f(x)x3x2，f(x)x22x，故f(1)1.所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为1.切线方程为3x3y10.(2)f(x)x22xm21，令f(x)0，得到x1m或x1m.因为m0，所以1m1m.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：
7、x(，1m)1m(1m,1m)1m(1m，)f(x)00f(x)极小值极大值f(x)在(，1m)和(1m，)内减函数，在(1m，1m)内增函数函数f(x)在x1m处取得极大值f(1m)，且f(1m)m3m2.函数f(x)在x1m处取得极小值f(1m)，且f(1m)m3m2.(3)由(2)知，函数g(x)在x1m处取得极大值g(1m)f(1m)，且g(1m)m3m2.函数g(x)在x1m处取得极小值g(1m)f(1m)，且g(1m)m3m2.根据三次函数的图像与性质，函数g(x)f(x)有三个互不相同的零点，只需要即所以m的取值范围是.7(2013沧州七校联考)设a为实数，函数f(x)ex2x2
8、a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln21且x0时，exx22ax1.解析(1)由f(x)ex2x2a，xR，知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln2.于是当x变化时f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln2)ln2(ln2，)f(x)0f(x)2(1ln2a)故f(x)的单调递减区间是(，ln2)，单调递增区间是(ln2，)f(x)在xln2处取得极小值，极小值为f(ln2)eln22ln22a2(1ln2a)(2)设g(x)exx22ax1，xR.于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln21时，g(x)最小值g(ln2)2(1ln2a)0.
9、于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增于是当aln21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.8(2013西北五校)已知函数f(x)ax2(2a1)x2lnx(aR)(1)若曲线yf(x)在x1和x3处的切线互相平行，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)x22x，若对任意x1(0,2，均存在x2(0,2，使得f(x1)0)(1)由f(1)f(3)，解得a.(2)f(x)(x0)当a0时，x0，ax10；在区间(2，)上f(x)0.故f(x)的单调递增区间(0,2)，
10、单调递减区间是(2，)当0a2，在区间(0,2)和上f(x)0；在区间上f(x)时，00；在区间上f(x)0，故f(x)的单调递增区间是和(2，)，单调递减区间是.(3)由已知，在(0,2上有f(x)maxg(x)max.由已知，g(x)max0，由(2)可知，当a时，f(x)在(0,2上单调递增，故f(x)maxf(2)2a2(2a1)2ln22a22ln2.所以，2a22ln2ln21.故ln21时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，故f(x)maxf()22lna.由a可知lnalnln1,2lna2，2lna2.所以，22lna0，f(x)maxln21.1(2011天津文)已知函数
11、f(x)4x33tx26t2xt1，xR，其中tR.(1)当t1时，求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)当t0时，求f(x)的单调区间；(3)证明：对任意t(0，)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点解析(1)当t1时，f(x)4x33x26x，f(0)0，f(x)12x26x6，f(0)6.所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y6x.(2)f(x)12x26tx6t2.令f(x)0，解得xt或x.因为t0，以下分两种情况讨论：若t0，则0，则t0时，f(x)在(0，)内单调递减，在(，)内单调递增以下分两种情况讨论：当1，即t2时，f(x)在(0,1)内单调
12、递减f(0)t10，f(1)6t24t3644230.所以对任意t2，)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点当01，即0t2时，f(x)在(0，)内单调递减，在(，1)内单调递增若t(0,1，f()t3t1t30.所以f(x)在(，1)内存在零点若t(1,2)，f()t3(t1)t310.所以f(x)在(0，)内存在零点所以，对任意t(0,2)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点综上，对任意t(0，)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点2(2011江西文)设f(x)x3mx2nx.(1)如果g(x)f(x)2x3在x2处取得最小值5，求f(x)的解析式；(2)如果mn0，即m2n.不妨设
13、为x1，x2，则|x2x1|2为正整数故m2时才可能有符合条件的m，n，当m2时，只有n3符合要求，当m3时，只有n5符合要求，当m4时，没有符合要求的n.综上所述，只有m2，n3或m3，n5满足上述要求3已知函数f(x)exax，g(x)exlnx.(e2.718 28)(1)设曲线yf(x)在x1处的切线与直线x(e1)y1垂直，求a的值；(2)若对于任意实数x0，f(x)0恒成立，试确定实数a的取值范围；(3)当a1时，是否存在实数x01，e，使曲线C：yg(x)f(x)在点xx0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由解析(1)由题知，f(x)exa.因此曲线yf
14、(x)在点(1，f(1)处的切线l的斜率为ea，又直线x(e1)y1的斜率为，(ea)1.a1.(2)当x0时，f(x)exax0恒成立，若x0，a为任意实数，f(x)exax0恒成立若x0，f(x)exax0恒成立，即当x0时，a恒成立设Q(x).Q(x).当x(0,1)时，Q(x)0，则Q(x)在(0,1)上单调递增，当x(1，)时，Q(x)0恒成立，a的取值范围为(e，)(3)依题意，曲线C的方程为yexlnxexx.令M(x)exlnxexx，M(x)exlnxex1(lnx1)ex1.设h(x)lnx1，则h(x).当x1，e时，h(x)0.故h(x)在1，e上为增函数，因此h(x)
15、在区间1，e上的最小值为h(1)ln10.所以h(x)lnx10.当x01，e时，.曲线yexlnxexx在点xx0处的切线与y轴垂直等价于方程M(x0)0在x1，e上有实数解而M(x0)0，即方程M(x0)0无实数解故不存在实数x01，e，使曲线yM(x)在点xx0处的切线与y轴垂直4已知x，函数f(x)x2，h(x)2elnx(e为自然常数)(1)求证：f(x)h(x)；(2)若f(x)h(x)且g(x)h(x)恒成立，则称函数h(x)的图像为函数f(x)，g(x)的“边界”已知函数g(x)4x2pxq(p，qR)，试判断“函数f(x)，g(x)以函数h(x)的图像为边界”和“函数f(x)
16、，g(x)的图像有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数p、q的值；若不能同时成立，请说明理由解析(1)证明：记u(x)f(x)h(x)x22elnx，则u(x)2x，令u(x)0，因为x，所以x.所以函数u(x)在(，)上单调递减，在(，)上单调递增u(x)minu()f()h()ee0，即u(x)0，所以f(x)h(x)(2)由(1)知，f(x)h(x)对x恒成立，当且仅当x时等号成立记v(x)h(x)g(x)2elnx4x2pxq，则“v(x)0恒成立”与“函数f(x)，g(x)的图像有且仅有一个公共点”同时成立，即v(x)0对x恒成立，当且仅当x时等号成立所
17、以函数v(x)在x时取极小值注意到v(x)8xp，由v()0，解得p10.此时v(x)，由x知，函数v(x)在(，)上单调递减，在(，)上单调递增，即v(x)minv()h()g()5eq0，q5e，综上，两个条件能同时成立，此时p10，q5e.5(2012山东卷)已知函数f(x)(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)(x2x)f(x)，其中f(x)为f(x)的导函数，证明：对任意x0，g(x)0；当x(1，)时，h(x)0，所以当x(0,1)时，f(x)0；当x(1，)时
18、，f(x)0，g(x)1e2等价于1xxlnx0，h(x)单调递增；当x(e2，)时，h(x)0，(x)单调递增，(x)(0)0.故当x(0，)时，(x)ex(x1)0，即1.所以1xxlnx1e20，g(x)3)千元设该容器的建造费用为y千元(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解析(1)设容器的容积为V，由题意知Vr2lr3，又V，故lr(r)由于l2r，因此0r2.所以建造费用y2rl34r2c2r(r)34r2c，因此y4(c2)r2，0r2.(2)由(1)得y8(c2)r(r3)，0r3，所以c20.当r30时，r.令m，则m0.所以
19、y(rm)(r2rmm2)当0m时，当rm时，y0；当r(0，m)时，y0.所以rm是函数y的极小值点，也是最小值点当m2即3c时，当r(0,2)时，y0，函数单调递减，所以r2是函数y的最小值点综上所述，当3时，建造费用最小时r.7(2013江南十校)设M是满足下列条件的函数f(x)构成的集合：“方程f(x)x0有实数根；函数f(x)的导数f(x)满足0f(x)1)是否是集合M中的元素，并说明理由；(3)“对于(2)中函数g(x)定义域内的任一区间m，n，都存在x0m，n，使得g(n)g(m)(nm)g(x0)”，请利用函数ylnx的图像说明这一结论解析(1)令h(x)f(x)x，则h(x)
20、f(x)11)，则F(e)0，F(e2)21)上任意两点A(m，lnm)和B(n，lnn)的连线段AB(如图所示)，在曲线ylnx(mxn)上都一定存在一点P(x0，lnx0)，使得该点处的切线平行于AB，根据ylnx(x1)图像知该等式一定成立8(2013郑州质检)已知函数f(x)xln(xa)在x1处取得极值(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程f(x)2xx2b在，2上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围答案(1)0(2)ln2b0)，则g(x)2x3.令g(x)0，得x1，x21.当x变化时，g(x)、g(x)的变化情况如下表：x(0，)(，1)1(1,2)2g(x)00g(x
21、)极大值极小值b2ln2当x1时，g(x)的极小值为g(1)b2.又g()bln2，g(2)b2ln2.方程f(x)2xx2b在，2上恰有两个不相等的实数根，即解得ln2b时，由(x)0，得x10，x21(1,0)在区间(1，x2)上，(x)0，在区间(x2,0)上，(x)(0)0.而当x1时，(x)，因此，(x)0在(1，x2)内也有一个解，矛盾综上，得a.(3)令h(x)g(x)ln(x1)ax2x，h(x)ax1(x1)若a0，当x0，)时，h(x)0，则h(x)在0，)上单调递减，故h(x)h(0)0，不合题意；若a1，当x0，)时，h(x)0，则h(x)在0，)上单调递增，故h(x)h(0)0，符合题意；若0a1，当x时，h(x)0，则h(x)在单调递减，故h()h(0)0，不合题意；若a0，当x0，)时，h(x)0，则h(x)在0，)单调递减，故h(1)h(0)0，不合题意综上：a的取值范围是a1.
