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1、数学模拟实现制动器试验台的控制摘要汽车制动性能的检验是机动车安全技术检验的重要方法之一。本文讨论了试验台制动测试时，通过一系列的数学模拟和数据控制，使在试验台上的测试尽量与路试时等效。对问题一，将路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷在车辆平动时具有的能量等效地转化为试验台上相应等效转动惯量转动时具有的能量，通过物理公式的推导得出等效转动惯量为。对问题二，通过转动惯量的计算公式及机械惯量的定义得到8个机械惯量，据电动机能补偿的能量相对应的惯量的范围，我们选用了，这两个惯量，求出了需要电动机补偿的惯量为或。对问题三， 通过能量转化求解，即在t和时刻路试时的动能等于试验台上飞轮和主轴的角动能与电机补偿
2、等能量之和，由此得出电动机补偿能量的扭矩与的数学关系式，由于试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成1.5倍的关系，我们的得出了建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型，根据题目所给的数据得到驱动电流的值是175A。对问题四，我们分析了制动-转速-时间三者之间的关系，并根据评价指标分别计算出路试和试验台的制动能量消耗，从而计算能量误差，我们得出结果：误差5.6%，该控制方法试验得到的数据实验台模拟效果较好。对问题五，根据问题三得出的模型编写一个MATLAB函数来模拟控制，并将计算得到的电流值返回，实现计算机控制方法模型。对问题六，对问题五的模型进行了改进，考虑了实验台上的制动和现实中制动
3、可能会出现的误差，并将问题五得出的电流控制方法的时间间隔细化，使得到的电流值更加精确。关键词： 制动试验台，转动惯量，电流控制，模拟实验一、问题重述制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，直接影响着人身和车辆的安全。为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试。但是，车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。通常试验台仅安装、试验单轮制动器，而不是同时试验全车所有车轮的制动器。被试验的制动器安装在主轴的一端，当制动器工作时会使主轴减速。试验台工作时，电动机拖动主轴和
4、飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速后电动机断电同时施加制动，当满足设定的结束条件时就称为完成一次制动。路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量。飞轮组由若干个飞轮组成，使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量。在本文的某些制动过程中，让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则。由于制动器性能的复杂性，我们把整个制动时间离散化为10ms的时间段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。由此我们
5、建立了电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型，并设计本时间段电流值的计算机控制方法。评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，本文中的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。我们对以上所建立的模型以及文中所给的数据进行评价，对控制方法进行完善并做评价。二、基本符号说明及问题假设2.1 基本符号说明：路试时，角速度随时间的变化量：试验台测试时，角速度随时间的变化量： 转动惯量：基础惯量：机械惯量：等效惯量：电模拟惯量：制动力的扭矩：电动机的扭矩：路试时，承受载荷的动能：试验台测试时，主轴和飞轮所具有的角动能：实验台上电动机的扭矩做功产生的能
6、量：实验台上制动的扭矩做功产生的能量:电流值:车轮半径:经过的时间:制动时的承受载荷：能量误差百分比2.2 问题假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动.忽略车轮自身转动具有的能量.路试和试验台测试时，经过相同的时间后，两者的角速度相等，即.在路试时，踏下制动踏板的力是恒定的。制动器试验台由安装了飞轮组的主轴、驱动主轴旋转的电动机、底座、施加制动的辅助装置以及测量和控制系统等组成。模拟实验中，认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致。将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量(以下转
7、动惯量简称为惯量)在本文中称为等效的转动惯量。试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为1.5 A/Nm）。试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。三、问题分析制动器试验台由安装了飞轮组的主轴、驱动主轴旋转的电动机、底座、施加制动的辅助装置以及测量和控制系统组成，将路试车辆的指定车轮在制动时承受的载荷在车辆平动时具有的能量等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量既是等效的转动惯量，通过该关系可以计算等效转动惯量。试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量为基础惯量。飞轮
8、本身有相对于主轴的转动惯量，飞轮和主轴组合可以组成不同的机械惯量。根据力学知识可以计算飞轮相对于主轴的转动惯量，从而求解问题二。由于机械惯量是一组固定的值，所以往往不能精确地模拟试验。这个问题的解决方法是：把机械惯量设定为接近值，然后在制动过程中，让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少（或多余）的能量，从而满足模拟试验的原则。分别建立路试能量方程和试验台测试能量方程，根据路试与试验台之间的同步关系可以得出电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，本题中的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动
9、过程中消耗的能量之差。通过MATLAB计算出由许多小的制动能量累加起来的实验台能量消耗，再由角速度、等效转动惯量计算出路试制动消耗能量，从而计算能量误差，评价控制方法的优劣。由问题三的模型可以得出当前电流依赖于角加速度的关系，再由角加速度的相对连续性稳定性预测下一时段的电流值。考虑到模拟实验和现实路试之间的实验误差，在实验时应经常监控控制力的瞬时扭矩，然后在判断下一时刻的电流值。四、模型的建立与求解4.1问题一的模型建立与求解设车辆单个前轮的滚动半径为0.286 m，制动时承受的载荷为6230 N，求等效的转动惯量。下图是惯性制动器试验台原理图：图一 惯性制动器试验台原理图路试有效载荷的动能
10、(4.1.1)测试台实验角动能(4.1.2)因为有且 带入(4.1.1)和(4.1.2), 可以得到： (4.1.3)带入数据, , , 可以得到 即车辆单个前轮的滚动半径为0.286 m，制动时承受的载荷为6230 N时，等效转动惯量为.4.2问题二的模型建立与求解飞轮组由3个外直径1 m、内直径0.2 m的环形钢制飞轮组成，厚度分别为0.0392 m、0.0784 m、0.1568 m，钢材密度为7810 kg/m3，基础惯量为10 kgm2，问可以组成哪些机械惯量？设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 -30, 30 kgm2，对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯
11、量？下图为飞轮的剖面图二 飞轮剖面图由转动惯量的计算公式知： (4.2.1)将带入上式，并计算积分得 （4.2.2）把题目中给出的数据带入(4.2.2)中, 可以计算出各个飞轮的惯量为, , 。由题目知基础惯量，又由于机械惯量为飞轮组中若干个飞轮的惯量之和再加上基础惯量，可以组成10 kgm2，40 kgm2，70 kgm2，130 kgm2，120 kgm2，180 kgm2，210 kgm2，250 kgm2的8种数值的机械惯量。因为电动机能补偿的能量相对应的惯量的范围为-30, 30 , 所以有两种方案可供选择:选择惯量为的飞轮, 这样加上基础惯量, 机械惯量, 还需要电动机补偿的惯量
12、选择惯量为的飞轮, 这样加上基础惯量, 机械惯量, 还需要电动机补偿的惯量.4.3问题三的模型建立与求解建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50 km/h，制动5.0秒后车速为零，计算驱动电流。在t时刻路试汽车所具有的能量可表示为： （4.3.1）实验台上飞轮和转轴所具有的能量可表示为：， （4.3.2）故在t时刻需要电动机补偿的能量可表示为： （4.3.3）经过时间后，汽车所具有的能量、飞轮和转轴所具有的能量、需要电动机补偿的能量分别为： （4.3.4）在制动过程中有： 电动机补偿的能量可表示为： （4.3.5）同样电动机补偿
13、能量的扭矩做功为： （4.3.6）所以： （4.3.7）因此，电动机驱动电流依赖于可观测量的函数关系式为： （4.3.8）在问题三中，制动减速度为常数，初始速度为50 km/h，制动5.0秒后车速为零，取=0.01s，带入上面的式中，用MATLAB可以计算出扭矩和电动机电流随时间变化的关系，并拟合，得下图： 图三 扭矩和电流随时间变化图由图中我们可以看出，电流在制动过程中的补偿速率是接近恒定的，其值为175A，在制动结束前0.2s开始迅速减小，并减小到0。4.4 问题四的模型建立与求解对于与所设计的路试等效的转动惯量为48 kgm2，机械惯量为35 kgm2，主轴初转速为514转/分钟，末转速
14、为257转/分钟，时间步长为10 ms的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表三。请对该方法执行的结果进行评价。在问题四中给出了制动的瞬时扭矩，飞轮的瞬时转速，时间t，路试时起始时刻的转速，结束时刻的转速，以及等效转动惯量和机械惯量。评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，本题中的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。首先我们分析了制动力矩以及飞轮转速随时间t的变化规律，通过拟合我们得到下图：图四 制动力矩与飞轮转速随时间变化规律在本次试验中制动力矩首先逐渐增大，增大到280-290 N左右便开始以稳定的工作状态进行制动。而飞轮转速
15、也在制动力矩稳定以后，开始稳定的匀减速。下面计算能量误差：实验台上制动器在制动过程中消耗的能量可以表示为各个小时段消耗的能量之和，即： （4.4.1）式中为测得的瞬时扭矩，瞬时速度，测量的时间间隔，计算得：路试时的制动器制动过程中消耗的能量可以表示为起始时刻与终止时刻汽车所具有的能量差，我们用汽车的等效转动惯量和车轮的角速度来表示： （4.4.2）其中，分别表示起始时刻和终止时刻车轮的角速度。计算得出：路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差为：能量误差： （4.4.3）能量误差5.6%，该实验台模拟效果较好。4.5问题五的模型建立与求解：按照第3问导出的数学模型，给出
16、根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。由问题三的求解可知： （4.5.1）其中时的车轮转速可以由传感器得知, 为经过后要达到的转速.可以用编写一个MATLAB函数（见附一）来模拟控制, 把, , , , , 作为参数传递给函数，并将计算得到的电流值返回.由此控制方法得到的下个时间段的电流值不是很准确，主要有以下几方面原因：(1) 不是恒定不变的，而是随着时间的变化而变化(2)制动力的扭矩也是随着时间的变化而变化一次需要一个更加完善的模型来实现对电流的控制，在第六问中我们会给出一个更加完善的模型。4.6问题六的模型建立与求解：第5
17、问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价。在第五问中，我们得到了一个电流控制方法，由于考虑的影响因素很少，所以会有较大的误差。在这一问中我们会得到一个更加完善的电流控制方法。在时间内，粗糙的认为转速恒定，也是恒定不变的，因此制动扭矩和电动机扭矩所做功之和，即实验台上能量减少量为： （4.6.1）实际情况下的汽车能量变化可表示为： （4.6.2）为使能量保持守恒，就要满足： （4.6.3）即 （4.6.4）化简可得： （4.6.5）电动机电流 （4.6.7）也可以通过编写一个matlab函数（见附二）来模拟此控制方法，但此控制方法同上一问题得出的控
18、制方法一样，也忽略了很多影响结果的因素，因此，通过以下方法来完善此控制方法。假设时间内，车轮角速度由变为是匀速的，我们把等分为等分，可以粗糙的算出()时车轮的角速度，因此此问题又转化为一系列的同类的问题，但是间隔时间很短，而且可以使用最新测得的数据，减小了误差，因此比上一问题中的控制方法更加完善。可以参考下面的表格： 更小的时间段最新的控制力扭矩起始角速度末角速度123n因为考虑了更多的影响因素，而且把突然控制中的一些变化作为反馈条件加入到了新的计算，因此，用此控制方法的得到的电流值更加精确，因而这个控制方法，比以前的控制方法更加完善。五、模型的评价本文建立了电流与可观测量的模型，我们选取瞬时
19、速度作为评价的标准：，模型简单，使用，可以比较好的模拟路试制动过程。通过该模型，观测前一个时间段的瞬时转速，再由我们的目的转速为控制条件设计本时间段电流值的计算机控制，通过编写一个MATLAB函数来模拟控制, 把, , , , , 作为参数传递给函数，并将计算得到的电流值返回。由此控制方法得到的下个时间段的电流值不是很准确，主要有以下两方面原因：一、不是恒定不变的，而是随着时间的变化而变化。二、实验室制动力扭矩与路试制动力扭矩的不同步。我们在问题六中解决了这两个问题，因为考虑了更多的影响因素，而且把突然控制中的一些变化作为反馈条件加入到了新的计算，因此，用此控制方法的得到的电流值更加精确，因而
20、这个控制方法更加完善。六、小结本文利用数学模拟和数据控制的方法，用能量关系完成了等效转动惯量以及机械惯量的求解，并探索出了电动机的驱动电流依赖于可观测数据的数学模型，由此利用MATLAB控制函数，实现了计算机控制方法模型，最后对该方法进行了改进，使求解与实际情况更加贴近。参考文献1 韩中庚，数学建模方法及应用，北京：高等教育出版社，2005.62 漆安慎、杜婵英，力学，北京：高等教育出版社，19973 张彪、刘昭度、李志远、王仁广，机械转动惯量电模拟系统设计与试验，农业机械学报，第38卷第5期，2007年5月4 张金柱，汽车制动试验台关键技术研究，哈尔滨工程大学硕士学位论文，2007年5月5
21、吴明、黄耀泉、梁战峰、周焕成，关于汽车制动试验台检测问题的探讨，广东公路交通，第60期，1999年 附录附件一：N = 6230;g = 9.8;m = N / g;I = 40;I2 = 52;r = 0.286;v0 = 50 /3.6;a = v0 / 5;t = 0:0.01:5;p = size(t);n = p(2);t1 = t(1:n-1);t2 = t(2:n);v1 = v0 - a * t1;v2 = v0 - a * t2;w1 = v1 / r;w2 = v2 /r;M = (1/2 * (m * r2 - I) * (w1 .* w1) - (w2 .* w2) .
22、/ (w1 * 0.01);附件二：load varx.mat;s = size(x);n = s(1);M = x(1:n-1,1);w = x(1:n-1,2) * pi / 30;t_increase = 0.01;%t = 0:0.01:4.67;E=0;for i = 1:n-1, E = E + M(i)*w(i)*t_increase;endw0 = 514 * pi / 30;w1 = 257 * pi / 30;I = 48;E2 = 1/2 *I* (w02 - w12);s = (E2 - E) / E2;display(E);display(E2);display(s)
23、;附件三：扭矩(N.m)转速(rpm)时间(s)角速度（rad/s）实验台上在t的时间间隔内制动力所做的功（J）40514.33053.8605107321.5442042940513.790.0153.8039620721.5215848340513.240.0253.746366221.4985464841.25513.790.0353.8039620722.1941343543.75513.790.0453.8039620723.539233445513.790.0553.8039620724.2117829347.5513.240.0653.746366225.529523955051
24、3.240.0753.746366226.873183153.75512.690.0853.6887703428.8577140655512.690.0953.6887703429.5288236957.5512.150.153.6322216730.8385274658.75512.150.1153.6322216731.5089302362.5512.150.1253.6322216733.5201385462.5512.690.1353.6887703433.5554814667.5512.150.1453.6322216736.2017496367.5512.150.1553.6322
25、216736.2017496372.5511.60.1653.5746258138.8416037175511.60.1753.5746258140.1809693581.25511.060.1853.5180771443.4834376886.25511.60.1953.5746258146.2081147691.25511.60.253.5746258148.8868460596.25510.510.2153.4604812751.45571323101.25510.510.2253.4604812754.12873729105510.510.2353.4604812756.1335053
26、4110511.060.2453.5180771458.86988485115510.510.2553.4604812761.47955347120509.420.2653.3463367464.01560409127.5509.420.2753.3463367468.01657935133.75509.420.2853.3463367471.35072539143.75509.420.2953.3463367476.68535907150509.420.353.3463367480.01950511157.5508.870.3153.2887408883.92976688161.25508.
27、330.3253.2321922185.83690994168.75507.780.3353.1745963589.73213134172.5507.780.3453.1745963591.7261787181.25507.230.3553.1170004896.27456338186.25507.230.3653.1170004898.9304134193.75507.230.3753.11700048102.9141884198.75507.230.3853.11700048105.5700385203.75506.690.3953.06045182108.1106706208.75505
28、.60.452.94630729110.5254165211.25505.050.4152.88871142111.7274029216.25504.50.4252.83111556114.2472874218.75503.960.4352.77456689115.4443651222.5503.410.4452.71697103117.2952605226.25502.870.4552.66042236119.1442056230502.870.4652.66042236121.1189714233.75502.320.4752.60282649122.9591069237.5502.320
29、.4852.60282649124.9317129238.75501.230.4952.48868196125.3167282242.5500.140.552.37453743127.0082533242.5499.590.5152.31694157126.8685833247.5499.040.5252.2593457129.3418806246.25499.040.5352.2593457128.6886388245498.50.5452.20279704127.8968527241.25498.50.5552.20279704125.9392479245497.950.5652.1452
30、0117127.7557429248.75497.950.5752.14520117129.7111879256.25497.410.5852.08865251133.477172257.5497.410.5952.08865251134.1282802262.5496.860.652.03105664136.5815237262.5496.310.6151.97346078136.4303345266.25495.770.6251.91691211138.2287785266.25495.220.6351.85931625138.0754295266.25494.680.6451.80276
31、758137.9248687266.25493.580.6551.68757585137.6181707266.25492.490.6651.57343132137.3142609266.25491.40.6751.45928679137.0103511265490.850.6851.40169092136.2144809266.25490.310.6951.34514226136.7064413268.75489.760.751.28754639137.8352809272.5489.220.7151.23099773139.6044688273.75488.670.7251.1734018
32、6140.0871876276.25488.120.7351.115806141.2074141277.5488.120.7451.115806141.8463616277.5487.030.7551.00166147141.5296106272.5486.490.7650.9451128138.8254324272.5485.390.7750.82992107138.5115349268.75484.30.7850.71577654136.2986494272.5483.210.7950.60163201137.8894472267.5482.120.850.48748748135.0540
33、29272.5481.570.8150.42989161137.4214546270481.570.8250.42989161136.1607074277.5481.570.8350.42989161139.9429492278.75481.030.8450.37334295140.4156935282.5479.930.8550.25815122141.9792772282.5479.390.8650.20160255141.8195272282.5479.390.8750.20160255141.8195272282.5478.840.8850.14400669141.6568189280
34、478.30.8950.08745802140.2448825277.5477.750.950.02986216138.8328675276.25477.20.9149.97226629138.0483856273.75477.20.9249.97226629136.799079273.75476.660.9349.91571762136.644277275476.110.9449.85812176137.1098348276.25475.020.9549.74397723137.4177371280474.470.9649.68638136139.1218678280473.930.9749
35、.6298327138.9635316282.5471.20.9849.34394777139.3966525281.25468.470.9949.05806284137.9758017283.75465.19148.71458205138.2276266282.5463.551.0148.54284166137.1335277278.75461.921.0248.37214846134.8373638276.25461.371.0348.3145526133.4689515275460.281.0448.20040806132.5511222277.5459.731.0548.1428122
36、133.5963039280458.641.0648.02866767134.4802695281.25458.091.0747.9710718134.9186395285457.551.0847.91452314136.5563909283.75457.551.0947.91452314135.9574594283.75456.461.147.80037861135.6335743282.5455.911.1147.74278274134.8733612281.25455.361.1247.68518688134.1145881278.75455.361.1347.68518688132.9
37、224584277.5455.361.1447.68518688132.3263936273.75454.821.1547.62863821130.3833971277.5454.271.1647.57104235132.0096425277.5453.181.1747.45689782131.6928914281.25452.631.1847.39930195133.3105367281.25451.541.1947.28515742132.9895052283.754511.247.22860875134.0111773285450.451.2147.17101289134.4373867
38、285449.91.2247.11341702134.2732385283.75449.361.2347.05686836133.523864282.5448.811.2446.99927249132.7729448282.5448.271.2546.94272383132.6131948281.25448.271.2646.94272383132.0264108278.75447.721.2746.88512796130.6922942275447.171.2846.8275321128.7757133276.25446.631.2946.77098343129.2048417276.254
39、46.081.346.71338757129.0457332280445.541.3146.6568389130.6391489281.25444.991.3246.59924304131.060371285443.91.3346.4850985132.4825307283.75443.351.3446.42750264131.7380387285442.811.3546.37095397132.1572188282.5442.261.3646.31335811130.8352367285441.711.3746.25576224131.8289224280441.711.3846.25576
40、224129.5161343281.25441.711.3946.25576224130.0943313276.25441.711.446.25576224127.7815432275441.171.4146.19921358127.0478373273.75441.171.4246.19921358126.4703472276.25440.621.4346.14161771127.4662189278.75440.081.4446.08506905128.46213280438.981.4545.96987732128.7156565281.25438.441.4645.9133286512
41、9.1312368282.5438.441.4745.91332865129.7051534282.5438.441.4845.91332865129.7051534282.5437.891.4945.85573279129.5424451281.25437.351.545.79918412128.8102053281.25436.81.5145.74158826128.648217281.25436.251.5245.68399239128.4862286278.75435.711.5345.62744372127.1864994276.25434.621.5445.51329919125.730489273.75433.521.5545.39810747124.2773192275432.981
