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1、成都外国语学校2015届11月理科数学试题出题人：文军 审题人：于开选满分150分，考试时间120 分钟。注意事项：1答题前，考生务必先认真按要求填写、填涂本人姓名、学号、班级在答题卡的相应位置上；2答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3答题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上；4所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效；开始输入输出结束是否5考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。一、选择题（本大题10个小题，每题5分，共50分,请将答案涂在答题卷上）1.已知为虚数单位
2、，若为纯虚数，则复数的模等于（） A B C D 2.如图所示的程序框图的输入值，则输出值的取值范围为（ ）A B C D3.某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）A B6 C4D 4.下列命题正确的个数是（ ）“在三角形中，若,则”的逆命题是真命题；命题或，命题则是的必要不充分条件；“”的否定是“”；若随机变量，则A1 B2 C3 D45.已知等比数列的前n项和为，且，则（ ）A B C D6.若函数的图像向右平移个单位后与原函数的图像关于轴对称，则的最小正值是 （ ）AB1C2D37.若正
3、实数，满足，则的最大值是( )A2 B3 C4 D58.某校周四下午第三、四两节是选修课时间,现有甲、乙、丙、丁四位教师可开课。已知甲、乙教师各自最多可以开设两节课,丙、丁教师各自最多可以开设一节课.现要求第三、四两节课中每节课恰有两位教师开课(不必考虑教师所开课的班级和内容),则不同的开课方案共有（）种。A、20 B、19C、16D、159.定义在上的函数,是它的导函数,且恒有成立,则（）A B C D10.已知R上的连续函数g(x)满足：当时，恒成立(为函数的导函数)；对任意的都有，又函数满足：对任意的，都有成立。当时，。若关于的不等式对恒成立,则的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、或
4、二填空题（本大题5个小题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卷上）11.已知函数，则的解集为 12.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 13在直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，若其终边经过点，且，定义：，称“”为“的正余弦函数”，若，则_ .14.如图，四边形是边长为1的正方形，延长至，使得。动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，.则的取值范围为_15.在实数集R中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”.类似的，我们在平面向量集上也可以定义一个称“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个向量，“”当且仅当“”或“”。按
5、上述定义的关系“”，给出如下四个命题：若，则；若，则；若，则对于任意；对于任意向量，若，则。其中真命题的序号为_三解答题（本大题6个小题，共75分，请把答案填在答题卷上）16（12分）集合，若命题，命题，且是必要不充分条件，求实数的取值范围。17.（12分）如图，海上有两个小岛相距10，船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为，现从船O上派下一只小艇沿方向驶至处进行作业，且设。（1）用分别表示和，并求出的取值范围；（2）晚上小艇在处发出一道强烈的光线照射A岛，B岛至光线的距离为，求BD的最大值18（12分）在四棱锥中， ，点是线段上的一点，且，（1）证明：面面； （2）求直线与平面所成角的正弦值1
6、9（12分）某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。学生甲三轮考试通过的概率分别为，且各轮考核通过与否相互独立。（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；（2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金。记学生甲得到教育基金的金额为，求的分布列和数学期望。20.（13分）已知数列中,且点在直线上。(1)求数列的通项公式；(2)若函数求函数的最小值；(3)设表示数列的前项和.试问:是否存在关于的整式,使得对于一切不小于2的自然数恒成立？若
7、存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在,试说明理由。21. （14分）设函数,.（1）求的极大值；（2）求证：（3）当方程有唯一解时，试探究函数与的图象在其公共点处是否存在公切线，若存在.研究的值的个数；若不存在，请说明理由.成都外国语学校2015届11月理科数学试题参考答案一、选择题题号12345678910答案二、填空题11、；12、40；13、；14、；15、三、解答题16、解： -5分故 -6分在为减函数，故， -8分又命题，命题，是必要不充分条件，故 -10分且，从而 -12分17、解：（1）在中，由余弦定理得， 又，所以 ， 1分在中，由余弦定理得， ， 3分 +得，-得，即，
8、4分 又，所以，即， 又，即， 所以 6分 （2）易知，故， 8分 又，设， 所以， 9分 又 10分则在上是增函数， 所以的最大值为，即BD的最大值为10 12分（利用单调性定义证明在上是增函数，同样给满分；如果直接说出 上是增函数，但未给出证明，扣2分）18解：（1）由，得，又因为，且，所以面， 4分且面所以，面面。 6分（2）过点作，连结，因为，且，所以平面，又由平面，所以平面平面，平面平面，过点作，即有平面，所以为直线与平面所成角 9分在四棱锥中，设，则，从而，即直线与平面所成角的正弦值为12分19解：（1）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A，则P(A)所以学生甲通过该高校自主
9、招生考试的概率为-4分（2）的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元-5分，-9分所以，的分布列为0100020003000P 数学期望为-12分20、 法二：先由n=2,n=3的情况，猜想出g(n)=n，再用数学归纳法证明。21、解：（1）由得0递增极大值递减从而在单调递增,在单调递减. 4分（2）证明： 6分分别令 ， 9分（3）解：由（1）的结论：方程有唯一解 函数假设的图象在其公共点处存在公切线， 由得：，即： 又函数的定义域为：当时， 函数与的图象在其公共点处不存在公切线；当时，令即： 即：下面研究方程在解的个数令： 在递减，递增； 且且当； 当在有两个零点方程在解的个数为2综上：当时，函数与的图象在其公共点处不存在公切线；当时，符合题意的的值有2个 14分
