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1、2023/3/2,1,第二章 单自由度系统的振动,2023/3/2,2,强迫振动：结构在动荷载作用下的振动称为强迫振动或受迫振动（forced vibration）。由方程：可以得到单自由度体系强迫振动的微分方程：,1.1 单自由度系统简谐荷载作用下 的受迫振动,2023/3/2,3,其中,和 的定义与自由振动时相同。,2023/3/2,4,1、无阻尼受迫振动方程解 设单自由度体系承受简谐荷载：是简谐荷载的圆频率，是简谐荷载的最大值，称为幅值。可得（无阻尼）：,2023/3/2,5,方程的解由两部分组成，即齐次解和特解。设特解的形式为：求得：特解为：,2023/3/2,6,微分方程的齐次解：全
2、解：振动由两部分组成：第一部分按荷载频率 振动，为纯粹的强迫振动；第二部分按自振频率 振动，为外力引起的自由振动。,由初始条件确定,2023/3/2,7,2、动力系数,（1）实际上，由于有阻尼力存在，自由振动项将随时间的推移而逐渐消失，该项称为瞬态响应（transient response）。（2）自由振动消失之前的这一段时间内的响应称为过渡阶段，这段过渡时间的长短取决于阻尼的大小。,2023/3/2,8,（3）阻尼小，过渡时间就长；阻尼大，过渡时间就短。（4）过渡时间结束后，只按荷载频率振动的阶段称为平稳阶段，对应的响应称为稳态响应(stationary response)。,（5）在振动计
3、算中，通常都不考虑自由振动部分尚未完全衰减掉时的过渡阶段，而只计算在这以后系统按荷载频率进行的纯强迫振动。,2023/3/2,9,即特解部分：,令：为最大静位移，表示将荷载最大值P当作静荷载作用时结构所产生的位移；为动力放大系数或动力系数，表示最大动位移 与最大静位移 的比值。,则有：,2023/3/2,10,动力系数 与频率比值的关系：动力系数 是频率比值 的函数，变化规律如图所示，其中横坐标为，纵坐标为 的绝对值。,2023/3/2,11,特性分析：（1）当 时，动力系数。简谐荷载的数值虽然随时间变化，但与结构固有频率相比变化得非常慢，因而可当静荷载处理。（2）当 时，动力系数，且 随 的
4、增大而增大。,2023/3/2,12,（3）当 时，。当荷载频率 接近于结构固有频率 时，振幅会无限增大。这种现象称为共振。实际结构由于有阻尼的影响，共振时不会出现振幅为无限大的情况，但共振时的振幅比静位移大很多倍的情况有可能发生。（4）当 时，的绝对值随 的增大而减小。,2023/3/2,13,例1：下图为一无重简支梁，在跨中有重 的电机，电机偏心所产生的离心力为 若机器每分钟的转数，梁的。在不计阻尼的情况下，试求梁的最大位移和弯矩。,2023/3/2,14,解：（1）梁的自由振频率 由机器重力作用下梁的最大静力位移,则梁的自振频率为：,（2）机器的扰力频率为：,2023/3/2,15,（3
5、）系统的动力系数,（4）梁跨中截面的最大位移和弯矩,2023/3/2,16,例2：图示跨中带有一质体的无重简支梁，动力荷载 作用在距离左端l/4处，若 及，试求在荷载F(t)作用下，质体的最大动力位移。,2023/3/2,17,解：（1）用图乘法先求出柔度系数 及。该梁的自由振频率：,2023/3/2,18,（2）按叠加原理建立运动方程：,变换得：,即把非直接作用于质体的荷载按照静力位移等效的条件转换成直接作用于质体的荷载。,。,位移协调,等效,2023/3/2,19,则运动方程的解为：,由此式代入 及 相应的便可求得质体的最大动力位移。,a）当,时,b）当,时,2023/3/2,20,3、有
6、阻尼受迫振动方程解 在外力 作用下，并且考虑阻尼。则方程变为：上式通解为：,齐次解,特解,2023/3/2,21,其中，,设，将微分方程变为代数方程。,过程推倒,其解为，,，并令，,则，,仅考虑低阻尼的情况：,2023/3/2,22,待定系数法求出特解：,设方程的特解为：,代入方程,得，,2023/3/2,23,使上式为零，则：求得：有阻尼单自由度体系运动方程的全解为：,2023/3/2,24,第一部分频率：,（1）对外载的瞬态响应，常数A1和A2由初始条件确定。但是，由于阻尼的存在，频率为 的第一部分含有因子，因此会逐渐衰减直至消失。,第二部分频率：,瞬态响应,稳态响应,自由振动,强迫振动,
7、2023/3/2,25,（2）频率为 的第二部分由于受到荷载的周期影响而不衰减，这部分振动称为稳态响应。（3）体系从开始振动到稳态振动的那一阶段处于过渡状态，振幅和周期都在变化，因此称为非稳定振动或过渡态振动。过渡态的振幅的最大值会大于稳态振幅，但它会逐渐被衰减，衰减的快慢程度随 的大小而定。（4）仅分析纯受迫振动项（第二部分稳态响应）。,2023/3/2,26,任一时刻的稳态振动响应：或：得：表示振幅荷载最大值P作用下的静力位移。,2023/3/2,27,动力系数 对于有阻尼强迫振动，动力系数 不仅与频率比值 有关，而且与阻尼比 有关。对于不同的 值，和 与 之间的关系曲线如图。,2023/
8、3/2,28,图 有阻尼振动体系的响应特征参数,幅频曲线,相频曲线,2023/3/2,29,结论：（1）在 范围内，随着阻尼比 的增大，动力系数 的变化渐趋平缓，特别是在 附近，的峰值显著下降。（2）在 的共振情况下，动力系数为：,2023/3/2,30,忽略阻尼的影响，即 时，无阻尼体系共振时动力系数趋于无穷大。但是如果考虑阻尼的影响，则共振时动力系数总是一个有限值。因此：在研究共振时的动力响应，阻尼的影响不容忽视。,2023/3/2,31,（3）在阻尼体系中，共振时的动力系数虽然接近于最大的动力系数，但并不等于这个最大值。求最大响应时的 值：可求 对 的导数并令其等于零。对于阻尼比 的实际
9、结构，响应峰值频率为：相应的响应值：,2023/3/2,32,对于 的阻尼体系 在通常情况下，值很小，可以近似认为：,2023/3/2,33,（4）阻尼体系的位移比荷载滞后一个相位角 值由下式决定。,2023/3/2,34,1）当 0时，荷载频率很小，体系振动很慢，因此惯性力和阻尼力都很小，动荷载主要与弹性力平衡。由于弹性力与位移成正比，但方向相反，因此荷载与位移基本上是同步的。,2023/3/2,35,2）当 1时，当荷载频率接近结构固有频率时，位移 与外载 相差的相位角接近90。因此当荷载为最大时，位移和加速接近于零，因而弹性力和惯性力都接近于零，这时动荷载主要由阻尼力相平衡。,2023/
10、3/2,36,3）当 时，荷载频率很大，体系振动很快，因此惯性力很大，弹性力和阻尼力相对来说比较小，动荷载主要与惯性力平衡。由于惯性力与位移是同相位的，因此荷载与位移的相位角相差约180，即两者方向相反。,2023/3/2,37,体系上各个力的平衡:（进一步说明）,由已知的荷载，以及求得位移,可以求得,1)惯性力：,2)弹簧力：,2023/3/2,38,3）阻尼力：,1）当荷载频率,时，因频率比,这时惯性力Fi(t)阻尼Fd(t)都很小，荷载F(t)主要由弹簧Fs(t)平衡,讨论：,2023/3/2,39,3）当荷载频率 时，频率比，其中阻尼力项：,2）当荷载频率 时，因频率比 很大，这时荷载
11、主要由惯性力Fi(t)平衡,即荷载主要由阻尼力平衡。,2023/3/2,40,一般称这种状态为共振，通常将,的范围定为共振区，在共振区内阻尼力的影响不能忽略。而在共振区外，有时为了简化，可以不计阻尼力的影响。,2023/3/2,41,下图为体系上四个力在任意时刻的旋转向量平衡图。各个力在水平轴的投影分量之和即为动力平衡方程。从图中可以明显地看出各个力之间的相互关系。,2023/3/2,42,半功率法确定阻尼比：,简谐荷载受迫振动的幅频曲线可以用来确定系统的阻尼比。,2023/3/2,43,因为a，b两点是都是曲线上点，它们应满足相应的动力系数 表达式,其中：,2023/3/2,44,由此得阻尼比：,进一步简化：,a和b点输入功率均为：,为共振时输入功率,定阻尼比的方法为半功率法。,此功率,的一半，,Taylor展开,故称这种测,
