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1、振动图象与波形图象的画法陈道王玉霞( 湖北省邮电学校)摘要 :波动方程及其物理意义 、两种图象的区别及其联系 、两种图象作图规律与作图步骤 。关键词 :波动方程 ; 振动图象 ; 波形图象 ; 周相 ; 相速中图分类号 : T H 113 . 1文献标识码 : A振动图象和波形图象是形式相似又有联系但容易混淆的两种图象 。笔者拟从波动方 程出发 , 从理论上阐明作图的原理 。通过例题 , 结合物理概念总结出作图的基本规律和方法 , 使之达到区分和正确地画出这种图象 的目的 。1 波动方程 1 振动 与 波 动 是 物 理 学 最 重 要 的 部 分 之 一 。它越来越广泛地应用于理论研究 、机
2、械设计和科学技术各方面 , 振动和波动既可以用数学工具 波动方程表示 , 又可以用振 动图象与波形图象来表示 , 前者能在理论上 阐明作图原理 , 后者则能直观 、如实地反映出 振动和波动基本情况 , 这里 , 先从波动方程着 手 , 分析其物理意义后总结出作图的基本规 律 。1 . 1 波动方程的表达式1 . = A co s (t + )X ) 看出 , 对于1 . 从方程0 = A co s( t -V X o给定的位置 X o , 有 0 = A co s( t - V ) 。式中 X o 是一个给定的 常 数 , 方 程 是 单个变量 t 的函数 , 它描述了给定点 X o 的振 动
3、情况 , 作 0 - t 图象 , 所得到的是一条描述X 点振动的振动曲线 。o2 . 对于给定的时刻 t o , = A co s( t o - X ) 。式中 t 为给定的常数 , 方程是单个变oV量 X 的函数 , 它描述了给定时刻波线上各点的位移 , 作 - X 曲线 , 所得到的是该时刻的 波形曲线 , 对于横波 , 这个曲线和真实波形一致 , 对于纵波 , 它和真实波形不同 。3 . 若 X 与 t 都变化 , 方程 = A co s( t- X ) 是一个二元函数 , 它描 述 的 是 一 个 沿VX 正方向传播的波动 。假如某一时刻 t 波形图象如图 1 曲线 aX )X )=
4、 A co s( t -( A)所示 , 设某点 X 的位移( t -X = A co sV-VtX )经过一段时间 t 以后 , X 点位相传到 ( X +V t ) 点 , 因 此 在 ( t + t ) 时 刻 , ( X + Vt ) 点的位移= A co s t + t - ( X + V t ) / V = A co s t - X / V =X2 . = A co s2(TX )= A co s2(t -= A co s 2 X - V t ) (1 . 2 波动方程的物理意义的分析(B) 收稿日期 :2000 - 04 - 08X )= A co s2(t += A co s
5、2 X + V t ) (6 . 从波动方程看周期性重复的意义众所周知 , 波长是描述了波的空间周期 性 , 周期描述了波的时间周期性 , 从波动方程来观察这个问题 , 设某一时刻 t 有图 1t X( X ) = A co s2( T - )由此可见 , 在波动过程中 , 在t 时刻 X 点的t ) 点位置处位移与 ( t + t ) 时刻 ( X + Vt ( X + ) 则 ( X + ) = A co s2 -T的位移相同 , 即后者重复前者前一时刻的位=( X )显然 ,对 X 而言 ,波动方程(A) 的周期是。 对某一点 X 而言 , 有移和状态 , 说明在 t 时间内 , 整个波
6、形传播了一段路程 X = V t 。于是所观察到的现象是波形在传播 , 其反映的物理本质是位t X )相在传播 。( t ) = A co s2(-T4 . 相速V 与质点振动的速度 V V 应严=( t )则 ( t + T ) = A co s2=( t )格区别 。t + T - xV 的大小是由媒质本身性质所决定 , 和T5波的频率 、振幅无关 , 而 V V 是由 V V = 5 t 来可见 ,对时间 t 而言 ,方程(A) 的周期是 T 。综上所述 , 和 是波动方程中反映空 间与时间周期性的两个物理量 。决定 , 它和振动的频率 、振幅 、时间及所研究的质点的位置均有关系 。X
7、,在 t 1 时刻 X 点处的周相为 t 1 -X ) 与 =V7 . 方 程 = A co s ( t -V而在 ( X + X ) 点处于 ( t 1 + t ) 时刻周相 X X + X ,A co s2(t - ) 中的 与 X 轴平行时 , 它们为 ( t 1 + t ) -但 ( t 1 +V表达的是纵波的波动方程 ; 当 与 X 轴垂直时 , 它们表达的是横波的波动方程 。2两种图象的区别 ( 2) ( 3)1 . 振动图象描写的是一个质点的振动中 位移随时间的变化 , 它的横坐标为时间 , 纵坐 标为位移 , 图形向 t 增大的方向延伸 , 但已画 出的部分不再变化 。波形图象
8、描写的是波动方程中 , 某一时 刻媒质中各点的位移随位置的变化 , 它的横 坐标是位置坐标 , 纵坐标是位移 , 随着时间的 推移 , 波形向波的传播方向移动 , 相对于固定 坐标系 , 整个波形都发生了变化 。2 . 在振动图象中相邻两个最大值之间的 距离等于周期 T 在波形图象中相邻两个最t) - X + V t = ( t 1 - X ) , 这表 示 在VVt 时间内 , 振 动 周 相 从 X 处 传 到 了 ( X +X) 处 , 可见式中的 V 反映的是振动周相的传播速度 , 因此又将波动方程中的 V 称作相速 。5. 若一列波不是沿正 X 方向而是沿负 X方向传播 ,或者波传播
9、的真实方向未改变 , 只是把坐标系的方向反过来 ,则波线上任一点的位相将比原点超前 X/ V ,波动方程应该是X )= A co s( t +V相应于方程 (B) 有tX ) = A co s2(+T大值之间的距离等于波长。3 . 振 动 图 象 正 如 一 个 演 员 的 传 奇 电 影 片 ; 而波形图象 ( 对横波) 正如许多演员的集 体表演时拍下的彩照 ( 例 :跳龙灯舞)3两种图象的联系1 . 在波的传播过程中 , 单个质点的表现 是振动 , 而媒质整体的表现是波动 。2 . 振动是产生波动的必要条件 , 波动是振动状态 ( 能量) 的传播过程 , 但质点并未迁 移 。3 . 后振动
10、的质点总是重复先振动的质点的振动 , 但在开始振动的时间上晚一点 。4 . 波动中的任一质点的振动周期等于波 源的振动周期 。5 . 媒质中相距 N / M 波长的两点 , 在振 动起始的时间上相差 N / M 周期 。4两种图象的作图规律4 . 1 由振动图象图 2 可以看出图 35两种图象的作图步骤5 . 1 由振动图象求画波形图象要明确1 . 观 察 开 始 时 刻 波 源 质 点 的 初 相 和 位 移 ;2 . 波长 ;3 . 波传播的距离 ;4 . 运用 = V T 与= V t 。5 . 2 由波形图象求画振动图象要明确1 . 所画图象是哪个质点的振动图象 ;2 . 观察的时间
11、;3 . 所画振动图象的初相 ,质点的运动趋势 ;4 . 质点的振幅和振动周期 。例 1设在某一时刻 , 一个向右传播的平面简谐横波的波形曲线如图 4 所示 , 试分别说明图中 A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 各质 点在该时刻的振动方向 , 并作 T / 4 前和 T / 4 后的波形图 。图 21 . 振幅和周期 。2 . 初相是距原点最近的正最大值所对应 的相角 。3 . 一个质点各时刻的振动方向由口诀 :各点后边的位置就是其下一时刻的位置来 确定 。4 . 2 由波形图象图 3 可以看出1 . 振幅和波长 。2 . 各个质点在这个时刻的振动方向 ( 已 知波的传播方向
12、) 由口诀各点前面的位置就 是其下一时刻的位置来确定 。3 . 要确定经过 t 时间的波形图象 , 只要 将原波形图象平移 X = V t = n即可 。图 4解 由题意知 , 平面简谐横波是向右传 播 , 右边的质点总是相继重复左边质点的状 态 , 因此右边质点的振动落后左边质点的振动 。根据图 4 , 表示某时刻的波形曲线就可 确定时刻 A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 各点的振动方向如图 5 所示 。因波是向右传播 , 故 T / 4 前及 T / 4 后 的波形图 , 只要根据图 5 分别将波的曲线向左及右移动 / 4 即可求得其结果如图 6 与 图 7 所示 。例
13、3已知波源振动曲线如图 10 所示 ,波速为 4 米/ 秒 , 画出 t = 3 秒时的波形曲线 。图 5图 10解 分析 :本题有两种解法 。其一 , 根据 所给的振动曲线写出波源的振动方程 , 再写 出波动方程 , 从而作出 t = 3 秒时的波形图 象 ; 其二 , 根据波的特性 , 先找 t = 0 时波源的 周相 , 3 秒后这一周相传到 X = 4 3 米处的 质点 , 由振动方程求出 t = 3 秒时波源的位图 6移 。由这些条件画出 t = 3 秒时的波形图象 。1 . 由图 10 可知 , t = 0 时 , 波源位移 00图 7= 0 , 且初相 = - , = 2 = 。
14、故波源例 2在上题中 , 如果是纵波而不是横波 , 指2T2出上述各点的实际位置及运动方向 。振动方程为 = A co s ( t -) 设此波沿 X2解1 . 分析 ( 1) 因为纵波各质点的振动2方向与波速方向在同一直线上 , 所以图 4 波正向传播 , 故 波 动 方 程 为 = A co s ( t -2- = A co s形图上的各点不能代表此时刻这些点的实际X ) - = A co s ( t -X )位置 , 全曲线上各点的纵坐标仍能从数量上V 2242表示质点的位移 , 以各质点的平衡位置为圆t X 2( 4- 2 。由方程得 = 16 米 , t- 16 )心 , 以位移长为
15、半径画弧 ( 正位移向右画 , 负= 3 秒时的波形图象由方程 = A co s 2( 3位移向左画) 与横轴的交点 , 便是相应的各质4点的实际的位置 。 X- 16 ) - 2 绘出 , 如图 11 所示 。( 2) 为确定各质点在题设时刻的运动方向 , 应根据波传播的方向判断 , 可以画出 t时间后的波形曲线 , 从而确定各质点的运动方向 , 是向右或向左 。2 . 题设时刻各质点的位置由图 8 示出 ,各质点此时刻的运动方向由图 9 示出 。图 112 . 由 V = = 16 米 , 当 t = 0 时 , 波T 得图 8源位移 0 = 0 , 周相 = - 2 , 此周相在 t =
16、 3秒时传至 X = 4 3 米 = 12 米处 ,当 t = 3 秒时 ,波源位移 03 = - A ,12 = 0 , 已知 T = 4 秒 , 由 这些条件可绘出如图 11 所示的波形图象 。图 9提示 :也可由上述条件画出 t = 0 时的波形图象 , 再将图象向右移 12 米时就可得到 t= 3 秒时的波形图象 。A co s ( 2t -) , 振动曲线如图 15 所示 。T2例 4t = 0 时 , 波动曲线如图 12 所示 ,求图中 A 、B 、C 、D 各点在第一周期内的振动曲线 ( 设波速 V ) 。图 1523 . t = 0 时 , 由图 12 量得 0 C =A ,
17、且3C 点速度为负 , 得初周相 c = 0 . 82 ra d , 其振动方程为 = A co s ( 2t - 0 . 82) 。振动曲线T图 12分析由某时刻波形曲线求不同坐标上 的振动曲线 , 可以由 t = 0 时的波形曲线量出 各点的初位移 , 再根据 t 时间后的波形曲 线判断各点 的 速 度 方 向 , 找 出 各 点 的 位 相 。 波长 、波速及 周 期 可 由 图 量 得 及 计 算 得 出 。 由这些条件就可写出各坐标处 ( 各点) 的振动 方程 。解设一列波是沿 X 正向传播 , 画出 t+ t 时刻的波形曲线 , 如图 13 所示 。如图 16 所示 。4 . 由
18、t = 0 时波形图知 t = 0 时 ,D =23A 且 D 点速度为正 , 故 D = - 0 . 82 ra d , 其振动方程为 :( 2D = A co st - 0 . 82)T振动曲线如图 17 所示 。图 16图 131 . 由 t = 0 的波形图可知 : t = 0 时 ,0 A= - A 故 A = , A 点的振动方程为 : =A co s ( 2 - ) 。振动曲线如图 14 所示 。图 17提示 :1 . 本题也可由 t = 0 时波形曲线定 出原点处波源的振动方程 , 然后写出波动方 程 , 再由图量得 X A 、XB 、X C 、X D , 代入波动方 程即可得 A 、B 、C 、D 各点的振动方程 , 再由 振动方程画出各点的振动曲线 ;21 解题中测量位移应力求精确 。参考文献T t图 142 . 由 t = 0 的波形图 , t = 0 时 ,0 B = 0 由 图 12 及图 13 比较 , 得到 B 点速度为负 , 所程守洙 、江之永 . 普通物理学 (第五章波动方程) .北京 :人民教育出版社 ,1982 年陈立明 . 力学中若干容易混淆的问题 . 上海 :上海 教育出版社 ,1965 年12以 B 点的振动初相为 2 , 其振动方程为 =
