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1、第二章 离散型随机变量及其分布,一、一维随机变量及分布函数,二、多维随机变量及其分布,1.1、一维随机变量及分布函数,1.2、一维离散型随机变量,2.1、多维随机变量及分布函数,2.2、多维离散型随机变量及其联合分布,2.3、边际分布、条件分布,2.4、数学期望、方差,1.1 随机变量及分布函数,(1)某人接连不断地对同一目标进行射击,直至射中为止，表示射击次数。,射击1次 射击2次.射击n次.,X()1 2.n.,(2)某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车,旅客在任意时间到达车站,表示该旅客的候车时间。,候车时间,X()0,10),一、随机变量的概念,定义 设E是一随机试验，是它的样本空间，若
2、,则称 上的单值实值函数 X()为随机变量。,注：随机变量一般用 X,Y,Z,或小写希腊字母,表示。随机变量中对应的实值要有区分度。,随机变量的特点：,1、定义域:.,2、随机性:随机变量X 的可能取值不止一个，试验前只能预知可能的取值但不能确定取哪个值.,3、概率特性:X 以一定的概率取某个值或某些值.,4、引入随机变量后，用随机变量的等式或不等式表达随机事件.,为随机变量X 的分布函数。,定义 设X 为随机变量,称定义域为(-,+)的实值函数,二、随机变量的分布函数,利用分布函数可以计算,例1.设随机变量X的分布函数为:,求:,例2:随机变量的分布律为,求 的分布函数，并求,分布函数的性质
3、,1、F(x)单调不减，即,2、,且,3、F(x)右连续，即,1.2 离散型随机变量及其分布律,定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或可列多个，则称 X 为离散型随机变量。,描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即,分布律的性质,一、离散型随机变量的概念,二、离散型随机变量的分布函数与分布律,离散型随机变量的分布律与分布函数求法:(1)确定随机变量的所有可能取值;(2)设法（如利用古典概率）计算取每个值的概率.(3)列出随机变量的概率分布表（或写出概率函数）.(4)根据分布律写出分布函数。,注意：,例1,从110这10个数字中随机取出5个数字，令X：取出的5个数字中的最大
4、值试求X 的分布律,具体写出，即可得 X 的分布律：,解：X 的可能取值为,5，6，7，8，9，10 并且,=,求分布律一定要说明 k 的取值范围！,1 单点分布（退化分布）single point distribution 2 二点分布（0-1分布）Bernoulli distribution Def 若随机变量 的分布表为其中，则称 服从参数为 的二点分布。二点分布所能刻画随机现象：凡是随机试验只有两个可能的结果，都可以二点分布作为其概率模型。例如：掷硬币观察正反面，产品是否格，人口性别统计，系统是否正常，电力消耗是否超负荷等等。,三、常见的离散型随机变量的分布,3 离散型均匀分布,如在“
5、掷骰子”的试验中，用 表示事件出现 点，则随机变量 是均匀分布,4 二项分布,背景：n 重Bernoulli 试验中，每次试验感兴趣的事件A 在 n 次试验中发生的次数,若P(A)=p,则,称 X 服从参数为n,p 的二项分布，记作,0 1 分布是 n=1 的二项分布.,例1:一个完全不懂英语的人去参加英语考试.假设此考试有5个选择题，每题有n重选择，其中只有一个答案正确.试求：他居然能答对3题以上而及格的概率.,解:由于此人完全是瞎懵，所以每一题，每一个答案对于他来说都是一样的，而且他是否正确回答各题也是相互独立的.这样，他答题的过程就是一个Bernoulli试验。,5 Poisson 分布
6、,若,其中,是常数，则称 X 服从参数为,的Poisson 分布，记作。,在一定时间间隔内：,一匹布上的疵点个数；,应用场合,一本书中印刷错误的个数；,某一地区发生的交通事故的次数；,等等。,例2 设随机变量 X 服从参数为的泊松分布，且已知。,例3 如果随机变量X 的分布律为,试确定未知常数c.,相继贝努利概型,贝努利试验中，人们有时关心的是首次成功出现在第k次试验的概率。首次成功出现在第k次试验对应的事件,首次成功出现在第k次试验的概率,这一模型给出了等待事件A出现等待了k次试验的概率。这种概率规律称为几何分布。,6 几何分布,Def 若随机变量 的概率函数为则称 服从参数为 的几何分布，
7、记。,Geometric distribution,几何分布所能刻画随机现象：,几何分布是一种等待分布，凡是研究某事件出现所经历的试验次数读可用这一分布来描述。,几何分布的无记忆性：在已知前m次试验没有出现成的条件下，为达到首次试验成功所需再等待的试验次数X的概率分布于m无关。事实上,贝努利试验中，人们有时也关心的是要多长时间才会出现第r次成功的概率。,这一模型给出了要多长时间才会出现第r次成功的概率。这种概率分布规律称为巴斯卡分布。这个分布与著名的分赌注问题有关。这一模型也可以解决巴拿赫火柴盒问题.,7 巴斯卡分布,Def 若随机变量 的概率函数为则称 服从参数为 的巴斯卡分布，记。,Pascal distribution,注：时，为几何分布。,8 超几何分布,设有产品S件,其中正品N件,次品M件，从中随机不放回地抽取 件,记X为抽到的正品件数，求X的分布律。,称X 服从超几何分布.记,可以证明超几何分布的极限分布就是二项分布，因此在实际应用中，当 都很大时，超几何分布可用下面式子近似,
