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1、 二次函数【知识清单】一、网络框架二、清单梳理1、一般的，形如的函数叫二次函数。例如等都是二次函数。注意：系数不能为零，可以为零。2、二次函数的三种解析式（表达式）一般式：顶点式：，顶点坐标为交点式：3、二次函数的图像位置与系数之间的关系：决定抛物线的开口方向及开口的大小。当时，开口方向向上；当时，开口方向向下。决定开口大小，当越大，则抛物线的开口越小；当越小，则抛物线的开口越大。反之，也成立。：决定抛物线与轴交点的位置。当时，抛物线与轴交点在轴正半轴（即轴上方）；当时，抛物线与轴交点在轴负半轴（即轴下方）；当时，抛物线过原点。反之，也成立。 ：共同决定抛物线对称轴的位置。当时，对称轴在轴右边
2、；当时，对称轴在轴左边；当（即当时）对称轴为轴。反之，也成立。特别：当时，有；当，有。反之也成立。4、二次函数的图像可由抛物线向上（向下），向左（向右）平移而得到。具体为：当时，抛物线向右平移个单位；当时，抛物线向左平移个单位，得到；当时，抛物线再向上平移个单位，当时，抛物线再向下平移个单位，而得到的图像。5、抛物线与一元二次方程的关系：若抛物线与轴有两个交点，则一元二次方程有两个不相等的实根。若抛物线与轴有一个交点，则一元二次方程有两个相等的实根（即一根）。若抛物线与轴无交点，则一元二次方程没有实根。6、二次函数的图像与性质关系式图像形状抛物线顶点坐标对称轴增减性在图像对称轴左侧，即或，随的
3、增大而减小；在图像对称轴右侧，即或，随的增大而增大；在图像对称轴左侧，即或，随的增大而增大；在图像对称轴右侧，即或，随的增大而减小；最大值最小值当时，当时，当时，当时，【考点解析】考点一：二次函数的概念【例1】下列函数中是二次函数的是（ ） 【解析】根据二次函数的定义即可做出判断，中符合的形式，所以是二次函数，分别是一次函数和反比例函数，中右边不是整式，显然不是二次函数。【答案】【例2】已知函数是二次函数，则。【解析】根据二次函数的定义，只需满足两个条件即可“二次项系数不为零，且的最高次数为”。故有，解得，综上所述，取。【答案】【针对训练】1、 若函数是二次函数，则该函数的表达式为。考点二：待
4、定系数法在求解二次函数解析式中的应用【例1】已知点在二次函数的图象上，则的值是（） 【解析】因为点在二次函数的图象上，所以将点代入二次函数中，可以得出，则可得，【答案】【例2】（2011，泰安）若二次函数的与的部分对应值如下表，则当时，的值为（） 【解析】设二次函数的解析式为，因为当或时，由抛物线的对称性可知，所以，把代入得，所以二次函数的解析式为，当时，。 【答案】【针对训练】1、 (2002年太原)过,三点的抛物线的顶点坐标是（） 2、无论为何实数，二次函数的图象总是过定点（ ） 【例3】（2010，石家庄一模）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点为，且过点，则与的函数关系式为
5、（） 【解析】设这个二次函数的关系式为，将代入得，解得：，故这个二次函数的关系式是，【答案】【针对训练】1、 （2002，太原）过，三点的抛物线的顶点坐标是_。考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数的关系）【例1】（2012，兰州）已知二次函数有最小值1，则、的大小关系为（ ） 不能确定【考点】涉及二次函数顶点坐标和最值【解析】因为二次函数有最小值1，所以，所以。【答案】【针对训练】 1、二次函数的最小值是 。2、（2013，兰州）二次函数的图象的顶点坐标是（ ） 3、抛物线的顶点坐标是（ ） 【例2】（2012，兰州）抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）先向左平移
6、2个单位，再向上平移3个单位先向左平移2个单位，再向下平移3个单位先向右平移2个单位，再向下平移3个单位先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【考点】涉及函数平移问题【解析】抛物线向左平移2个单位可得到抛物线，再向下平移3个单位可得到抛物线。【答案】【针对训练】 1、（2012，南京）已知下列函数：（1）；（2）；（3）。其中，图象通过平移可以得到函数的图象的有 （填写所有正确选项的序号）。2、（2009，上海）将抛物线向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 。3、将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ） 【例3】（2013，长沙）二次函数的图象如图所示，
7、则下列关系式错误的是（ ） 【考点】图像与系数的关系【解析】观察题中图象可知，抛物线的开口方向向上，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，与轴有两个交点，所以，且当时，。显然选项A、B、C都正确，只有选项D错误。 【答案】【例4】（2011，山西）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ）方程的两根是，当时，随的增大而减小【考点】图像与性质的综合应用【解析】由图象可知，故A错误；因对称轴为直线，所以，故C错误；由图象可知当时，随的增大而增大，故D错误；由二次函数的对称性可知B选项正确，【答案】【针对训练】 1、（2013，呼和浩特）在同一平面直角坐标系中，函数和函数（是常数，
8、且）的图象可能是（ ） 2、（2011，重庆）已知抛物线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） 3、在反比例函数中，当时，随的增大而减小，则二次函数的图象大致是（ ） 考点四：二次函数的实际应用【例1】（2011，重庆）某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格（元）与月份（，且取整数）之间的函数关系如下表：月份123456789价格（元/件）560580600620640660680700720随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格（元）与月份（10
9、12，且取整数）之间存在如图所示的变化趋势：（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出与之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出与之间满足的一次函数关系式；（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量（万件）与月份满足函数关系式（19，且取整数）10至12月的销售量（万件）与月份满足函数关系式（1012，且取整数）求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；（3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化
10、，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出的整数值（参考数据：992=9901，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025）【考点】涉及函数模型，把实际问题转化为函数，用函数的观点来解决问题，综合性比较强，一般还涉及不等式，最值问题。【解析】（1）把表格（1）中任意2点的坐标代入直线解析式可得的解析式把（10，730）（12，750）代入直线解析式可得的解析式，；（2）分情况探讨得：19时，利润=（售价各种成本）；1
11、012时，利润=（售价各种成本）；并求得相应的最大利润即可；（3）根据1至5月的总利润1700万元得到关系式求值即可。解：（1）设，则，解得，（19，且取整数）；设，则，解得，（1012，且取整数）；（2）设去年第月的利润为元19，且取整数时=4时，最大=450元；1012，且取整数时，=10时，最大=361元；（3）去年12月的销售量为0.112+2.9=1.7（万件），今年原材料价格为：750+60=810（元）今年人力成本为：50（1+20%）=60元51000（1+）81060301.7（10.1）=1700，设，整理得，解得9401更接近于9409，0.1，9.8，10或980，1.
12、7（10.1）1，10【答案】（1）（1012，且取整数）；（2）=10时，最大=361元；（3）10【针对训练】1、（2013湖北孝感）在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲。经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数。（1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的
13、利润最大？【例2】（2010，孝感）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线与二次函数的图象交于两点，其中点在轴上（1）二次函数的解析式为= ；（2）证明点不在（1）中所求的二次函数的图象上；（3）若为线段的中点，过点作轴于点，与二次函数的图象交于点轴上存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，则K点的坐标是 ；二次函数的图象上是否存在点，使得？求出点坐标；若不存在，请说明理由【考点】考察函数的图像与性质，与平面图形综合为主，一般涉及存在性问题和动点问题。【解析】（1）由二次函数图象的顶点坐标为，故根据抛物线的顶点式写出抛物线解析式（2）把该点代入抛物线上，得到的一元二次方程，求根的判
14、别式（3）由直线与二次函数的图象交于两点，解得两点坐标，求出点坐标，设点坐标，使为顶点的四边形是平行四边形，则，且，进而求出点的坐标过点作轴于，则，又为中点，求得点坐标，可得到，设，由题意可以解出（1）解：（2）证明：设点在二次函数的图象上，则有：，整理得，原方程无解，点不在二次函数的图象上（3）解：或二次函数的图象上存在点P，使得，待添加的隐藏文字内容3如图，过点作轴于，则，又为中点，由于和可求得点 轴，设，由题意得：解得或，当时，当时，存在点和，使得【答案】（1）； （2）见上述解答过程； （3）存在，点和【针对训练】1、（2012，泉州）如图，为坐标原点，直线l绕着点旋转，与经过点的二次
15、函数的图象交于不同的两点（1）求的值；（2）通过操作、观察，算出的面积的最小值（不必说理）；（3）过点作直线，与轴交于点，试问：在直线l的旋转过程中，四边形是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状【基础闯关】1、已知二次函数的图象如图所示，那么这个函数的解析式为。 2、已知二次函数，则函数的最小值是。3、把抛物线向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为。4、（2011，济宁）将二次函数化成的形式，则。5、（2006，陕西）如图，抛物线的函数表达式是（） 6、已知函数的图象如图所示，则函数的图象是（ ） 7、（2013，兰州）二次函数的图象的顶点坐标是（ ）（1，3） （，3） （
16、1，） （，）8、（2013，泰安）对于抛物线，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线；顶点坐标为（1，3）；时，随的增大而减小，其中正确结论的个数为（） 1 2 3 49、（2013，贵阳）已知：直线过抛物线的顶点，如图所示（1）顶点的坐标是_（2）若直线经过另一点（0，11），求出该直线的表达式；（3）在（2）的条件下，若有一条直线与直线关于轴成轴对称，求直线与抛物线的交点坐标10、（2010，虹口区一模）已知二次函数，解答下列问题：（1）用配方法将该函数解析式化为的形式；（2）指出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴，以及它的变化情况【拓展提高】1、将二次函数的图象沿轴向上平移3个单
17、位，那么平移后的二次函数图象的顶点坐标是 。2、若抛物线的最低点的纵坐标为，则的值是 。3、抛物线的顶点坐标是，且过点，那么二次函数的解析式为（） 4、（2010，兰州）抛物线图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为，则、的值为（ ） ， ， ， ，5、（2010，兰州）抛物线图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ） 6、（2012，南宁）如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，则下列关系不正确的是（） k=n h=m kn h0，k0 7、（2010，北京）将二次函数化为的形式，结果为（ ） 8、（2012，重庆）企业
18、的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份（16，且取整数）之间满足的函数关系如下表： 月份x（月） 1 23 45 6 输送的污水量y1（吨） 12000 6000 4000 3000 24002000 7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份（712，且取整数）之间满足二次函数关系式为其图象如图所示1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：（元）与月份之间满足函
19、数关系式：，该企业自身处理每吨污水的费用：（元）与月份之间满足函数关系式： ；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出与之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负
20、担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值（参考数据：，） 9、(2012，丽水)在直角坐标系中，点A是抛物线yx2在第二象限上的点，连接OA，过点O作，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC(1)如图1，当点A的横坐标为时，矩形AOBC是正方形；(2)如图2，当点A的横坐标为时，求点B的坐标；将抛物线作关于x轴的轴对称变换得到抛物线yx2，试判断抛物线yx2经过平移交换后，能否经过三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由Winger Tuivasa-Sheck, who scored two tries i
21、n the Kiwis 20-18 semi-final win over England, has been passed fit after a lower-leg injury, while Slater has been named at full-back but is still recovering from a knee injury aggravated against USA.Both sides boast 100% records heading into the encounter but Australia have not conceded a try since
22、 Josh Charnleys effort in their first pool match against England on the opening day.Aussie winger Jarryd Hayne is the competitions top try scorer with nine, closely followed by Tuivasa-Sheck with eight.But it is recently named Rugby League International Federation player of the year Sonny Bill Willi
23、ams who has attracted the most interest in the tournament so far.The Kiwi - with a tournament high 17 offloads - has the chance of becoming the first player to win the World Cup in both rugby league and rugby union after triumphing with the All Blacks in 2011.Id give every award back in a heartbeat
24、just to get across the line this weekend, said Williams.The (lack of) air up there Watch mCayman Islands-based Webb, the head of Fifas anti-racism taskforce, is in London for the Football Associations 150th anniversary celebrations and will attend Citys Premier League match at Chelsea on Sunday.I am
25、 going to be at the match tomorrow and I have asked to meet Yaya Toure, he told BBC Sport.For me its about how he felt and I would like to speak to him first to find out what his experience was.Uefa hasopened disciplinary proceedings against CSKAfor the racist behaviour of their fans duringCitys 2-1
26、 win.Michel Platini, president of European footballs governing body, has also ordered an immediate investigation into the referees actions.CSKA said they were surprised and disappointed by Toures complaint. In a statement the Russian side added: We found no racist insults from fans of CSKA. Baumgart
27、ner the disappointing news: Mission aborted.The supersonic descent could happen as early as Sunda.The weather plays an important role in this mission. Starting at the ground, conditions have to be very calm - winds less than 2 mph, with no precipitation or humidity and limited cloud cover. The ballo
28、on, with capsule attached, will move through the lower level of the atmosphere (the troposphere) where our day-to-day weather lives. It will climb higher than the tip of Mount Everest (5.5 miles/8.85 kilometers), drifting even higher than the cruising altitude of commercial airliners (5.6 miles/9.17
29、 kilometers) and into the stratosphere. As he crosses the boundary layer (called the tropopause),e can expect a lot of turbulence.The balloon will slowly drift to the edge of space at 120,000 feet ( Then, I would assume, he will slowly step out onto something resembling an Olympic diving platform.Th
30、ey blew it in 2008 when they got caught cold in the final and they will not make the same mistake against the Kiwis in Manchester.Five years ago they cruised through to the final and so far history has repeated itself here - the last try they conceded was scored by Englands Josh Charnley in the open
31、ing game of the tournament.That could be classed as a weakness, a team under-cooked - but I have been impressed by the Kangaroos focus in their games since then.They have been concentrating on the sort of stuff that wins you tough, even contests - strong defence, especially on their own goal-line, c
32、ompleting sets and a good kick-chase. Theyve been great at all the unglamorous stuff that often goes unnoticed in the stands but not by your team-mates.It is as though their entire tournament has been preparation for the final.In Johnathan Thurston, Cooper Cronk, Cameron Smith and either Billy Slate
33、r or Greg Inglis at full-back they have a spine that is unmatched in rugby league. They have played in so many high-pressure games - a priceless asset going into Saturday.The Kiwis are a lot less experienced but winning a dramatic match like their semi-final against England will do wonders for their confidence.They defeated Australia in the Four Nations final in 2010 and the last World Cup, and know they can rise to the big occasion.
