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1、结构静力学问题的有限元法,梁结构问题比桁架复杂一些，也可用矩阵分析法（线性代数方程组）得到问题的精确解。在ANSYS软件中上述两类问题的建模和求解较为简单。定义单元用ET指令，考虑材料各种特性选不同的Link、Beam单元。有限单元法把杆系结构的矩阵分析方法推广应用于连续介质：把连续介质离散化，用有限个单元的组合体代替原来的连续介质，这样一组单元只在有限个节点上相互连接，因而包含有限个自由度，可用矩阵方法进行分析。主题:A.平面问题有限元法B.轴对称问题有限元法C.空间问题有限元法D.等参数有限元法E.单元与整体分析,结构静力学问题的有限元法平面问题有限元法,对一些特殊情况可把空间问题近似地简
2、化为平面问题，只须考虑平行于某个平面的位移分量、应变分量与应力分量，且这些量只是两个坐标的函数。平面问题分平面应力问题和平面应变问题两类。设有很薄的均匀薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化，记薄板的厚度为t，以薄板的中面为xy面，以垂直于中面的任一直线为z轴由于板面上不受力，且板很薄，外力不沿厚度变化，可以认为恒有，不为零的应力分量为、，这种问题就称为平面应力问题。设有无限长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化。以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴，由于对称性（任一横截面都可以看
3、做对称面），此时，,结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,不为零的应变分量为、，这种问题就称为平面应变问题。二维连续介质，用有限单元法分析的步骤如下：(1)用虚拟的直线把原介质分割成有限个三角形单元，这些直线是单元的边界，几条直线的交点即为节点。(2)假定各单元在节点上互相铰接，节点位移是基本的未知量。(3)选择一个函数，用单元的三个节点的位移惟一地表示单元内部任一点的位移，此函数称为位移函数（位移模式）。(4)通过位移函数，用节点位移惟一地表示单元内任一点的应变；再利用广义虎克定律，用节点位移可惟一地表示单元内任一点的应力。(5)利用能量原理找到与单元内部应力状态等效的节点力；再利用单
4、元应力与节点位移的关系，建立等效节点力与节点位移的关系。这是有限单元法求解应力问题的最重要的一步。,结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,(6)将每一单元所承受的荷载，按静力等效原则移置到节点上。(7)在每一节点建立用节点位移表示的静力平衡方程，得到一个线性方程组；解出这个方程组，求出节点位移；然后可求得每个单元的应力。单元的位移模式及插值函数 由于三角形单元对复杂边界有较强的适应能力，因此很容易将一个二维域离散成有限个三角形单元。在边界上以若干段直线近似原来的曲线边界，随着单元增多，这种拟合将越精确。下面以3节点三角形单元为代表讨论平面问题的有限元格式。,图2-1 3节点三角形单元,结
5、构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,设三角形单元节点编码为i,j,m，以逆时针方向编码为正向，否则后面求出的面积A为负值。每个节点有2个位移分量如图2-1所示，节点位移为e=ui,vi,uj,vj,um,vmT 节点的坐标分别为(xi,yi)、(xj,yj)、(xm,ym)。在有限单元法中单元的位移模式（也称位移函数和插值函数）一般采用多项式作为近似函数，因为多项式运算简便，并且随着项数的增多，可以逼近任何一段光滑的函数曲线。多项式的选取应由低次到高次。3节点三角形单元位移模式选取一次多项式 单元内的位移是坐标x,y的线性函数。16是待定系数，称之为广义坐标。6个广义坐标可由单元的6个节
6、点位移来表示。在式（2-1-1）中代入三角形单元各节点的坐标然后解出,(2-1-1),结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,式中，A为三角形的面积上式中(i，j，m)表示下标轮换，如ij，jm，mi。,(2-1-2),(2-1-3),结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,将求得的广义坐标代入式(2-1-1)，可将单元位移函数表示成节点位移的函数 其中 Ni，Nj，Nm称为单元的插值基函数或形函数，它是坐标x、y的一次函数。单元上任一点的形函数之和为1。式（2.1.4）写为矩阵的形式 其中 是二阶单位阵。,(2-1-4),(2-1-5),(2-1-6),结构静力学问题的有限元法 平面
7、问题有限元法,应变矩阵 确定了单元位移后，可以很方便地利用几何方程和物理方程求得单元的应变和应力。作为平面问题，单元内具有3个应变分量x、y、xy（各符号的意义见附录1），用矩阵表示为 将（2-1-4）式代入上式中，得到,结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,或 式中B称为应变矩阵，写为分块形式，即 B=Bi Bj Bm 而其子阵为 3节点三角形单元的B是常量阵，所以称为常应变单元。在应变梯度较大(也即应力梯度较大)的部位，单元划分应适当密集，否则将不能反映应变的真实变化而导致较大的误差。上述应变中包括与应力有关的应变和与应力无关的应变两部分，无关的应变0又称为初应变,(2-1-7),(
8、2-1-8),(2-1-9),结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,0由温度变化、收缩、晶体生长等因素引起，对工程结构一般只考虑温度应变，无论线性和非线性温度，计算时可近似地采用平均温度 式中，Ti、Tj、Tm分别为节点i、j、m的温度，Tref为参考温度。对于平面应力问题，温度 引起的初始应变为其中，为线膨胀系数。,结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,由于温度变化在各向同性介质中不引起剪切变形，所以xy0=0。以后所述问题，除非特别说明，都指各向同性介质。对平面应力问题，温度 引起的初始应变为 当不考虑温度的影响时，当前温度即为参考温度。以后所述问题，除非特别说明，不考虑温度影
9、响。,结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,单元应力 根据物理方程，对平面应力问题，取应变分量 由上式解出,(2-1-10),结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,式中，D为弹性矩阵，取决于弹性常数E和。将式（2-1-7）代入式（2-1-10）得,(2-1-11),(2-1-12),(2-1-13),结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,由应变分量解出x、y、xy，弹性矩阵为 根据物理方程可以求解各应力分量。,式中，S为应力矩阵，反映了单元应力与单元节 点位移之间的关系。由于单元应力和应变分量为 常量，所以单元边界上有应力阶越，随单元划分 变密，突变将减小。对平面应变问题，有
10、四个应力分量：x、y、xy和z。取应变分量,(2-1-14),结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,单元刚度矩阵 单元节点力为Fe，节点虚位移为(*)e，节点虚应变为(*)e，平面单元的厚度为t。应用虚位移原理 将 及 代入上式整理得到 可见单元刚度矩阵为 对于三节点三角形单元，面积为A，所取为线性位移模式，单元刚度矩阵为,(2-1-15),结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,进一步表示为 对平面应力问题有 单元刚度矩阵表达单元抵抗变形的能力，其元素值为单位位移所引起的节点力，与普通弹簧的刚度系数具有同样的物理本质。例如子块Kij,(2-1-16),结构静力学问题的有限元法 平面问题有限元法,其中：上标1表示x方向自由度，2表示y方向自由度，后一上标代表单位位移的方向，前一上标代表单位位移引起的节点力方向。如 表示j节点产生单位水平位移时在i节点引起的水平节点力分量，表示j节点产生单位水平位移时在i节点引起的竖直节点力分量，其余类推。单元刚度矩阵为对称矩阵。由于单元可有任意的刚体位移，给定的节点力不能惟一地确定节点位移，可知单元刚度矩阵不可求逆，具有奇异性。,
