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1、人教版九年级数学上册单元阶段优化提高训练含答案解析慧择精品屋目 录第二十二章 二次函数1优化专训一：二次函数与几何的应用1优化专训二：探究二次函数中存在性问题3优化专训三：几种常见的热门考点5第二十三章 旋转10优化专训一：图形的变换平移、对称、旋转在几何证明中的巧用10优化专训二：几种常见的热门考点11第二十四章 圆17优化专训一：圆中常见的计算题型17优化专训二：圆中常用的作辅助线的方法19优化专训三：圆的实际应用23优化专训四：与圆有关的动态问题25优化专训五：几种常见的热门考点27第二十五章 概率初步32优化专训一：概率应用的四种类型32优化专训二：几种常见的热门考点34第二十一章 一
2、元二次方程36优化专训一：根与系数的关系的四种应用类型36优化专训二：几种常见的热门考点37答案41第二十二章 二次函数41第二十三章 旋转48第二十四章 圆51第二十五章 概率初步63第二十一章 一元二次方程66第二十二章 二次函数优化专训一：二次函数与几何的应用名师点金：二次函数与几何的应用非常广泛，解决这类问题的关键是要学会数形结合，一方面，抓住几何图形的特征，灵活运用点的坐标与线段长度之间的相互转化，从而解决与二次函数有关的问题；另一方面，已知二次函数解析式可求出特殊点的坐标，进而求出线段长度，从而解决有关几何问题 二次函数与三角形的综合1如图，在直角坐标系xOy中，ABC是等腰直角三
3、角形，BAC90，A(1，0)，B(0，2)，抛物线yx2bx2过点C.求抛物线的解析式(第1题) 二次函数与平行四边形的综合2如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2 cm，点A，C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线yax2bxc经过点A，B，且12a5c0.(1)求抛物线的解析式(2)如果点P由点A开始沿AB边以2 cm/s的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1 cm/s的速度向点C移动一点到达终点后另一点停止移动移动开始后第t s时，设SPQ2(cm2)，试写出S与t之间的函数解析式，并写出t的取值范围当S取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以
4、P，B，Q，R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由(第2题) 二次函数与矩形、菱形、正方形的综合(第3题)3二次函数yx2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，Bn，在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3，Cn在二次函数位于第二象限的图象上四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3，四边形An1BnAnCn都是菱形，A0B1A1A1B2A2A2B3A3An1BnAn60，则菱形An1BnAnCn的周长为_4(中考孝感)如图所示，已知正方形ABCD的边长为1
5、，点E在边BC上，若AEF90，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.(1)图中，若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AEEF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等(不要求证明)(2)如图，若点E在线段BC上滑动(不与点B，C重合)AEEF是否总成立？请给出证明在如图所示的平面直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线yx2x1上，求此时点F的坐标(第4题)优化专训二：探究二次函数中存在性问题名师点金：存在性问题是近年来中考的热点，这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题型构思精巧，解题方法灵活，求解时常常要猜想或者假设问题的某种关系或结论存在，再经过分析、
6、归纳、演算、推理找出最后的答案常见的类型有：探索与特殊几何图形有关的存在性问题，探索与周长有关的存在性问题，探索与面积有关的存在性问题 探索与特殊几何图形有关的存在性问题1(2015绵阳)如图，已知抛物线yx22xa(a0)与y轴相交于A点，顶点为M，直线yxa分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点(1)若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示点M，A的坐标(2)将NAC沿着y轴翻折，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及PCD的面积(3)在抛物线yx22xa(a0)上是否存在点Q，使得以Q，A，C，N为顶
7、点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由(第1题) 探索与周长有关的存在性问题2如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，OBOA，且AOB120.(1)求点B的坐标(2)求经过A，O，B三点的抛物线的解析式(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由(第2题) 探索与面积有关的存在性问题3如图，已知抛物线yx2bxc经过A(1，0)，B(0，2)两点，顶点为D.(1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线沿y轴平移后经过点C(3，1)，求平移后所得抛物线的解析式(3)设(2)中平移后的抛物线与y轴的交
8、点为B1，顶点为D1，在此抛物线上是否存在点N，使NBB1的面积是NDD1面积的2倍？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由(第3题)优化专训三：几种常见的热门考点名师点金：二次函数是中考的必考内容，难度高，综合性强，既可以与代数知识相结合，也可以与几何知识结合有关二次函数的问题，中考一般以三种形式出现：一是以选择题或填空题出现，重在考查二次函数的基本概念和基本性质；二是以实际应用题的形式出现，重在考查函数建模思想；三是以综合题的形式出现，往往是压轴题，考查学生分析问题和解决问题的能力 二次函数的图象与性质1对于二次函数y(x1)22的图象，下列说法正确的是()A开口向下B对称轴是直线x
9、1C顶点坐标是(1，2)D与x轴有两个交点2在同一平面直角坐标系内，将函数y2x24x3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是()A(3，6)B(1，4)C(1，6) D(3，4)3(2015安顺)如图，为二次函数yax2bxc(a0)的图象，则下列说法：a0；2ab0；abc0；当1x3时，y0.其中正确的个数为()A1B2C3D4(第3题)(第5题)4抛物线y2x2x1的顶点坐标是_，当_时，y随x的增大而增大5如图，已知抛物线yx2bxc经过点(0，3)，请你确定一个b的值，使抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，你所确定的b的值是_ 用待定系数法
10、求二次函数的解析式6已知抛物线yax2bxc经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该抛物线的函数解析式为()Ay2x2x2 Byx23x2Cyx22x3 Dyx23x27已知一个二次函数的图象的顶点为(8，9)，且经过点(0，1)，则二次函数解析式为_8(2014咸宁)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：温度t/42014植物高度增长量l/mm4149494625科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系由此可以推测，最适合这种植物生长的温度为_.9已知二次函数yax2bxc的
11、图象经过A(2，0)，B(0，1)，C(4，5)三点(1)求二次函数的解析式；(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标10如图，抛物线yax25ax4经过ABC的三个顶点，点A，C分别在x轴、y轴上，且BCx轴，ACBC，求抛物线的解析式(第10题) 二次函数与一元二次方程或不等式的关系11抛物线y9x23x12与坐标轴的交点个数是()A3B2C1D012二次函数yax2bxc的x与y的部分对应值如下表利用二次函数图象可知，当函数值y0时，x的取值范围是()x321012345y12503430512A.x0或x2B0x2Cx1或x3 D1x313已知二次函数yax2bxc(
12、a0)的图象如图所示，则下列结论错误的是()(第13题)Aabc0B3是方程ax2bxc0的一个根Cabc0D当x1时，y随x的增大而减小14已知关于x的二次函数yx2(2m1)xm23m4.(1)探究m取不同值时，该二次函数的图象与x轴的交点的个数；(2)设该二次函数的图象与x轴的交点分别为A(x1，0)，B(x2，0)，且x12x225，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的函数解析式 二次函数的实际应用15(2015滨州)一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件为提高利润，欲对该T恤进行涨价销售经过调查发现：每涨价1元，每周要少卖出10件请确定该T恤涨价
13、后每周的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并求销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大16如图，某公路隧道横截面积为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求这条抛物线所对应的函数表达式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”ADDCCB，使C，D两点在抛物线上，A，B两点在地面OM上，则这个“支撑架”总长最大是多少？(第16题) 二次函数的综合应用13在平面直角坐标系中，将一块等腰三角板ABC放在第二象限，一直角边靠在两坐标轴上，且有点A(0，2)，点C(1，0)，如图所示，抛物线
14、yax2ax2经过点B.(1)求点B的坐标(2)求抛物线的解析式(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由(第17题)第二十三章 旋转优化专训一：图形的变换平移、对称、旋转在几何证明中的巧用名师点金：在进行与图形变换有关的计算或证明时，往往需要在图形中添加一些辅助线，添加辅助线后能使题目中的分散条件集中，较容易找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决常见的辅助线作法有平移法、旋转法、翻折法等 翻折法1如图，在ABC中，BE是ABC的平分线，ADBE，垂足为D.求证：21C.(第1题) 平移法2如图
15、，在ABC中，E，F分别为AB，AC上的点，且BECF，请判断EF与BC的大小关系，并说明理由(第2题) 旋转法3如图，ABC是等边三角形，BDC是顶角BDC120的等腰三角形，以D为顶点作60角，角的两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，试探究BM，MN，NC之间的关系，并加以证明(第3题)4如图所示，在ABC中，M是BC的中点，E，F分别在AC，AB上，且MEMF，求证：EFBC)，求O的半径及点O到AD的距离(第3题) 证切线时辅助线作法的应用4如图，ABC内接于O，CACB，CDAB且与OA的延长线交于点D.判断CD与O的位置关系，并说明理由(第4题) 遇弦加弦心距或半径5如图所示
16、，在半径为5的O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且ABCD8，则OP的长为()A3 B4 C3 D4(第5题)(第6题)6(中考贵港)如图所示，AB是O的弦，OHAB于点H，点P是优弧上一点，若AB2，OH1，则APB的度数是_ 遇直径巧加直径所对的圆周角7.如图，在ABC中，ABBC2，以AB为直径的O分别交BC，AC于点D，E，且点D是BC的中点(1)求证：ABC为等边三角形(2)求DE的长(第7题) 遇切线巧作过切点的半径8如图，O是RtABC的外接圆，ABC90，点P是圆外一点，PA切O于点A，且PAPB.(1)求证：PB是O的切线；(2)已知PA，ACB60，求O的半径(
17、第8题) 巧添辅助线计算阴影面积9(中考自贡)如图所示，点B，C，D都在O上，过点C作ACBD交OB的延长线于点A，连接CD，且CDBOBD30，DB6 cm.(1)求证：AC是O的切线；(2)求由弦CD，BD与所围成的阴影部分的面积(结果保留)(第9题)优化专训三：圆的实际应用名师点金：圆有关的知识在实际生活中有着广泛的应用，从实际生活中抽象出数学问题，并运用圆的相关知识解决这些问题，可以达到学以致用的目的 利用垂径定理解决台风问题1如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30 km/h，受影响区域的半径为200 km，B市位于点P北偏东75的方向上，距离P点320
18、 km处(1)试说明台风是否会影响B市；(2)若B市受台风的影响，求台风影响B市的时间(第1题) 利用圆周角知识解决足球射门问题(转化思想)2如图所示，在“世界杯”足球比赛中，队员甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同伴队员乙已经助攻冲到B点，现有两种射门方式：一是由队员甲直接射门；二是队员甲将球迅速传给乙，由队员乙射门从射门角度考虑，你认为选择哪种射门方式较好？为什么？(第2题) 利用直线与圆的位置关系解决范围问题3已知A，B两地相距1 km.要在A、B两地之间修建一条笔直的水渠(即图中的线段AB)，经测量在A地的北偏东60方向，B地的北偏西45方向的C处有一个以C为圆心，350
19、m为半径的圆形公园，则修建的这条水渠会不会穿过公园？为什么？(第3题) 利用圆锥侧面展开图解决材料最省问题4如图，某工厂要选一块矩形铁皮加工成一个底面半径为20 cm，高为40 cm的圆锥形漏斗，要求只能有一条接缝(接缝忽略不计)，请问：选长、宽分别为多少厘米的矩形铁皮，才能使所用材料最省？(第4题)优化专训四：与圆有关的动态问题名师点金：于与圆有关的运动情形下的几何问题，在探究求值问题时，通常应对运动过程中所有可能出现的不同情形进行分析，如果符合某些条件的点、线等几何图形不唯一，要注意分类讨论，在探究确定结论成立情况下的已知条件时，可以把确定结论写作已知用 利用圆探究运动中形成的特殊几何图形
20、问题1如图，AB是半圆O的直径，BC是弦，点P从点A开始，沿AB向点B以1 cm/s的速度移动，若AB长为10 cm，点O到BC的距离为4 cm.(1)求弦BC的长；(2)经过几秒BPC是等腰三角形(PB不能为底边)?(第1题)2如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画O，P是O上一动点，且P在第一象限内，过点P作O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.(1)点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；(2)在O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由(第2题) 利
21、用圆探究运动中的特殊位置关系问题3如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABC90，AB12 cm，AD8 cm，BC22 cm，AB为O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2 cm/s的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发当其中一点到达终点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为t(s)当t为何值时，PQ与O相切？(第3题) 利用圆探究运动中的面积问题4如图，在O中，AB为O的直径，AC是弦，OC4，OAC60.(1)求AOC的度数；(2)如图，一动点M从A点出发，在O上按逆时针方向运动，当SMAOSCAO时，求动点M所经过的弧长(
22、第4题)优化专训五：几种常见的热门考点名师点金：的知识是初中数学的重点内容，也是历年中考命题的热点本章题型广泛，主要考查圆的概念、基本性质以及圆周角定理及其推论，直线与圆的位置关系，切线的性质和判定，正多边形与圆的计算和证明等，通常以这些知识作为载体，与函数、方程等知识综合考查 垂径定理及其推论的应用1如图所示，在RtABC中，ACB90，AC3，BC4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为()A.B.C.D.(第1题)(第2题)2如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分如果水面AB的宽为8 cm，水的最大深度为2 cm，那么该输水管的半径为()A3 cm B4 c
23、m C5 cm D6 cm 圆心角与圆周角3如图所示，AB是O的直径，AB弦CD于点E，BOC70，则ABD()A20 B46 C55 D70(第3题)(第4题)4如图，A，B，C，D四个点均在O上，AOD70，AODC，则B的度数为()A40 B45 C50 D555如图所示，C为半圆上一点，过点C作直径AB的垂线CP，P为垂足，弦AE交PC于点D，交CB于点F.求证：ADCD.(第5题) 点、直线与圆的位置关系6已知O的半径为4 cm，A为线段OP的中点，当OP7 cm时，点A与O的位置关系是()A点A在O内 B点A在O上C点A在O外 D不能确定7在RtABC中，C90，AC3 cm，BC
24、4 cm，以点C为圆心，r为半径作圆，若C与直线AB相切，则r的值为()A2 cm B2.4 cm C3 cm D4 cm8设O的半径为2，圆心O到直线l的距离OPm，且m使得关于x的方程2x22xm10有实数根，则直线l与O()A相离或相切 B相切或相交C相离或相交 D无法确定 切线的判定与性质(第9题)9(2014哈尔滨)如图，AB是O的直径，AC是O的切线，连接OC交O于点D，连接BD，C40，则ABD的度数是()A30 B25C20 D1510如图，已知AB是O的直径，BC是O的切线，OC与O相交于点D，连接AD并延长，与BC相交于点E.(1)若BC，CD1，求O的半径；(2)取BE的
25、中点F，连接DF，求证DF是O的切线(第10题) 与圆有关的计算11如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC8，BD6，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为()A256 B.6C.6 D.6(第11题)(第12题)12如图，正六边形ABCDEF是边长为2 cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A，P之间拉一条长为12 cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，则点P运动的路径长为()A13 cm B14 cmC15 cm D16 cm13(2015兰州)如图，在RtABC中，C90，BAC的平分线AD交BC边于
26、点D.以AB上一点O为圆心作O，使O经过点A和点D.(1)判断直线BC与O的位置关系，并说明理由；(2)若AC3，B30，求O的半径；设O与AB边的另一个交点为E，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积(结果保留根号和)(第13题) 圆与其他知识的综合类型1圆与三角形的综合14(2015成都节选)如图，在RtABC中，ABC90，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且BFBC.O是BEF的外接圆，连接BD.(1)求证：ABCEBF；(2)试判断BD与O的位置关系，并说明理由(第14题)类型2圆与四边形的综合15(2015天津)已知A，B，C是O上的三个点
27、，四边形OABC是平行四边形，过点C作O的切线，交AB的延长线于点D.(1)如图，求ADC的大小；(2)如图，经过点O作CD的平行线，与AB交于点E，与交于点F，连接AF，求FAB的大小(第15题)类型3圆与函数的综合16如图，直线yx3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C是第二象限内任意一点，以点C为圆心的圆与x轴相切于点E，与直线AB相切于点F.(1)如图，当四边形OBCE是矩形时，求点C的坐标；(2)如图，若C与y轴相切于点D，求C的半径r；(3)在C的移动过程中，能否使OEF是等边三角形？(只回答“能”或“不能”)(第16题)第二十五章 概率初步优化专训一：概率应用的四种类型名师点
28、金：应用很广泛，主要体现在与其他知识的综合，如：在方程和不等式中的应用、在函数中的应用、在几何中的应用、在物理学中的应用等 概率在方程和不等式中的应用1(2015成都)有9张卡片，分别写有19这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为_2甲、乙两名同学投掷一枚骰子，用字母p、q分别表示两人各投掷一次骰子所得到的点数(1)满足关于x的方程x2pxq0有实数解的概率是_(2)(1)中方程有两个相等实数解的概率是_ 概率在函数中的应用题型1：放回事件3在四个完全相同的球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀从口袋中任
29、取一个球记下数字后作为点P的横坐标x，放回袋中搅匀，然后再从袋中取出一个球记下数字后作为点P的纵坐标y，求点P(x，y)落在直线yx5上的概率题型2：不放回事件4在一个不透明的布袋里装有4个分别标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y.(1)计算由x、y确定的点(x，y)在函数yx5的图象上的概率；(2)小明和小红约定做游戏，其规则为：若x、y满足xy6，则小明胜；若x、y满足xy6，则小红胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请写出公平的游戏规则 概率在几何中的应用5如图为4张背面
30、完全相同的纸牌(分别用、表示)，在纸牌的正面分别写有四个不同的条件，小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，先随机摸出一张(不放回)，再随机摸出一张(1)用画树状图法(或列表法)表示两次摸牌出现的所有可能结果；(2)以两次摸出牌上的结果为条件，求能判定四边形ABCD是平行四边形的概率(第5题) 概率在物理学中的应用6如图所示，有一条电路AB由图示的开关控制，任意闭合两个开关(1)请你画出树状图表示所有等可能的情况；(2)请你求出使电路形成通路的概率(第6题)优化专训二：几种常见的热门考点名师点金：率是近年来中考的必考内容，主要考点是概率的意义，用频率估计概率，用列表法或树状图法计算概率及概率的应用，其
31、考查形式既有单一考查，又有与平面直角坐标系、几何与统计知识等综合考查 判断事件类型1下列事件中，是必然事件的为()A抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上B成都平原7月份某一天的最低气温是2 C在标准大气压下，通常加热到100 时，水沸腾D打开电视，正在播放节目中国好声音2下列事件，是随机事件的是()A四边形的内角和为180B袋中有2个黄球，3个绿球共5个球，随机摸出一个球是红球C2016年巴西举办奥运会D从2，1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限 求事件的概率3(2015河北)将一枚质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点数3相差2的概率是()A.B.C.
