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1、2016年中考数学专题复习第八讲 一元二次方程及应用【基础知识回顾】一、一元二次方程的定义： 1、一元二次方程：含有 个未知数，并且未知数最高次数是2的 方程 2、一元二次方程的一般形式： 其中二次项是 一次项是 ， 是常数项。名师提醒：在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a0这一条件将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正二、一元二次方程的常用解法： 1、直接开平方法：如果，则= ， = ， = 。 2、配方法：解法步骤：化二次项系数为 即方程两边都 二次项系数；移项：把 项移到方程的 边； 配方：方程两边都加上 把左边配成完全平方的形式； 解方程：若方程
2、右边是非负数，则可用直接开平方法解方程。 3、公式法：如果方程满足，则方程的求根公式为 4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生的形式，则可将原方程化为两个 方程，即 、 从而得方程的两根名师提醒：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是 法和 法三、一元二次方程根的判别式 关于的一元二次方程根的情况由 决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号 表示方程有两个实数跟，则 当 时，方程有两个不等的实数根当 时，方程看两个相等的实数根当 时，方程没有实数根名师提醒：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数
3、 四、一元二次方程根与系数的关系：关于x的一元二次方程有两个根分别为则= ， = 。五、一元二次方程的应用：解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行常见题型： 增长率问题：连续两率增长或降低的百分数 利润问题：总利润= 或总利润= 几何图形的面积、体积问题：按面积、体积的计算公式列方程名师提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件【重点考点例析】考点一：一元二次方程的解例1 （2015兰州）若一元二次方程有一根为，则 思路分析：由方程有一根为-1，将x=-1代入方程，整理后即可得到a
4、+b的值解：把代入一元二次方程得：，即a+b=2015故答案是：2015点评：此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，关键是把方程的解代入方程跟踪训练1（2015柳州）若x=1是一元二次方程的一个根，则m的值为 考点二：一元二次方程的解法例2 （2015大连）解方程：思路分析：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数解：移项得，配方得，即，开方得，点评：本题考查了用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上
5、一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可（2）形如型，方程两边同时除以二次项系数，即化成，然后配方例3 （2015宿迁）解方程：思路分析：先移项，然后利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解，然后解方程；解：由原方程，得，整理，得，则x+3=0或x-1=0，解得。点评：本题考查了解一元二次方程-因式分解法、解一元二次方程因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解跟踪训练2（2015兰州）一元二次方程x2-8x-1=0配方
6、后可变形为（）A B C（x-4）2=17 D（x-4）2=153（2015东莞）解方程：考点三：根的判别式的运用例4 （2015十堰）已知关于x的一元二次方程（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为，且满足，求实数m的值思路分析：（1）根据根的判别式的意义得到0，即，解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到，再变形已知条件得到，代入即可得到结果解：（1）关于x的一元二次方程有实数根，0，即，；（2）根据题意得，即，解得（舍去），m=2点评：本题考查了一元二次方程的根的判别式：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数
7、根也考查了一元二次方程根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，跟踪训练4（2015梅州）已知关于x的方程（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根考点四：一元二次方程根与系数的关系例5 （2015黄冈）若方程的两根分别为，则的值为 思路分析：先根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=-1，然后利用整体代入的方法计算解：根据题意得，所以故答案为3点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根时，跟踪训练5（2015荆门）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0的两
8、个实数根为x1，x2，若x12+x22=4，则m的值为 考点五：一元二次方程的应用例6 （2015益阳）沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（）A20（1+2x）=80B220（1+x）=80C20（1+x2）=80D20（1+x）2=80思路分析：根据第一年的销售额（1+平均年增长率）2=第三年的销售额，列出方程即可解：设增长率为x，根据题意得20（1+x）2=80，故选D点评：本题考查一元二次方程的应用-求平均变化率的方法若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后
9、的数量关系为a（1x）2=b（当增长时中间的“”号选“+”，当下降时中间的“”号选“-”）对应训练6（2015酒泉）今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A2500x2=3500B2500（1+x）2=3500C2500（1+x%）2=3500D2500（1+x）+2500（1+x）2=3500考点六：一元二次方程的应用例7 （2015乌鲁木齐）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件已知商品的进价为每件40元，
10、在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？思路分析：设降价x元，表示出售价和销售量，列出方程求解即可解：解：降价x元，则售价为（60-x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意得，（60-x-40）（300+20x）=6080，解得x1=1，x2=4，又顾客得实惠，故取x=4，即定价为56元，答：应将销售单价定位56元点评：本题考查了一元二次方程应用，题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解跟踪训练7（2015广州）某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费302
11、5万元（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元【备考真题过关】一、选择题1（2015滨州）用配方法解一元二次方程x2-6x-10=0时，下列变形正确的为（）A（x+3）2=1 B（x-3）2=1 C（x+3）2=19 D（x-3）2=192（2015重庆）一元二次方程的根是（）Ax1=0，x2=-2 Bx1=1，x2=2 Cx1=1，x2=-2 Dx1=0，x2=23（2015烟台）如果，那么x的值为（）A2或-1B0或1C2D-14（2015济宁）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程的
12、两根，则该三角形的周长为（）A13 B15 C18 D13或185（2015衡阳）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（）A-2B2C4D-36（2015广西）已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）Ax2-7x+12=0 Bx2+7x+12=0 Cx2+7x-12=0 Dx2-7x-12=07（2015锦州）一元二次方程的根的情况为（）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C只有一个实数根D没有实数根8（2015温州）若关于x的一元二次方程4x2-4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（）A-1B1C-4D49
13、（2015德州）若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（）Aa1Ba4Ca1Da110（2015东莞）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）Aa2Ba2Ca2Da211（2015黔东南州）设x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两根，则x12+x22=（）A6B8C10D1212（2015衡阳）绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（）Ax（x-10）=900 Bx（x+10）=900C10（x+10）=900 D2x+（x+10）=90013（2
14、015安徽）我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A1.4（1+x）=4.5B1.4（1+2x）=4.5C1.4（1+x）2=4.5D1.4（1+x）+1.4（1+x）2=4.514（2015泸州）若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）15（2015济南）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒
15、子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为（）A10cm B13cm C14cm D16cm16（2015日照）某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为（）A20%B40%C-220%D30%二、填空题17（2015丹东）若x=1是一元二次方程的一个根，那么a= 18（2015丽水）解一元二次方程时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程 19（2015天水）一元二次方程的解是 20（2015
16、聊城）一元二次方程的解是 21（2015齐齐哈尔）ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2-8x+15=0的根，则ABC的周长是 22（2015南昌）已知一元二次方程x2-4x-3=0的两根为m，n，则m2-mn+n2= 23（2015徐州）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k值为 24（2015娄底）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是 25（2015上海）如果关于x的一元二次方程x2+4x-m=0没有实数根，那么m的取值范围是 26（2015本溪）关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是
17、27（2015宜宾）某楼盘2013年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2015年房价为7600元设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为 28（2015达州）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童裝应降价x元，可列方程为 三、解答题29（2015永州）已知关于x的一元二次方程有一个实数根为-1，求m的值及方程的另一实根30（2015福州）已知关于x的方程有两个相等的实数
18、根，求m的值31（2015泰州）已知：关于x的方程，（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m的值32（2015鄂州）关于x的一元二次方程有两个不等实根x1，x2（1）求实数k的取值范围（2）若方程两实根x1，x2满足，求k的值33（2015巴中）如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽 34（2015淮安）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20
19、斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？2016年中考数学专题复习第八讲 一元二次方程及应用参考答案【重点考点例析】考点一：一元二次方程的解跟踪训练1-3考点二：一元二次方程的解法跟踪训练2C3解：，（x-1）（x-2）=0，x-1=0或x-2=0，x1=1，x2=2考点三：根的判别式的运用跟踪训练4解：（1），解得：a3a的取值范围是a3；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，解得：，则a的值是-1，该方程的另一根为-
20、3考点四：一元二次方程根与系数的关系跟踪训练5-1或-3解：这个方程的两个实数根为x1、x2，x1+x2=-（m+3），x1x2=m+1，而x12+x22=4，（x1+x2）2-2x1x2=4，（m+3）2-2m-2=4，m2+6m+9-2m-6=0，m2+4m+3=0，m=-1或-3，故答案为：-1或-3。考点五：一元二次方程的应用对应训练6B考点六：一元二次方程的应用跟踪训练7解：设增长率为x，根据题意2014年为2500（1+x）万元，2015年为万元则2500（1+x）2=3025，解得x=0.1=10%，或x=-2.1（不合题意舍去）答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%（2）3
21、025（1+10%）=3327.5（万元）故根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元【备考真题过关】一、选择题1D2D3C4A5A6A7A8B9C10C11C12B13C14B15D解：正方形铁皮的边长应是x厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为（x-32）厘米，高为3厘米，根据题意列方程得，（x-32）（x-32）3=300，解得x1=16，x2=-4（不合题意，舍去）；答：正方形铁皮的边长应是16厘米故选：D16A解：设每年投资的增长率为x，根据题意，得：5（1+x）2=7.2，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去），故每年投资的增长率为为
22、20%故选：A二、填空题17-3181920218222523-324m125m-426k2且k1278100（1-x）2=760028（40-x）（20+2x）=1200三、解答题29解：设方程的另一根为，则，解得把代入，得，即，解得综上所述，m的值是0或2，方程的另一实根是030解：x2+（2m-1）x+4=0有两个相等的实数根，=（2m-1）2-44=0，解得或31解：（1）由题意得，a=1，b=2m，c=m2-1，=b2-4ac=（2m）2-41（m2-1）=40，方程x2+2mx+m2-1=0有两个不相等的实数根；（2）x2+2mx+m2-1=0有一个根是3，32+2m3+m2-1=
23、0，解得，m=-4或m=-232解：（1）原方程有两个不相等的实数根，=（2k+1）2-4（k2+1）=4k2+4k+1-4k2-4=4k-30，解得：；（2），x1+x2=-（2k+1）0，又x1x2=k2+10，x10，x20，|x1|+|x2|=-x1-x2=-（x1+x2）=2k+1，|x1|+|x2|=x1x2，2k+1=k2+1，k1=0，k2=2，又，k=233解：设小路的宽为xm，依题意有（40-x）（32-x）=1140，整理，得x2-72x+140=0解得x1=2，x2=70（不合题意，舍去）答：小路的宽应是2m34解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是（斤）；（2）根据题意得：（4-2-x）（100+200x）=300，解得：x=或x=1，每天至少售出260斤，x=1答：张阿姨需将每斤的售价降低1元
