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1、变号级数,一般项级数任意项级数,变号级数定义,若级数，既有无限(无穷)多项是正数,又有无限多项是负数,则称此级数是变号级数.,定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,若级数的项依次是正数和负数(各项符号正负)相间,即,则称为交错级数.,特殊的变号级数-交错级数,定义:正、负项相间的级数称为交错级数,定理10、莱布尼茨判别法,因为有,所以,即交错级数的和不大于第一项的绝对值 u1,例 下列交错级数都是收敛的：,注意:,1.莱布尼茨判别法是判定级数 收敛的充分但非必要条件；两个条件缺一不可,2.判定 的方法:,判定下列级数是否收敛,例:,又例:,例11:,任意项级数,正项级数,任意项级数的
2、各项取绝对值,问题:如何研究任意项级数的敛散性问题？,下面讨论一般变号级数的敛散性,任意项级数的敛散性（所有可能情况）,绝对收敛与条件收敛,若级数,收敛，则称级数,条件收敛,收敛，,若级数,发散，,而级数,绝对收敛,(即绝对收敛级数一定收敛,但反之不然.),定理11:,则 收敛.,以上定理的作用：,任意项级数,正项级数,取绝对值,转化,如:,注:,讨论下列变号级数的绝对收敛性和条件收敛性,例13:,下面介绍两个判别一般项级数收敛性的方法.,阿贝尔判别法和狄利克雷判别法,引理(分部求和公式，也称阿贝尔(abel)变换),证明：,在积分中,分部积分是重要方法,阿贝尔变换变形后在形式上也与分部积分公式十分相似.,比较,由分部积分公式,再与阿贝尔变换比较,可见阿贝尔变换中的 相当于分部积分公式中的,差 相当于微分,和式相当于积分.,推论(阿贝尔引理)若,证明：,定理12 狄利克雷判别法,定理13 阿贝尔判别法,定理12 狄利克雷判别法,收敛,收敛,下界,例15,
