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1、第五节圆锥曲线的综合应用,圆锥曲线的统一定义：平面内到_是圆锥曲线，当_时，轨迹是椭圆；当_时，轨迹是双曲线；当_时，轨迹表示抛物线，定点F是圆锥曲线的一个_，定直线l是该圆锥曲线与焦点F同侧的一条_,基础梳理,2.如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)0的解，并且以方程f(x，y)0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程_叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程_的曲线,3.求曲线方程的一般步骤有_；求曲线方程的常见方法有_,4.方程组的解与曲线的交点坐标之间具有对应关系，即方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有_；反之，亦成立，这是_思想的应用,1.抛物线y210 x的焦点到
2、准线的距离是_,基础达标,解析：焦点到准线的距离是p=5.,5,2.双曲线 左支上一点P到左焦点的距离为4，则P点到左准线的距离为_,解析：设P点到左准线的距离为d，应用圆锥曲线的统一定义得=e=2，解得d=2.,2,3.(选修21P52练习1改编)点P到直线l：2xy1的距离与到点F(1,1)的距离之比为m，若点P的轨迹是椭圆，则实数m的取值范围是_,(1，+),解析：由圆锥曲线的统一定义知e=(0,1)，解得m1.,4.(选修21P62练习2改编)曲线 与曲线x2y2r2(r0)有两个公共点，则r的值为_,解析：当r=a或r=b时恰有2个公共点，即r=或2.,5.设P为双曲线 y21上一动
3、点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是_,解析：设P(x0，y0)，M(x，y)，x=，y=，2x=x0,2y=y0，-4y2=1，即x2-4y2=1.,x2-4y2=1,【例1】已知定点A(2，)，F是椭圆 的右焦点，在椭圆上求一点M，使AM2MF取得最小值，并求此时M点的坐标,题型一圆锥曲线的定义、标准方程及其几何性质的综合应用,分析：点A在椭圆内部，利用圆锥曲线的统一定义将M点到焦点的距离转化为到相应准线的距离，再利用数形结合的方法求解,经典例题,解：椭圆+=1中，a=4，c=2，e=，记点 M到右准线的距离为MN，则=e=，MN=2MF，即AM+2MF=AM+MN，又
4、点A在椭圆内部，故当A，M，N同时在垂直于右准线的一条直线上时，AM+2MF取得最小值，此时My=Ay=，代入到+=1得Mx=2，而点M在第一象限，M(2，,变式11已知点P为抛物线y24x上的动点，点F为抛物线的焦点，M(2,1)，求使PFPM取得最小值时的P点坐标,解：容易判断点M(2,1)在抛物线内部，过点P向抛物线的准线x=-1作垂线，垂足为Q，由抛物线的定义知PQ=PF，则PF+PM=PQ+PM，只要Q、P、M三点共线，PF+PM就取得最小值，所以所求P点坐标为,【例2】一动圆C与定圆A：x2y26x910相切，且圆C过点B(3,0)，求动圆圆心C的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线,
5、题型二有关动点的轨迹和轨迹方程的求解问题,分析：根据题意判断两圆相内切还是外切，再利用两圆相切的充要条件建立等式，根据定义法确定曲线的类型，并写出曲线方程,解：设动圆圆心为C(x，y)，半径为r，将圆A的方程配方得：(x-3)2+y2=100，由于点B(-3,0)在圆A的内部，故动圆C与定圆A内切，且动圆C在定圆A的内部，所以CA=10-r，CB=r，两式的两边分别相加，得CA+CB=10，由椭圆定义知点C的轨迹是焦点为A(3,0)、B(-3,0)，长轴长等于10的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，2c=6,2a=10，c=3，a=5，b2=25-9=16，,圆心C轨迹方程为+=1
6、，轨迹是椭圆,变式21例2中的问题若改为：已知点P在定圆O的圆内或圆上，动圆C过点P且与定圆O相切，讨论动圆C的圆心的轨迹形状，情况怎样呢？,解：由于点P的位置不同，动圆C的圆心会有不同的轨迹形状，所以要分几种情况讨论设定圆O的半径为R，动圆C的半径为r.若点P与O重合(如图1)，动圆C的圆心的轨迹是以O为圆心，R为半径的圆；若点P在圆O内且与O不重合(如图2)，则CP=r，CO=R-r，所以CP+CO=ROP，所以动圆C的圆心的轨迹是以O、P为焦点，R为长轴长的椭圆；若点P在圆O上(如图3)，则动圆C的圆心的轨迹是直线OP(除去点O和点P),图1 图2 图3,【例3】(2010福建)已知抛物
7、线C：y22px(p0)过点A(1,2)(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由,题型三有关直线与圆锥曲线的位置关系的问题,分析：将点A的坐标代入抛物线方程求出p的值；关于探索是否存在的问题，一般是先假设存在，设出方程，与抛物线联立，将图象有公共点的问题转化为二次方程有解问题，再利用平行线间的距离公式求解,解：(1)将点A(1,-2)代入抛物线C：y2=2px(p0)，解得p=2，所求抛物线C的方程为y2=4x，准线方程为x=-1.(2)假设存在
8、适合题意的直线l，设其方程为y=-2x+t，由 得y2+2y-2t=0，直线l与抛物线C有公共点，D=4+8t0，解得t-.又直线OA与l的距离等于，=，解得t=1.-1，1，存在适合题意的直线l，其方程为y=-2x+1.,【例4】已知椭圆1(ab0)上存在一点M，它到左焦点的距离是它到右准线距离的两倍，求椭圆离心率的最小值,题型四有关圆锥曲线的最值和范围问题,分析：利用圆锥曲线的统一定义将点M到左焦点的距离和到右准线的距离用同一变量表示，由题意建立方程，再利用椭圆的几何性质建立不等式求解,解：设点M到左准线的距离为d，椭圆离心率为e，则由圆锥曲线统一定义知点M到左焦点的距离为ed，则M点到右
9、准线的距离为，所以+d=，解得d=，解得 e1，所以椭圆离心率的最小值为.,【例5】(2010辽宁)设椭圆C：(ab0)的右焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，.(1)求椭圆C的离心率；(2)如果AB，求椭圆C的方程,题型五有关圆锥曲线与向量等其它知识的综合问题,分析：将向量转化为坐标运算，建立方程求解；利用弦长公式建立方程，与离心率联立成方程组求解,解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y10，y20.(1)直线l的方程为y=(x-c)，其中c=.联立得(3a2+b2)y2+2b2cy-3b4=0，解得y1=，y2=.因为，所以,即 所以离心率为
10、e=,(2)因为AB=|y2-y1|，所以=.由=得b=a，所以 a=，得a=3，b=，椭圆C的方程为+=1.,(2010北京)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(，0)，(，0)，离心率是，直线yt与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.(1)求椭圆C的方程；(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；(3)设Q(x，y)是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值,知识准备：1.知道椭圆离心率的计算公式及基本量a，b，c之间的关系；2.知道直线与圆相切的条件；3.会三角换元和辅助角公式,链接高考,解：(1)=，且c=，a=，b=1，椭圆C的方程为+y2=1.,(2)由题意知P(0，t)(-1t1)，,由 得x=，,圆P的半径为,又圆P与x轴相切，,=|t|，,解得t=,点P的坐标是,(3)由(2)知，圆P的方程x2+(y-t)2=3(1-t2)，点Q(x，y)在圆P上，y=t t+，设t=cos，(0，)，则t+=cos+sin=2sin(+)当q=，即t=，且x=0时，y取最大值2.,
