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1、锁具装箱问题的数学模型,<第H卷第2期1995年6月铁道学兰州铁道学院哗?z/VoI_14No.2Jun.1995(兰州铁道学院土木系.兰州730070)(兰州道学院运输系,兰州73007O)何新宇(兰州铁道学院电詹系,兰730070)摘要利用概率,组台优化和圈论等知识.建立7七个模型.肼决7计算一枇锁具的数量,估计团体顾客的抱怨程度等问题,并在考虑工厂连续生产,合理销售的前提下,提出了较为优化的装箱销售方案及其改进方案.关键词数学模型;装箱:销售;锁具分类号O1224,O157.5,0211.67锁厂生产的弹子锁的钥匙有5个槽,其槽高可以从l,2,6)六个数中任取一数,可见每个槽的高度
2、都有为1,2,6的可能.由于工艺及其它原因对制造锁具有两个限制条件:(1)至少有3个不同的槽高(2)相邻两槽高度之差不能为5,又指出由于当前工艺条件,一批锁具中若有两者相对应的5个槽中有4个槽高相同另一个相差为1,则两者可能互开,在此条件下,要求建立缕型解决以下问题(1)一批镁其的数量和装箱数目.(2)提供一种销售方案,包括装箱,标记以及如何出售,使团体顾客不再或减少抱怨.(3)采取该方案,团体顾客的购买量不超过多少箱.就可以保证一定不会出现互开情形.(4)按原来的装箱方法,定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度(并对购买一,二箱者给出具体结果).1问题的分析锁具的装箱问题是一个很有实际价值的问题.
3、合理有效的装箱方案,锁售方案能提高工厂的信任度,扩大销售额,增加利润.为了达到此目的.本文首先应用排列组台的有关知识,建立模型1(1)t并用BASIC编程求出结果,又用一种便于手葬的组合计算方法建立模型1(2).然后用FORTRAN编程进行特征参数的求解,并刑FOXBASE进行数据分析,在综合考虑生产实际与模型理论化的前提下,从大量方案比选中,择选出装箱,销售较优,标记较合理的方案,并据此建立了模型I(1)和I(2)为解决问题(4),本文最后从图论及古骢概率一:的角度收稿日期:19950314本文作者为全国大学生数学建模竞赛一等羹获得者(教练俞建宁副教授)兰州铁道学院第l4卷建立模型IV;采用
4、数学胡望的原始意义建立模型V?2模型假设及符号说明.2+1模型假设(1)两把锁具的5十槽中,如果有4个槽高度对应相同,另一个槽的高度差为I时,两锁必能互开(按最坏情况考虑).(2)随机装箱对锁具来说是等可能概率.(3)工厂生产锁具能按规格生产,团体顾客的抱怨程度只决定于买到互开锁的对数.(4)生产线只有一条,即任两把馈都不是同时生产,且该锁具的锁镄配制为所有配制中的任意一个.(5)工厂生产锁具时按批连续生产.2.2符合说明n一批锁具中各槽可取高度千数(本题中n一6);m一把钥匙的槽的个数(一5);6,一批锁具中各钥匙槽的可取高度值;X一批锁具中锁具的总数;一箱锁具中锁具总数(=60);y一批锁
5、具所装箱数;3模型设计3.1计算模型3.1.1求一批锁具的数量x,据已知条件建立模型l(1)X:(C)4(,2)其中,A(mm)为限制条件下应除去的组合数.则一批锁具可装的辐数为y一对于这类问题,可用全枚举浩求解,其运算通用框图如图1对于本题=5:6;限制条件为A(5,6)即为:(1)至少有3个不同的数.(2)相邻两槽的高度之差不能为5.利用计算机进行求解,碍如下结果=5880则Y一一588098(箱)(程序略)3.1.2为了便于手算,我们利用组合汁算方法建立模型I(2).设At为满足至少出现3个不同数的组台.设A:为满足相邻两槽高度差不等于5的所有第2期刘振等;锁具装箱阃题的数学模型?3组合
6、图l通用框匿设B为槽高为1,6相邻的组合.即第i与第i+1槽的高度分别1,6或6,1(14j表示满足及A:的组合数.则NfAnA2lAif一(cD一(一ci().一C)=7320(1)兰州铁道学院第l4卷11-J1UBt一耋曼IB?nBil_荟?nBin目1J一】JJ4lJ一lBnBnBnB.1lBl=C(C)l且nBlC()(1i3)lB.nBl一2C?(c)(1i<,一13)lB.NBNB+ICi-C(12)IBnBnBllBnBnBfI2ClBnBnB3nB.1一ClnI=2Ci则有1=1470UA11nA一lI(c)一1.n1I7746ll=(C).一lf=6306将以上结果代人
7、(1)式.得N=ANA11Al+A11A.UAzl=58803.2装箱销售模型3.2.1设一批锁具中第i把钥匙从一端开始顺次各槽的高度值组成一个向量记为B.B.一(,)并定义其模为】目lI25从而有如下结论:结论I两把锁B和B,若llBj一1Bll1B.与B必不能互开推论(1)要使团体顾客不再或减少抱怨,必须使llB.】一Bll=1的两互开锁装入编号相距尽可能大的箱中.推论(2)挺同为偶数的锁具问不能互开;模同为奇数的锁具问不能互开;模相等的锁具问不能互开.由以上分析,我们可提出如下装箱方案:即:摸为偶数的锁具装入前i箱,将模为奇数的锁具装入后箱,且分别从前至后按模从小到大的顺序敝次装箱,(j
8、;Y).在考虑使团体颐客不再或减少抱怨的前提下兼顾销售方便,我们拟采用连续数字作为箱的标志的方案,销售时按箱子的编号连续销售,并据此建立模型I(1).记模为IBI的所有锁具数为(fB1)本文通过FORTRAN对不同1日l对应的.(11)进行统计,结果如下:(8)一20,(9)一50,.(10)=120.(1】)-.162(12)=251,(13)一322,(14)一405,(15):508第2期刘振等:镄装箱问胚的数学模型口(16)一539,”(17)一563,口(18)一563,(19)=539a(20)=508,a(21)一405,a(22)=322.a(23)=25la(24)=162,
9、a(25)一l20.a(26)=50,(27)一20若B.与B能互开,记B所在箱与B所在箱在上述方案排序下的距编号差)为s并令M(S)一mlnS.)l则M(S)表示从任意箱处连续拿取一定不会出现互开锁的最大箱数.采用FOXBASE进行统计,可得S);50,49,48,47,46,45,44.43,d2.41.4O.39-38,3736J显然M(S”)=35并进一步得到如下结论:(1)若购买箱数为35箱,可以从任一辐开始连续售出.保证一定不会出现互开锁(2)若购买箱数为35<49,都可以找到相应的标号,并从该标号开始茬续拿取均能保证不会出现互开锁.3.2.2模型l(1)只考虑了不同JB.1
10、之间的排序.没有考虑相同l的锁具之间的顺序,田而装箱较为方便.为了增加团体顾客的满意程度,我们叉在模型I(1)的基础上,对相同l.1的锁具间进行字典排序,并将此字排序后所组成的有序向量集定义为向量集空问ZK.ZK=(20),120J,251),405,539.563J.208),322),l62J,50),50J,l62),322J,508),563),539),405r251),120,20J)其中,)表示含有”个有序向量的子向量集,显然lZl一5880与ZK对应的,由1B组成的有序向量记为T则丁=(8,l0,l2.14,16,l8,20,22,24.26,9.1l,t3,15,17,l9,
11、2l,23,25,27)将字典排序后的ZK向量集空问中的5880个向量敝次从l,2,5880予以标码.记四.中元素组成的,位数值为则朋一结论2M(S.)必然出现在IB(【-blI,:l的情形中.利用计算机对字典排序后的一批锁具对应向量进行统计分析,结果为:最小距离对应向量标码之差为2562.相应的互开锁数为128把,即56对,上述结果表明:字典排序后,距离最近的两互开锁问有2562把锁,即可装=42.7箱,取整为42箱.Uu于是M(S)一42箱.按模型11(1)的方式进行顺次装箱.连续编号后可得如下结论;(1)如果购买箱数42箱,可以从任一箱开始连续售出,保证不会出现互开锁,(2)如果购买箱数
12、42<N49箱,则可以找到相应的标号,从该箱开始洼续售出,一定不会买到互开锁.3.3抱怨程度评估模型3.3.1首先,笔者用概率和圈论的知识建立模型本模型用团体顾客购买箱锬具中包含的互开锁的绝对数量来表示团体顾客的抱怨程兰州铁道学院弟l4卷度,由于采用随机装箱,所以互开锁在y箱中是等可能分布的.本文中把所有锁具都看作是一些离散点(G),能互开的锁具问用边E(G)相连,则模型为F()=.一Jdeg(v)IlE(G)l一堕J1一其中F()箱中互开锁的对数E(G)J边数deg(结点的度数.记最多可与把锁互开的锁数为P().本文用计算机对不同值对应的,j()进行统计,结果如下:P(4)9.,P(5
13、)210,P(6)592,P(7)=1398,P(8)=1802,P()一I488.P(10):300刚有deg(v)=45556【G)将X=5880,W=60,代入模型11.得F()3.95*10一(60一1)(如图2)显然N=I,F()=2.3303N=2,F()一9.401国2F()分斩图图3()分析图.皇.:表达式,可以看出,随着N增大,F()呈抛物线变化,当N增大到一定程度篓鲁墨线几乎竖直增长,这一点与实际不太相符,因此对模型I加以改进,采用购买锁中互开镁的相对数量来表示团体顾客的抱怨程度,建立模型.1F()一lIE(G)1=(峨/N.deg(v)2第2期刘振等锁具装箱问题的数学模型
14、其中,F()表示葫中互开锁的相对数.将模型l的相应数据代人.得F(N)一6.5910_.(60N-1)(如图3)显然N=1,F(N)一0.O389N一2,F(N)一0.0784由F()的表达式可知,随着购买量增加团体顾客的抱怨程度呈线性增加,较为实际地反映了团体顾客的抱怨程度.3.3.3根据数学期望的原始意义建立模型V设团体顾客购买锁数为把,记为(G)的所有元子集.引理矗IE(G()E(G)1?c筠假设顾客购买锁时,所购锁为从y(c)中随机抽取,从而可假定这种选取为(G)上的等可能概型.由假设可得,对于团体顾客,购”把锁时为上的一个等可能随机试验,记为,夸表示n把锁中可互开锁的对数.r1JP(
15、F=)=者V(1)jzl尸(=);P(F=)(2)-1cc)一K其中:G()表示G由的导出子图.要求出式(2)的值是比较困难的,坦在实际上并不需要完全知道其分布函数,只要知道随模型I(2)结果较优,但增加了装箱的复杂性,二者各有优点,且均考虑了生产的连续和销售的方便.42模型,采用不同方法对团体顾客的抱怨程度进行了定量评估,在模型中,当N一35箱时,F(35)=2904对;当N=42箱时.F(42)4183对.在采用优化装箱方案后,模型I(1)保证35箱中无互开锁,即F(35)=0,模型1(2)保证42箱中无互开镇,即F(42)=0.可见采?B?兰州铁道学院第14卷用优化模型,对于工厂生产的改
16、善,销售额的提高以及信任度的提高都有显着的作用?4.3模型中利用互开锁的相对含量表示团体顾客的抱怨程度,具有一定的现实性和可行性.5结语(1)由模型得到的装箱销售方案具有循环性,保证了生产销售的连续性.(2)使用连续数字作为箱的标志,使销售部门可据不同需要很方便地满足顾客的需求.(3)模型灵活机动,适用性较广,可推广到种槽高,个槽数的情况,也可对每箱装锁数w进行改变.(4)模型的主要特点是求解过程大都运用计算机配台进行,从而对计算手段要求较高.参考文献1吴文泷.圈论基础及应用.北京:中国铁道出版社.1984.131,105l27,1301382C.H.PAPADIMITRIOU,K.STEIG
17、LITZ.组合晟优化算法和复杂性.北京t清华大学出版社,1988.22273周概窖.概率论与数理统计.北京:高等教育出版社.1984.14224粱之舜等.概率论及数理统计.北京:高等教育出版社,1988.1119TheMathematicalModdsofLoadingLocksintoBOXeSZhen(Dept.ofCivilEngineering,LanzhouRailwayInstituteLartzhou730070)YangIMengqing(Dept.ofTranspOrtationManagemem,LanzhouRailwayInstitute,Lanzhou730070)H
18、eXinyu(Dept.ofTeecommunication&Autocomrol,LanzhouRailwayInstltutt-.Lanzhou730070)AbstractInthispaper,sevenmathematicalmodelsarepresentedbycombiningprobabilitytheory,optimizedcombinationandgraphictheory.TheproblemsofcalculatingtheFlllmheroflocksandestimatingthecomplainingextentofmasscustomersaresolvedbythemod-els.Andanoptimizedschemeforloadinganddistributionisalsodiscussedonthepremiseofconsideringtheeontilluousproductionandthereasonablesale.Keywordsmathematicalmodel;loading;distribtttion;locks责任编辑:边际
