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1、四川省成都七中2014届高三4月第一次周练数学（文）试题 一、选择题(共50分,每题5分) 1.数列满足:,则其前10项的和A.100 B.101 C.110 D.111 2.命题甲:或;命题乙:,则甲是乙的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充分必要条件 D.既不充分条件也不必要条件3.程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的值是A.3 B.4 C.5 D.64.已知双曲线的一条渐近线与轴的夹角为,则此双曲线的离心率为 A. B. C.2 D.35.设且.若对恒成立,则的取值范围是A. B.C. D.6.在用土计算机进行的数学模拟实验中,一个应用微生物跑步参加化学反应,其物理速度与时
2、间的关系是,则 A.有最小值 B.有最大值 C.有最小值 D.有最大值7.定义集合与的运算“*”为:或,但.设是偶数集,则A. B. C. D.8.已知三棱柱的侧棱在下底面的射影与平行,若与底面所成角为,且,则的余弦值为 A. B. C. D. 9.正项等比数列满足:,若存在,使得,则的最小值为A. B. C. D.10.已知且,则存在,使得的概率为A. B. C. D.二、填空题(共25分,每题5分)11.将容量为50的样本数据,按从小到大的顺序分成4组如右表,则第3组的频率为_(要求将结果化为最简分数)12.若,其中为虚数单位,则_.13.若对恒成立,则实数的取值范围是_.14.已知,则与
3、的夹角的取值范围是_.15.设分别为椭圆:的左右顶点,为右焦点,为在点处的切线,为上异于的一点,直线交于,为中点,有如下结论:平分;与椭圆相切;平分;使得的点不存在.其中正确结论的序号是_.三、解答题(共75分)16.(12分)有驱虫药1618和1573各3杯,从中随机取出3杯称为一次试验(假定每杯被取到的概率相等),将1618全部取出称为试验成功.(1)求一次试验成功的概率.(2)求恰好在第3次试验成功的概率(要求将结果化为最简分数).17.(12分)已知的定义域为.(1)求的最小值.(2)中,边的长为6,求角大小及的面积.19.(12分)设抛物线:的准线与轴交于点,焦点为;椭圆以和为焦点,
4、离心率.设是与的一个交点.(1)求椭圆的方程.(2)直线过的右焦点,交于两点,且等于的周长,求的方程.20.(13分)设,用表示当时的函数值中整数值的个数.(1)求的表达式.(2)设,求.(3)设,若,求的最小值.21.(14分)设函数的定义域是,其中常数.(注: (1)若,求的过原点的切线方程.(2)证明当时,对,恒有.(3)当时,求最大实数,使不等式对恒成立.文科参考解答一、CBACD,BACDD 10.解.可行域是一个三角形,面积为2;又直线系与圆相切,故该三角形不被该直线系扫到的部分是一个半径为圆心角为的扇形,面积为,从而被直线系扫到部分的面积为,故所求概率为.二、11. 12. 13
5、. 14. 15.15.解.由上次中根出的题知成立;写出椭圆在点处的切线知成立;于是平分,故不成立;若,则为的斜边中线,这样的有4个,故不成立.三、16.解.(1)从6杯中任选3杯,不同选法共有种,而选到的3杯都是1618的选法只有1种,从而试验一次就成功的概率为. (2)相当于前两次试验都没成功,第3次才成功,故概率为.17.解.(1)先化简的解析式:由,得,所以函数的最小值,此时.(2)中,故(正弦定理),再由知,故,于是,从而的面积.18.解一.连设,连.(1)由面,知, 又, 故面. 再由面便得.(2)在正中,而, 又面,平面,且,故面,于是,为二面角的平面角.正方体ABCD中,设棱长
6、为,且为棱的中点,由平面几何知识易得,满足,故.再由知面,故是直线与平面所成角.又,故直线与平面所成角的正弦是. 解二.分别以为轴正向,建立空间直角坐标系.设正方体棱长为. (1)易得. 设,则,从而,于是(2)由题设,则,. 设是平面的一个法向量,则,即 于是可取,.易得,故若记与的夹角为,则有,故直线与平面所成角的正弦是.19.解.(1)由条件,是椭圆的两焦点,故半焦距为,再由离心率为知半长轴长为2,从而的方程为,其右准线方程为.(2)由(1)可知的周长.又:而.若垂直于轴,易得,矛盾,故不垂直于轴,可设其方程为,与方程联立可得,从而,令可解出,故的方程为或.20.解.对,函数在单增,值域为, 故.(2),故 . (3)由得,且两式相减,得 于是故若且,则的最小值是7.21.解.(1).若切点为原点,由知切线方程为;若切点不是原点,设切点为,由于,故由切线过原点知,在内有唯一的根. 又,故切线方程为. 综上所述,所求切线有两条,方程分别为和.(2)当时,令,则,故当时恒有,即在单调递减,故对恒成立.又,故,即,此即(3)令,则,且,显然有,且的导函数为 若,则,易知对恒成立,从而对恒有,即在单调增,从而对恒成立,从而在单调增,对恒成立. 若,则,存在,使得对恒成立,即对恒成立,再由知存在,使得对恒成立,再由便知不能对恒成立. 综上所述,所求的最大值是6.
