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1、四川省成都市第七中学2015届高三3月第二周周练数学试题 一、选择题（每小题5分，共10个小题，每题只有一个正确答案）1.已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D.2.函数的图象是（ ）3.已知等差数列中，前10项的和等于前5项的和.若则（ ）A.10 B.9 C.8 D.24.在的展开式中，项的系数是项系数和项系数的等比中项，则实数的值为（ ）A. B. C. D.5.执行如下图（左）所示的程序框图,若输出的值为16，那么输入的值等于（ ）A.5 B.6 C.7 D.86.某几何体的三视图如下图（右）所示，则该几何体的体积为（ ）A.10 B.20 C.40 D.607.已知的重心为G，
2、角A，B，C所对的边分别为，若则（）A.1：1：1 B. C. D.8.已知，定义：，给出下列命题： （1）对任意，都有；（2）若是复数的共轭复数，则恒成立；（3）若，则；（4）对任意，结论恒成立，则其中真命题的个数是（ ）A.4 B.3 C.2 D.19.设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.10.已知函数在点、点处取到极值，其中是坐标原点，在曲线上，则曲线的切线的斜率的最大值是（ ）A. B. C. D.二、填空题（每小题5分，共5个小题，请填入符合要求的答案）11.已知命题在区
3、间上是减函数；命题不等式的解集为R.若命题“”为真，命题“”为假，则实数的取值范围是_.12. 某A、B、C三个社团，现有甲、乙、丙、丁四位同学报名参加，规定每位同学只能报一个社团，三个社团都要有新人加入，且甲同学不能参加A社团.则不同的报名方式种数为_.13.设实数满足约束条件，若目标函数 的最大值为8，则的最小值为_.14函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为，则是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”_.15定义一：对于一个函数f（x）（xD），若存在两条距离为d的直线ykxm1和ykxm2，使得在xD时，kxm1f（x）k
4、xm2 恒成立，则称函数f（x）在D内有一个宽度为d的通道定义二：若一个函数f（x），对于任意给定的正数，都存在一个实数x0，使得函数f（x）在x0，）内有一个宽度为的通道，则称f（x）在正无穷处有永恒通道下列函数： f（x）lgx；f（x）；f（x）；f（x）；f（x）2x；f（x）3x.其中在正无穷处有永恒通道的所有函数的序号是_.（2）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时的值是）求随机变量的分布列及其数学期望ABCDE图1图2A1BCDE17.（本小题满分12分）如图1，在Rt中，将沿折起到的位置，使，如图2（）求证： 平面；（）
5、若，求平面与平面所成二面角的大小18（本小题满分12分）如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段是函数，的图像，图像的最高点为边界的中间部分为长千米的直线段，且游乐场的后一部分边界是以为圆心的一段圆弧（1）求曲线段的函数表达式；（2）曲线段上的入口距海岸线最近距离为千米，现准备从入口修一条笔直的景观路到，求景观路长；（3）如图，在扇形区域内建一个平行四边形休闲区，平行四边形的一边在海岸线上，一边在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求平行四边形休闲区面积的最大值及此时的值19（本小题满分12分）已知数列满足：，.数列的前项和为，.（）求数列，的通项公式；（）设，.
6、求数列的前项和.20（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，已知动点，点点与点关于直线对称，且.直线是过点的任意一条直线（1）求动点所在曲线的轨迹方程；（2）设直线与曲线交于两点，且，求直线的方程；（3） 设直线与曲线交于两点，求以为直径且经过坐标原点的圆的方程21（本小题满分14分）设是定义在上函数，其导数为.如果存在实数和函数，（其中对任意的都有），使得，则称函数具有性质P（）.（I）设函数，其中b为实数.（1）求证：函数具有性质P（b）；（2）求函数的单调区间.（II）已知函数具有性质P(2).给定，设m为实数，且，若，求m的取值范围.成都七中高2015届数学第二周周末作业参考答案一、选
7、择题1已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D.【答案】D ,则,.考点：集合的运算.2.函数的图象是（ ）【答案】B的定义域为，所以排除A,D；当时，为增函数，所以排除D，故选B.考点：函数的图像与性质.3.已知等差数列中，前10项的和等于前5项的和.若则（ ）A.10 B.9 C.8 D.2【答案】A由已知得，可得；又由，从而有，当时时，m可为任意正整数值与题意不合；当时,得m=10。故选A考点：等差数列4.在的展开式中，项的系数是项系数和项系数的等比中项，则实数的值为（ ）A. B. C. D.【答案】A的展开式的通项为，分别令，得到的系数依次为，由题意，得，解得.5执行如图所示的程
8、序框图,若输出的值为16，那么输入的值等于（ ）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C初始条件：i=1,s=1，n;第1次运行：1n是，s=1+（1-1）=1,i=1+1=2;第2次运行：2n是，s=1+（2-1）=2,i=2+1=3;第3次运行：3n是，s=2+（3-1）=4,i=3+1=4;第4次运行：4n是，s=4+（4-1）=7,i=4+1=5;第5次运行：5n是，s=7+（5-1）=11,i=5+1=6;第6次运行：6n是，s=11+（6-1）=16,i=6+1=7;第7次运行：7n否，输出s=16;故知输入的n=7;故选C考点：算法与程序框图6某几何体的三视图如图所示，则该几何体
9、的体积为（ ）A.10 B.20 C.40 D.60【答案】B由三视图可知该几何体直观如图所示：且三角形ABC是以角A为直角的直角三角形，AB=4，AC=3，从而BC=5；又BD=5，且BD平面ABC，故知四边形BCED是边长为5的正方形，过A作AHBC于H，则易知AH平面BCED，在直角三角形ABC易求得AH=，从而；故选B考点：三视图及几何体体积7.已知的重心为G，角A，B，C所对的边分别为，若则（）A.1：1:1 B. C. D.【答案】B因为是的重心，则，又，则,即，则，即；由正弦定理，得.考点：平面向量的线性运算、正弦定理.8已知，定义：，给出下列命题： （1）对任意，都有；（2）若
10、是复数的共轭复数，则恒成立；（3）若，则；（4）对任意，结论恒成立，则其中真命题的个数是（ ）A4 B3 C2 D1【答案】C对于（1），由定义当z=0时，D（z）=0,故（1）错误；对于（2）由于共轭复数的实部相等而虚部互为相反数，所以恒成立，故（2）正确；对于（3）两个复数的实部与虚部的绝对值和相等并不能得到实部与虚部分别相等，所以两个复数也不一定相等，故（3）错误；（4）正确.从而应选C考点：1.创新题；2.复数的概念9.设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A B C D【答案】A直线的方程为，与
11、双曲线渐近线的交点为，与双曲线在第一象限的交点为，所以，由得，解之得，所以，故选A.10已知函数在点、点处取到极值，其中是坐标原点，在曲线则曲线的切线的斜率的最大值是（ ）A. B. C. D.【答案】D根据题意由函数，则，设由，又有，又，其中，则有，所以分别在处取得极小值和极大值，则，令，由得，上单调递增，在上单调递减，所以处取得唯一极大值，即最大值，所以.故选D.二、填空题11.已知命题在区间上是减函数；命题不等式的解集为R.若命题“”为真，命题“”为假，则实数的取值范围是_【答案】因为在区间上是减函数，所以得，因为不等式的解集为R，所以得，要保证命题“”为真，命题“”为假，则需要两个命题
12、中只有一个正确，而另一个不正确，解得.故答案为：.12.某A、B、C三个社团，现有甲、乙、丙、丁四位同学报名参加，规定每位同学只能报一个社团，三个社团都要有新人加入，且甲同学不能参加A社团.则不同的报名方式种数为_.答案：2413.设实数满足约束条件，若目标函数 的最大值为8，则的最小值为_答案：4 满足约束条件的平面区域如图，由，得，由，知，所以，当直线经过点时，取得最大值，这时，即，所以，当且仅当时，上式等号成立.所以的最小值为14函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为，则是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”_【答案】作出
13、函数的图象（如图所示）. 由得，由函数的图象可知，当直线与函数的图像有三个不同的交点时，满足.不妨设，则由得，由得，由得，且所以，故答案为15定义一：对于一个函数f（x）（xD），若存在两条距离为d的直线ykxm1和ykxm2，使得在xD时，kxm1f（x）kxm2 恒成立，则称函数f（x）在D内有一个宽度为d的通道定义二：若一个函数f（x），对于任意给定的正数，都存在一个实数x0，使得函数f（x）在x0，）内有一个宽度为的通道，则称f（x）在正无穷处有永恒通道下列函数： f（x）lgx，f（x），f（x），f（x），f（x）2x，f（x）3x.其中在正无穷处有永恒通道的所有函数的序号是_【答
14、案】. f（x）lgx，随着x的增大，函数值也在增大，无渐近线，故不存在一个实数x0，使得函数f（x）在x0，）内有一个宽度为的通道，故f（x）在正无穷处无永恒通道；f（x），随着x的增大，函数值趋近于0，对于任意给定的正数，都存在一个实数x0，使得函数f（x）在x0，）内有一个宽度为的通道，故f（x）在正无穷处有永恒通道；f（x），随着x的增大，函数值在减小，有一条渐近线yx，对于任意给定的正数，都存在一个实数x0，使得函数f（x）在x0，）内有一个宽度为的通道，故f（x）在正无穷处有永恒通道；f（x），随着x的增大，函数值也在增大，无渐近线，故不存在一个实数x0，使得函数f（x）在x0，）
15、内有一个宽度为的通道，故f（x）在正无穷处无永恒通道；f（x）ex，随着x的增大，函数值无线增大，没有渐近线，在正无穷处没有永恒通道；f（x）3x，随着x的增大，函数值也在增大，存在渐近线为y3x对于任意给定的正数，都存在一个实数x0，使得函数f（x）在x0，）内有一个宽度为的通道，故f（x）在正无穷处有永恒通道故答案为：三、解答题16 （理科）（本小题满分12分）在1，2，7这7个自然数中，任取个不同的数（1）求这个数中至少有个是偶数的概率；（2）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时的值是）求随机变量的分布列及其数学期望【答案】（1）
16、（2）012P=【解析】（1）7个自然数中，任取个不同的数共有种基本事件,其中这个数中都不是偶数的包含种基本事件，由对立事件概率和为1得：这个数中至少有个是偶数的概率为（2）先确定随机变量的取法：0,1,2 ，其中 =2表示三个相邻的数，有5种基本事件；=1表示仅有两个相邻的数，基本事件为（1,2,*）4个；（2,3，*）3个；（3,4，*）3个；（4,5，*）3个，（5,6，*）3个，（6,7，*）4个共20种基本事件；从而=0包含10种基本事件；最后根据数学期望定义求解.解：（）P= （）的取值为0,1,2 P（=2）= P（=1）= P（=0）= 分布列为012P= 考点：古典概型概率，
17、概率分布列，数学期望17（本小题满分12分）如图1，在Rt中，将沿折起到的位置，使，如图2（）求证： 平面；（）若，求平面与平面所成二面角的大小 【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）由折起过程可知，所以平面，又，可证；（2）建立空间直角坐标系，由空间向量直接计算二面角的大小即可.试题解析：（）证明： 在中，.又.由. 5分（）如图,以为坐标原点，建立空间直角坐标系取A1C的中点F，连DF，则 由（1）可知，, 从而 为平面的法向量，又 ，设平面的法向量为由 平面与平面所成锐二面角的余弦值为 12分18.如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段是函数，的图
18、像，图像的最高点为边界的中间部分为长千米的直线段，且游乐场的后一部分边界是以为圆心的一段圆弧（1）求曲线段的函数表达式；（2）曲线段上的入口距海岸线最近距离为千米，现准备从入口修一条笔直的景观路到，求景观路长；（3）如图，在扇形区域内建一个平行四边形休闲区，平行四边形的一边在海岸线上，一边在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求平行四边形休闲区面积的最大值及此时的值【答案】（1）；（2）；（3）时，平行四边形面积最大值为【解析】分析：（1）求函数的解析式时，比较容易得出，困难的是确定待定系数的值，常用如下方法:一是由即可求出的值；确定的值，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐
19、标，则令（或），即可求出；二是代入点的坐标，利用一些已知点坐标代入解析式，再结合图形解出，若对的符号或对的范围有要求，则可利用诱导公式进行变换使其符合要求；（2）运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用；重视三角函数的三变：三变指变角、变名、变式；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等，适当选择公式进行变形；（3）把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性、最值和对称性.解：（1）由已知条件，得 1分又 2分又当时，有 2分 曲线段的解析式为 1分（2）由得
20、 2分又 2分 1分 景观路长为千米 1分（3）如图， 1分作轴于点，在中， 1分在中， 1分 1分 1分 2分当时，即时，平行四边形面积最大值为 1分19（本小题满分12分）已知数列满足：，.数列的前项和为，.（）求数列，的通项公式；（）设，.求数列的前项和.【答案】（）（）【解析】分析：（1）数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，再由递推关系求数列的通项公式，常用方法有：一是求出数列的前几项，再归纳总结出数列的一个通项公式；二是将已知递推关系式整理、变形，变成等差数列或者等比数列，或用累加法，累乘法，迭代法求通项.（2）给出与的关系，求，
21、常用思路：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与的关系，再求；（3）一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后做差求解解：（）由得，又，所以是以1为首项，为公差的等差数列，则，.当时，当时，又时，所以，.（）由（）知，所以.所以 （1）等式两边同乘以得 （2）（1）-（2）得所以. 20（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，已知动点，点点与点关于直线对称，且.直线是过点的任意一条直线（1）求动点所在曲线的轨迹方程；（2）设直线与曲线交于两点，且，求直线的方程；（3） 设直线与曲线
22、交于两点，求以为直径且经过坐标原点的圆的方程【答案】（1） ； （2） ； （3） 【解析】分析：（1）求出N的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，化简即可得到轨迹方程；（2）设l：y=k（x-1），联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理和弦长公式，即可求得斜率，进而得到直线方程；（3）由于当直线轴时，点到圆心的距离为1.即点在圆外，不满足题意.所以满足题意的直线的斜率存在，设为，则，由（2）可得，由点O在圆上知：，从而由向量的数量积可求出k的值，进而就可求出半径和圆心坐标，所以就可写出圆的方程.解：（1）依据题意，可得点. 又，. 所求动点的轨迹方程为. （2） 若直线轴，则可求得，这与已知矛盾，
23、因此满足题意的直线不平行于轴 设直线的斜率为，则 由 得 设点，有 且恒成立（因点在椭圆内部）又，于是，即， 解得 所以，所求直线 （3） 当直线轴时，点到圆心的距离为1.即点在圆外，不满足题意.满足题意的直线的斜率存在，设为，则. 设点，由（2）知，进一步可求得 依据题意，有， 即，解得. 所求圆的半径，圆心为. 所求圆的方程为：. 21（本小题满分14分）设是定义在上函数，其导数为.如果存在实数和函数，（其中对任意的都有），使得，则称函数具有性质P（）.（I）设函数，其中b为实数.（1）求证：函数具有性质P（b）；（2）求函数的单调区间.（II）已知函数具有性质P(2).给定，设m为实数，
24、且，若，求m的取值范围.解：（I）（1），当x1时，恒成立，函数具有性质P（b）.（2）设，则与的符号相同.当0即2b2时，0，故0恒成立，在区间上单调递增.当0即b时，0，故0恒成立，在区间上单调递增.当0即b2或b2时，分两种情况讨论：若b2则对称轴x，而，故0恒成立，在区间上单调递增.（也可以这样答：当b2时，对于x1，故0恒成立，在区间上单调递增.）若b2时，的图象开口向上，对称轴x,方程0的两根为（舍去）.当时，0，故0恒成立，在区间上单调递减.同理可得在区间上单调递增.综上所述，当b2时，在区间上单调递增；当b2时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.（II）法一：由已知得，对任意的都有，对任意的都有0，在上单调递增.又，当时，且，或.若，则，不合题意，舍去.，即，解得：m1.（这里还说明不可能有m1）.当m1时，不合题意.当m时，0，符合题意.当m时，且，同理有即，解得m0.故0m.综上所述，所求m的取值范围为（0,1）.法二：由已知，其中对任意的都有，故当x1时，从而在上单调递增.当，时，有，故，同理可得，所以由的单调性得：，从而有：.当m0时，于是由及的单调性得，与题设不符，应舍去.当m1时，同理可得，进而可得：，与题设不符，舍去.综上所述，所求m的范围为（0,1）.
