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1、,概率论与数理统计,第一章 概率论的基本概念,古典概型,第二章 随机变量及其分布,随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数,X=X(e)为S上的单值函数，X为实数,*本质：将试验结果数量化,随机变量,设随机试验的样本空间为S=e，如果对于每一个样本点，均有唯一的实数 与之对应，称 为样本空间S上的随机变量。,1)它是一个变量 2)它的取值随试验结果而改变 3）随机变量在某一范围内取值，表示一个随机事件,随机变量的特征:,随机变量的分布函数,一个普通的函数！,一个随机事件,离散型随机变量及其分布,定义：取值可数(可列)的随机变量为离散量离散量的概率分布(分布律),#
2、概率分布,三个主要的离散型随机变量 01(p)分布二项分布,样本空间中只有两个样本点,(p+q=1),背景：样本空间只有两个样本点的情况,都可以用0-1 分布分布来 描述。,设A在n重贝努利试验中发生X次，则并称X服从参数为p的二项分布，记,泊松分布(Poisson分布)若随机变量X的概率分布律为称X服从参数为的泊松分布，记,连续型随机变量及其概率密度,定义：对于随机变量X的分布函数 若存在非负的函数 使对于任意实数 有：,其中 称为X的概率密度函数，简称概率密度。,则称X为连续型随机变量，,与物理学中的质量线密度的定义相类似,三个重要的连续量 均匀分布(一维几何概型)定义：X具有概率密度 称
3、X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为XU(a,b),指数分布定义：设X的概率密度为其中0为常数，则称X服从参数为的指数分布。记为,X具有如下的无记忆性：,正态分布,随机变量的函数分布,一般，若已知X的概率分布，Y=g(X)，求Y的概率分布的过程为：,关键是找出等价事件。,第三章 多维随机变量及其分布,二维随机变量分布函数 分布律 概率密度边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度条件分布函数 条件分布律 条件概率密度随机变量的独立性Z=X+Y的概率密度M=max(X,Y)的概率密度N=min(X,Y)的概率密度,数学期望方差协方差相关系数矩,第四章 随机变量的数字特征,定义：定义：,数学期望简称
4、期望，又称均值。,数学期望,数学期望的特性：,这一性质可以推广到任意有限个随机变量线性组合的情况,定义：设X是一个随机变量,若EX-E(X)2存在,则称EX-E(X)2为X的方差.记为D(X)或Var(X),即,D(X)=Var(X)=EX-E(X)2,称为X的标准差或均方差.,定理:,对于离散型随机变量X，,对于连续型随机变量X，,方差,方差的性质：,几种常见分布的均值与方差,数学期望 方差,分布率或 密度函数,分布,协方差及相关系数,定义：,协方差的性质：,相关系数的性质：,矩,第六章 数理统计的基本概念,总 体 样 本 统 计 量,总体和样本,总体：研究对象的全体。如一批灯泡。个体：组成
5、总体的每个元素。如某个灯泡。抽样：从总体X中抽取有限个个体对总体进行观察的取值过程。随机样本：随机抽取的n个个体的集合(X1,X2,Xn),n为样本容量简单随机样本：满足以下两个条件的随机样本(X1,X2,Xn)称 为简单随机样本。1.每个Xi与X同分布2.X1,X2,Xn是相互独立的随机变量说明：后面提到的样本均指简单随机样本，由概率论知，若总体X具有概率密度f(x)，则样本（X1,X2,Xn）具有联合密度函数：,统计量：样本的不含任何未知参数的函数。常用统计量：设（X1,X2,Xn）为取自总体X的样本,常用的分布,正态总体样本均值和方差的分布,第七章 参数估计,矩估计法 极大似然估计法 置
6、信区间 置信度,参数的点估计,求极大似然估计的一般步骤归纳如下：,估计量的评选标准,对总体的未知参数可用不同方法求得不同的估计量，如何评价好坏？通常用三条标准检验：无偏性，有效性，相合性 无偏性,在评价一个估计量的好坏时,我们当然希望估计量与被估参数越接近越好.但估计量是一个随机变量,它的取值随样本的观测值而变,有时与被估参数的真值近些,有时远些,我们只能从平均意义上看估计量是否与被估参数尽量接近,最好是等于被估参数.于是有无偏估计量的概念.,有效性,一个参数的无偏估计量不是唯一的,假若参数有两个无偏估计量,我们认为其观测值更密集在参数真值附近的一个较为理想.由于方差是随机变量取值与其数学期望
7、的偏离程度的度量,所以无偏估计以方差小者为好.这就引出了估计量的有效性这一概念.,一致性,估计量的无偏性和有效性都是在样本容量固定的前提下提出的.我们自然希望随着样本容量的增大,一个估计量的值稳定于待估参数的真值.这就对估计量提出了一致性的要求.,区间估计,单侧置信区间,这时必有,正态总体均值方差的区间估计,正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限,随机过程 状态和状态空间 样本函数 有限维分布函数 均值函数 方差函数 自相关函数自协方差函数 互相关函数互协方差函数 正态过程 独立增量过程 泊松过程 维纳过程,第十二章 随机过程及其统计描述,一维、二维或一般的多维随机变量的研究是概率论的研究内
8、容，而随机序列、随机过程则是随机过程学科的研究内容。从前面的描述中看到，它的每一样本点所对应的，是一个数列或是一个关于t的函数。,随机过程的概念,随机过程的统计描述,(二)随机过程的数字特征,(三)二维随机过程的分布函数和数字特征,3 泊松过程及维纳过程,独立增量过程的性质：,泊松过程的定义,泊松过程,定理一：强度为的泊松流(泊松过程)的点间间距是相互独立的随机变量，且服从同一指数分布 定理二：如果任意相继出现的两个质点的点间间距是相互独立，且服从同一个指数分布：这两个定理刻画出了泊松过程的特征，定理二告诉我们，要确定一个计数过程是不是泊松过程，只要用统计方法检验点间间距是否独立，且服从同一个指数分布。,则质点流构成强度为的泊松过程,维纳过程,(宽)平稳过程 时间均值 时间相关函数 各态历经性 谱密度,第十四章 平稳随机过程,平稳随机过程的概念,平稳过程的功率谱密度,(二)谱密度的性质,
