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1、第 8 讲,振型分解反应谱法,2023/3/3,第8讲 振型分解反应谱法,2,振型分解(以双自由度体系为例)：,结构固有频率：、,结构固有振型：,结构地震反应：,2023/3/3,第8讲 振型分解反应谱法,3,=,q1(t),+q2(t),结构地震反应,基本振型,二阶振型,广义坐标,广义坐标,一阶振型反应,二阶振型反应,2023/3/3,第8讲 振型分解反应谱法,4,多自由度体系地震反应：,结构运动方程：,结构地震反应：,I：指示向量，对剪切型结构,2023/3/3,第8讲 振型分解反应谱法,5,其中：,2023/3/3,第8讲 振型分解反应谱法,6,2023/3/3,第8讲 振型分解反应谱法
2、,7,地震反应分析的振型分解反应谱法,采用前述的振型分解法可求得体系各质点的位移和绝对加速度时程曲线，但对于工程实践而言，振型分解法还是嫌稍复杂了一些，且运用不便。注意到工程抗震设计时仅关心各质点反应的最大值，给合单自由度体系的反应谱理论，在振型分解法的基础上，可导出更实用的振型分解反应谱法。,2023/3/3,第8讲 振型分解反应谱法,8,3.5.1 水平地震作用多自由度弹性体系的水平地震作用可用各质点所受惯性力来代表，故质点上的水平地震作用为：,3-62,2023/3/3,第8讲 振型分解反应谱法,9,因此，建筑抗震设计规范按下式计算结构的水平地震作用标准值：,根据式（3-64）并结合抗震
3、设计规范给出的设计反应谱曲线，可方便地求得对应于某一振型各质点的最大水平地震作用，再按照一般的结构力学原理，把地震作用视为静力荷载，可求得对应于各振型的地震作用效应（弯矩、剪力、轴力、位移等）,3-64,2023/3/3,第8讲 振型分解反应谱法,10,-体系j振型i质点水平地震作用标准值计算公式,2023/3/3,第8讲 振型分解反应谱法,11,3.5.2 振型组合,根据式（3-62），结构在任一时刻所受的地震作用等于结构对应于各振型的地震作用之和。应该注意到，当某一振型的地震作用达到最大值时，其余各振型的地震作用不一定也达到最大值时，因而结构地震作用的最大值并不等于各振型地震作用之和。因此
4、，如果要利用对应于各振型的最大地震作用效应来求结构总的地震作用效应，将存在各振型最大反应如何组合的问题。如假定地震地面运动为平稳随机过程，则根据随机振动理论可知，工程结构总的地震作用效应s与各振型的地震作用效应 sj的关系可用式（3-65）近似描述-振型组合公式，称为完全二次项组合法，简称CQC法：,（3-65）,式中,s-水平地震作用效应；,m-参与振型组合的振型数，一般可取23个振型,当基本自振周期 T11.5s 或房屋高宽比大于5时，振型个数可适当增加；,-振型互相关系数,2023/3/3,第8讲 振型分解反应谱法,12,如当满足下述关系式：,则可以认为,近似为零，此时振型组合公式（3-
5、65a）变为,（3-65b）,称式（3-65b）的组合公式为“平方和开平方”法，简称SRSS法。,因此，建筑抗震设计规范规定，结构的水平地震作用效应（弯矩、剪力、轴向力和变形）按下式计算：,（3-72）,式中,SEk-水平地震作用标准值的效应；Sj-j振型水平地震作用标准值的效应，一般可取23个振型,当基本自振周期 T11.5s 或房屋高宽比大于5时，振型个数可适当增加；,2023/3/3,第8讲 振型分解反应谱法,13,-相应于j振型自振周期的地震影响系数；,-j振型i质点的水平相对位移；,-j振型的振型参与系数；,-i质点的重力荷载代表值。,地震作用效应（弯矩、位移等）,-j振型地震作用产
6、生的地震效应；,m-选取振型数,-体系j振型i质点水平地震作用标准值计算公式,一般只取2-3个振型，当基本自振周期大于1.5s或房屋高宽比大于5时，振型个数可适当增加。,2023/3/3,第8讲 振型分解反应谱法,14,例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为8度，类场地，设计地震分组为第二组。,解：,（1）求体系的自振周期和振型,（2）计算各振型的地震影响系数,查表得,2023/3/3,第8讲 振型分解反应谱法,15,例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为8度，类场地，设计地震分组为第二组。,解：,（1）求体系的自振周期和振型
7、,（2）计算各振型的地震影响系数,查表得,第一振型,第二振型,第三振型,2023/3/3,第8讲 振型分解反应谱法,16,例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为8度，类场地，设计地震分组为第二组。,解：,（1）求体系的自振周期和振型,（2）计算各振型的地震影响系数,（3）计算各振型的振型参与系数,第一振型,第二振型,第三振型,2023/3/3,第8讲 振型分解反应谱法,17,例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为8度，类场地，设计地震分组为第二组。,解：,（1）求体系的自振周期和振型,（2）计算各振型的地震影响系数,（3）计算
8、各振型的振型参与系数,（4）计算各振型各楼层的水平地震作用,第一振型,2023/3/3,第8讲 振型分解反应谱法,18,例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为8度，类场地，设计地震分组为第二组。,解：,（1）求体系的自振周期和振型,（2）计算各振型的地震影响系数,（3）计算各振型的振型参与系数,（4）计算各振型各楼层的水平地震作用,第二振型,2023/3/3,第8讲 振型分解反应谱法,19,例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为8度，类场地，设计地震分组为第二组。,解：,（1）求体系的自振周期和振型,（2）计算各振型的地震影响
9、系数,（3）计算各振型的振型参与系数,（4）计算各振型各楼层的水平地震作用,第三振型,2023/3/3,第8讲 振型分解反应谱法,20,例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为8度，类场地，设计地震分组为第二组。,解：,（1）求体系的自振周期和振型,（2）计算各振型的地震影响系数,（3）计算各振型的振型参与系数,（4）计算各振型各楼层的水平地震作用,第一振型,第二振型,（5）计算各振型的地震作用效应（层间剪力）,第一振型,1振型,2023/3/3,第8讲 振型分解反应谱法,21,例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为8度，类场地
10、，设计地震分组为第二组。,解：,（1）求体系的自振周期和振型,（2）计算各振型的地震影响系数,（3）计算各振型的振型参与系数,（4）计算各振型各楼层的水平地震作用,（5）计算各振型的地震作用效应（层间剪力）,第二振型,2023/3/3,第8讲 振型分解反应谱法,22,例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为8度，类场地，设计地震分组为第二组。,解：,（1）求体系的自振周期和振型,（2）计算各振型的地震影响系数,（3）计算各振型的振型参与系数,（4）计算各振型各楼层的水平地震作用,第一振型,第二振型,（5）计算各振型的地震作用效应（层间剪力）,1振型,2振型,第三
11、振型,3振型,2023/3/3,第8讲 振型分解反应谱法,23,例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为8度，类场地，设计地震分组为第二组。,解：,（1）求体系的自振周期和振型,（2）计算各振型的地震影响系数,（3）计算各振型的振型参与系数,（4）计算各振型各楼层地震作用,第一振型,第二振型,（5）计算各振型的地震作用效应,1振型,2振型,3振型,（6）计算地震作用效应（层间剪力）,第8讲结束！,学习是一件快乐的事情，且听下回分解！,2023/3/3,第8讲 振型分解反应谱法,25,考虑两个自由度的体系。将质点和在水平向地震作用下任一时刻的位移和用其两个振型的线
12、性组合表示，即：,(3-55a),（3-55b）,2023/3/3,第8讲 振型分解反应谱法,26,其中，第一振型向量,，第二振型向量,。上式实际上是一个坐标变换式，原来的变量,和,为几何坐标，而新的坐标,和,可称为广义坐标。由于体系的振型是唯一确定的，因此，当,和,确定后，质点的位移,和,也将随之确定。,2023/3/3,第8讲 振型分解反应谱法,27,式（3-55）也可以这样理解：体系的位移可看作是由各振型向量乘以相应的组合系数和后叠加而成的。换句话讲，这种方法是将实际位移按振型加以分解，故称为振型分解法。另外，由于和是随时间变化的，因此，同一振型在不同时刻对总位移“贡献”的大小是不一样的
13、。,一般的多自由度线弹性体系，式（3-55）可写成如下形式,3-56,-位移向量,-广义坐标向量,-振型矩阵,为体系的第j个振型向量。,2023/3/3,第8讲 振型分解反应谱法,28,利用振型关于质量矩阵的正交性及式（3-56），可以导出广义坐标与一般位移反应的关系。将式（3-56）两端分别前乘,（3-57）,在水平地震运动作用下，多自由度弹性体系的运动方程为：,（3-40）,将式（3-56）代入式（3-40），并前乘振型向量的转置,利用振型向量对质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵的正交性，可得：,2023/3/3,第8讲 振型分解反应谱法,29,注意到,上式可化为,（3-58）,为第j振型的振型参与系数。,其中,（3-59）,称,利用有阻尼体系的杜哈美积分公式（3-17），广义坐标,可表示为假定初始条件为,（3-60a）,可简记为,（3-60b）,（3-60c）,2023/3/3,第8讲 振型分解反应谱法,30,式中,为阻尼比和自振频率分别为,和,的单自由度弹性体系的位移反应。,
