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1、1,9.3 任意项级数,本节讨论一般的常数项级数,即各项符号不尽相同的变号级数(任意项级数).如级数,一.交错级数,下面讨论任意项级数的敛散性的判别法.首先讨论其中的一种各项正负相间的特殊情形 交错级数,它是一种常见而有实用价值的特殊级数.,定义4 正负项相间的级数,称为交错级数.其一般形式为,2,定理11(Leibnitz判别法),若交错级数,满足条件:,则交错级数收敛,且其和,证 因为,则序列 单増.,则序列,余项,3,则无论n是奇数还是偶数均有,于是交错级数,收敛,且其和,也是交错级数,同样满足定理给,出的两个条件.从而,例14 判定下列交错级数的敛散性.,收敛.,4,由于任意常数项级数
2、各项的符号不一定同号,因而正项级数的敛散性的判别法对它来说是不适用的.但当我们,定义5 若级数 每项取绝对值构成的级数 收敛,二.任意常数项级数,可借助于正项级数的敛散性的判别法来研究它了.,绝对收敛;,例如级数,是条件收敛的.,是绝对收敛的;,它的每一项取绝对值后组成的级数正项级数,便,考察,收敛,则称级数,则称级数,若级数,发散,而级数,条件收敛.,5,定理12 若级数 收敛,则级数 必定收敛.,即绝对收敛的级数必收敛.,证 设,收敛.,收敛.,注1 所有正项级数的收敛都是绝对收敛.,注2 一切判别正项级数的敛散性的判别法都可用来判定任意常数项级数是否绝对收敛,从而收敛.,6,而不能断定它
3、必为发散,(2)若用比值法和根值法判别级数,得出级数,注意:,定理13 若任意项级数 满足条件,则(1)当 l 1时,级数绝对收敛;,(2)当 l 1时,级数发散.,(1)当 发散时,就只能断定,此时需进一步用其他方法来判,的敛散性.,定,发散,则可断言级数,一定发散.,非绝对收敛,7,如级数收敛的定义,级数的一些基本性质等进行判别.,证,则对,发散.,注3 对于任意项级数,首先判断它是否绝对收敛,再看它是否为交错级数;,是否收敛);,(即用正项级数的判,别法,判别,若是交错级数，就用,莱布尼兹判别法判别,是否收敛;,若前面方法失效,就考虑用其它方法;,8,例15 判定下列级数的敛散性:,由比较判别法的极限形式知,故原级数绝对收敛.,发散.,收敛.,9,从而原级数不绝对收敛；,则原级数条件收敛.,设,但它却是满足莱布尼兹条件,的交错级数,即,10,故原级数条件收敛.,当 x e 时,单减,则,由根值判别法知 收敛.,故原级数绝对收敛.,单减；,11,例16 判定下列级数的敛散性:,递减,则原级数条件收敛.,则原级数发散.,则原级数绝对收敛.,则原级数不绝对收敛.,12,则原级数条件收敛;,而原级数为此两级数的和,则原级数发散;,解 当 时,级数为,当 时,收敛;,发散,当 时,将原级数加括号后所得级数为,13,发散,故原级数发散.,从而加括号后所得级数为发散的,
