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1、2.9 横向运动,2.9.1 加速腔近轴区的场分布,本节所讨论的横向运动是在采用TM01模的行波电子直线加速器或采用TM010模的驻波质子直线加速器。,由于在直线加速器中，束流沿轴线方向加速，束流始终靠近中心位置，因此我们主要关心的是近轴条件（rR）下的高频场分布。,漂移管加速器结构示意图,加速单元示意图,1）Ez,在柱坐标系下，波动方程为：,考虑到TM01和TM010模的轴对称性，有,因此有,把方程左侧的第二第三项移到右侧，并对r积分，得到,（H也同样）,假设加速结构的半径为R，在近轴条件下，rR，把轴向电场对r展开，,把上式代入,忽略掉r3以上的高阶项，得到,和,解得,（a）,对于驻波加速
2、结构，轴向电场只是幅度随时间变化，可以把时间t与r、z坐标分离，,（b）,其中0是t0时刻的相位。,假设加速结构为周期性，周期长度为Lc，根据Flouquet定理，可以把场分布写成周期函数的形式，,（c）,把（c）式代入（b）式中，得,上式表示Ez场由一系列波数和相速各不相同的空间谐波分量组成，波数和相速分别为,取出谐波数n1的空间谐波，相速Vp1与粒子速度相同，,（d）,对于0模、基波加速情况，相速vp1与粒子速度v同步，忽略在一个周期中粒子速度的变化，有,上式就是0模的驻波加速条件。,从（d）式可得,代入（a）式，并考虑到,从上式可知，为减小束流能散，应使 r，,高频电磁场分布示意图,2)
3、Er,通过类似的推导过程，可以得到,从上式可知，Er与r成线性关系，与 成反比关系。,3）H,同样可以得到,H和Er对粒子分别提供了横向作用力，二者之间的比例为：,由于磁场和电场所提供作用力方向相反，因此总的横向作用力为：,显然当 1 时，Fr 0。,对于同步粒子，选择,可以有稳定的纵向运动。,对于q0，有Ez0，另 sin(t+0)0 时，粒子受到横向散焦力的作用，当 1,Fr 0时，粒子受到的横向散焦力才会趋于0，因此要在直线加速器中引入聚焦力才能维持粒子的横向运动的稳定性，例如安装螺线管磁铁或四极磁铁来提供横向的聚焦力。,2.9.2 聚焦元件和横向运动,(能量较低情况下),螺线管磁铁（S
4、olenoid）,(能量较高情况下),四极透镜（Quadrupole，磁四极透镜或电四极透镜）,阅读文献CERN 94-01 P.21P.33，Accelerator Magnets,四极透镜分为静电四极透镜和磁四极透镜两大类，在高能情况下多采用磁四极透镜。四极透镜在使用上一般是多个透镜搭配使用，如三合一四极透镜组。,磁四极透镜,静电四极透镜,四极磁铁（透镜）的聚焦作用,当粒子偏离中心通过四极磁铁时，会受到横向作用力（洛仑兹力）。,理想的四极磁铁的极头是双曲线形，可以提供等梯度的横向磁场：,假设极头相对磁铁中心的半径为r0，极头处的磁场为B0，则磁场梯度为,对于纵向速度为v，横向位置为（x，y
5、）的运动粒子，受到的洛仑兹力为,水平和垂直方向的受力符号相反，决定了两个方向不能同时聚焦或散焦。通常所称的聚焦磁铁或散焦磁铁均是以水平方向的作用来决定的。,如果没有加速，,对于四极磁铁，,磁刚度：,定义四极磁铁聚焦强度：,则横向运动方程可以写成：,横向运动方程,横向运动方程：,单位：,粒子在四极磁铁中的横向运动方程称作Mathier-Hill方程。,令,横向运动方程也可写成：,虽然四极磁铁只在一个方向聚焦（如x方向），另一个方向（y方向）散焦，但是通过聚焦和散焦磁铁的交错排列（交变梯度聚焦），可以最终做到对两个方向（x和y方向）的聚焦（强聚焦原理）。这种磁铁的排列组合，通常被称作Lattice
6、（磁聚焦结构）。,2.9.3 Hill方程的矩阵解,把粒子在四极磁铁和漂移节中的运动方程写成统一的形式：,当K0时，表示四极磁铁强度为0，即粒子在漂移节中运动；当K0时，表示聚焦作用；当K0时，表示散焦作用。,上面二阶微分方程的解可以写成矩阵的形式：,传输矩阵：,1）漂移节（K0）,L为漂移节的长度。,2）聚焦四极磁铁,L为磁铁长度。,3）散焦四极磁铁,L为磁铁长度。,4）薄透镜近似,当,四极磁铁传输矩阵可以简化为,其中,正号表示散焦作用，负号表示聚焦作用。,由一系列元件组成的Lattice的总传输矩阵可以通过对各个元件单独的传输矩阵相乘获得：,并且在能量不变的情况下,5）行波加速管,L为加速
7、管长度；E0是加速管入口的粒子能量；E是整个加速管的能量增益；是粒子相对于加速场波峰的相角；是加速场波长。,其中,FODO结构聚焦磁铁、直线节、散焦磁铁、直线节、聚焦磁铁交错排列。周期性FODO聚焦结构的磁铁聚焦强度大小相同（可共用一套电源），聚焦和散焦交错，直线节长度相同。,传输矩阵：,BEPC直线加速器连接储存环的输运线公共段FODO结构,CSNS储存环连接靶站输运线的FODO结构,周期结构的稳定条件,假设一个周期的传输矩阵为M。经过n个周期的传输后，粒子的坐标变为,设V1和V2是M的本征向量，1和2为相应的本征值，则,经过多个周期的粒子坐标应为有限值，因此1n 和2n应为有限值。,本征值
8、可以写成,根据M的行列式为1，可知,其中为复数,设,本征方程：,可得周期结构的稳定条件为是实数，即：,一个周期的传输矩阵：,周期性FODO结构的稳定条件,即稳定条件为聚焦长度大于磁铁间距的一半。,粒子在电磁场中的动力学行为，可用广义位置坐标和广义动量所组成的正则变量来描述，而且它们的变化规律由哈密顿正则方程所支配。,电磁场中粒子所受洛仑兹力：,哈密顿函数的物理含义为粒子的动能与势能之和，其非相对论形式为：,相对论形式为：,为广义动量,粒子的运动可以用哈密顿正则方程表示为：,电磁场中的哈密顿正则方程：,2.6 束流相空间和刘维定理,束流相空间当构成束流的所有粒子之间无相互作用时，仅需三个广义坐标
9、（x、y、z）和三个广义动量（Px、Py、Pz）就可以描述粒子的动力学行为。以这三个广义坐标和三个广义动量作为坐标轴，且相互垂直，这样构成的抽象空间称为六维束流相空间，粒子在某一时刻的运动状态可由相空间中的一点（相点）来表示，随着时间的推移，相点在相空间中描绘出的曲线称为相轨迹。含有N个粒子的束流的运动状况，可由相空间中与之对应的分布于某一区域的N个相点代表，该区域的图形称为束流相图，该区域边界包围的体积称为束流相体积。根据哈密顿方程解的唯一性，可知相空间中粒子的相轨迹彼此互不相交。由此可知处于区域内的相点不会移到区域的外边，原来边界上的相点也不会移动到区域内部，这样，束流相图边界的运动、变化
10、就可以代表区域内所有相点的集体运动行为，也就代表了整个束流的运动行为。,位置-斜率束流相空间,通常把组成束流的大量粒子的“质心”定义为参考粒子，参考粒子的运动轨迹与束轴（z轴）始终重合。任意粒子的运动可看作参考粒子的运动与任意粒子相对于参考粒子的运动的叠加。x和y代表了粒子相对于参考粒子（z轴）的横向偏离位置，,代表了粒子的运动方向，是粒子相对于,参考粒子运动方向（z轴）的斜率，x和 y为粒子轨迹上切线方向与束轴之间x方向和y方向的夹角，即粒子的发散角。在线性近似下，,对于纵向运动，定义任意粒子相对于参考粒子的纵向分离距离l(z)，及其导数l(z)，l(z)反映了任意粒子相对于参考粒子的速度分
11、散、动量分散和能量分散。,六维位置-斜率相空间（x，x，y，y，l，l）,刘维（Liouville）定理如果组成束流的粒子体系为哈密顿体系（即粒子在相空间的运动规律可由哈密顿正则方程来描述），则它在相空间中所占的相体积在运动中保持常数。,对于束流传输系统，（x、Px、y、Py、z、Pz）相空间相体积守恒。,对于位置-斜率相空间，（x，x）、（y、y）、（l、l）并非哈密顿共轭变量，因此刘维定理的应用是有条件的。对于线性传输系统，粒子运动的轨迹可以写成矩阵形式：,如果线性传输矩阵R的行列式等于1，则六维束流相体积守恒，即线性传输系统中刘维定理的等价表述为：,如果（x，x）、（y、y）、（l、l）
12、相空间相互之间没有耦合作用，则在各自二维相空间，传输矩阵行列式均为1，相面积分别守恒。,发射度对于位置-斜率二维相空间，定义横向束流发射度为：,发射度单位：mrad、mm mrad、nm rad，有时也把相面积定义为发射度，表示为：mrad、mm mrad、nm rad。,定义四维超发射度：,根据刘维定理，在无加速和无耦合的情况下，发射度不变；,在有加速但无耦合情况下，定义归一化发射度：,在横向和纵向没有耦合且无加速情况下，四维超发射度守恒。,归一化发射度在加速过程中也始终保持不变。,束流相椭圆考虑在（x，x）二维相空间，假定相平面上的束流相图是一个以坐标原点为中心的对称椭圆，称为束流相椭圆，
13、相椭圆边界方程为,式中C为常数，方程的系数应满足,若，则称为标准化椭圆方程，如果，只要在方程两边乘以因子,方程即可化为标准化椭圆方程。假设我们讨论的方程为标准化椭圆方程。,引入相椭圆系数矩阵：,相椭圆方程变成,为计算椭圆面积，可采用旋转变换,其中转角满足：,得相椭圆的面积为：,另外可得相椭圆的最大半宽度：,相椭圆的最大半张角：,设束流x、x 的分布满足二维正态分布（高斯分布），密度分布函数可写成如下形式：,可得：,其中：,一维高斯分布,截取二维高斯分布一定“高度”的椭圆截面，可用此椭圆的边界来代表束流的整体，以它的运动来代表束流整体的运动，通常取x最大值为一倍 和x最大值为一倍 所对应的相椭圆
14、来代表，其面积作为束流发射度。也可取两倍、三倍 和 对应的相椭圆来代表。如果束流分布不是高斯分布，也可类似的用统计的方法定义出束流的发射度。,2.9.5 Courant-Snyder不变量,横向运动方程（Mathier-Hill Equation）为：,聚焦情况下，Hill方程的解可以写成：,设方程的两个线性无关解为f1(z)和f2(z)，则方程的通解为：,即朗斯基（Wronsky）行列式为常数：,令f1(z)和f2(z)为一对复共轭函数，则为保证x(z)为实数，c1和c2必须为一对共轭常数，,再令,则,不失一般性，可选取,则,粒子横向运动的相移为：,sin项和cos项系数应分别等于0，cos
15、项系数中代入,得,消去三角函数，,包络方程,利用,令,则有,并且、三者之间始终满足,与之间有：,粒子横向运动的相移可重写为：,说明在（x，x）相空间，如果粒子初始坐标满足某一椭圆方程,在经过线性传输系统后，这些粒子的坐标仍然满足某一椭圆方程，,只是椭圆的形状和转角发生了变化，各粒子的坐标也发生了相应的变化，但椭圆的面积始终保持不变（刘维定理），均为,发射度：,，被称为Twiss参数（或Courant-Snyder参数）,的单位：m rad（或mmmrad，nmrad，cmmrad）的单位：m（或cm，mm）的单位：1/m的单位：无量纲,相图,束流经过直线节时相图的变化,束流经过聚焦四极磁铁时相
16、图的变化,反映了束流包络，也称作包络函数。,包络方程：,束流（x，x）相空间,二维高斯分布,Hill方程,max的位置通常位于聚焦四极磁铁中间；min的位置通常位于散焦四极磁铁的中间。,束流特性矩阵,可以把束流发射度和Twiss参数用矩阵形式表示为：,其中,其逆矩阵为：,为束流特性矩阵，表示束流的横向参数。,假设从位置1到位置2的束流传输矩阵为M，则位置2处的束流特性矩阵为：,Hill方程的解x，x 可以用、和相移表示成传输矩阵的形式：,传输矩阵也可写成：,BEPCII直线加速器元件布局示意图,BEPCII直线加速器校正子和BPM布局的“标准节”示意图,校正子结构示意图,三合一透镜组的束流包络
17、示意图,直线加速器中，两个透镜组之间可以有较长的直线节，可以用来放置加速管等元件。,正电子（positron）：是电子的反粒子，与电子电荷相反，质量相同。可以利用电子直线加速器产生的高能电子，轰击高原子序数金属或合金（钽或钨），在电磁级联簇射过程中产生的正电子，通过适当方法收集，可以得到较强的正电子束流。例如，BEPCII直线加速器利用电子束流打钨靶产生正电子，向BEPCII储存环提供的正电子束流脉冲流强约为50 mA。,电子直线加速器打靶产生正电子示意图,BEPCII直线加速器电子束打靶束流包络E0=40 MeV，Ee=240 MeV,BEPCII直线加速器正电子束流包络，E0=90 MeV
18、,CSNS储存环到靶站之间输运线的Beta函数,磁铁的有效长度和磁铁长度,四极磁铁的边缘场,2.9.6 经过一个聚焦周期的传输矩阵,经过一个聚焦周期的传输矩阵可以写成：,考虑周期性结构：,设经过一个周期的相移为：,由于周期性的磁聚焦结构（lattice）的一个周期的相移为：,在一个周期内的平均函数可近似表示为：,横向运动的稳定性要求矩阵的迹满足：,2.10 接受度和束流匹配,1）加速器的接受度（Acceptance）,对于一个束流传输系统，在（x，x）相空间，能够通过该系统的最大的相空间区域称为接受相图，面积称为该系统的接受度，系统的传输矩阵决定了接受相图的形状和大小。,束流传输系统中各传输元
19、件（加速管、四极透镜、真空盒等）对束流都存在几何限制，任何元件都只有一定相空间区域内的粒子才能通，此区域外的粒子将在该元件中损失掉。,进入传输系统的束流，如果发射度相图落在接受度相图之内，束流粒子将全部通过该系统，否则粒子会在系统的某处碰到管壁而损失掉。,一段漂移节真空盒的接受相图和束流发射度椭圆,发射度相图和接受相图形状和大小一致时，从制造上来说最为经济；如果接受度比发射度大很多，相对来说系统的孔径就会加大很多，不经济。束流传输系统设计时既要考虑到接受度留有一定的余量，又要避免余量过大，造成制造成本过大，甚至是制造困难。,这里ra为加速管、四极透镜等元件的内径，A是传输系统的接受度，由设计的
20、Lattice决定。,通常接受度相图可用接受相图的内切椭圆代替，便于设计和计算。,设计时各处元件所需的孔径可根据束流的包络函数计算得到，,例如，CSNS高能输运线RTBT的束流发射度约为10 mmmrad，设计要求的接受度为350 mmmrad。,3）束流匹配,如果注入束的发射度椭圆与接受度椭圆匹配的很好，那么注入束的相椭圆形状与接受度椭圆的形状、方向一致。如果注入束的发射度椭圆与接受度椭圆不匹配，则注入束的发射度相当于被放大，导致束流的丢失。因此要求在注入点的束流匹配对保持束流品质来说很重要。在横向相空间（x，x）（y，y），很明显束流匹配的条件为：,因此理论上可以通过调节注入点之前的四块四
21、极磁铁调节注入束的发射度椭圆以匹配接受度椭圆。,如果发射度和接受度不能很好的匹配，则发射度将被放大，放大因子为Bmag,其中1、1为注入点的接受度参数，b、b为注入束失配发射度的参数。,发射度的“放大”,八极子对相空间的影响,相空间的丝化（filamentation）,发射度测量,通过多次改变四极磁铁聚焦强度，就可以得到一组束流包络a随四极磁铁聚焦强度K变化的方程组，,束团横截面的亮度分布：,归一化发射度,如果发射度的定义采用相空间（x，Px），那么束流运动的线性变换（包括加速过程），根据刘维定理，并不改变束流的发射度，此发射度即为归一化发射度（normalized emittance）。,定
22、义在相空间（x，x）的发射度在加速过程中不再守恒，我们称之为非归一化发射度（un-normalized emittance 或 simply emittance）,考虑到加速情况，横向运动方程为：,假设方程解的形式为x=uv，代入到方程中，,选择v，使u项系数为0，即令,能量改变缓慢，v，pv 可忽略，得,u是Hill方程的解，得,其中,定义归一化发射度：,偏转磁铁,粒子在偏转磁铁中的运动方程为：,其中为磁铁的偏转半径。p为任意粒子相对于参考粒子动量p的偏离量。,方程的解为：,偏转磁铁和边缘角,当粒子的入射方向和出射方向与磁铁边界不垂直时，入射方向和出射方向与磁铁边界法线之间的夹角称为边缘角，
23、边缘角对束流的影响相当于聚焦或散焦四极磁铁的作用。,水平偏转磁铁的传输矩阵：,常用的偏转磁铁有矩形磁铁和扇形磁铁两种。,能散和色散效应束团中的粒子之间总是存在能量差异，通常可用以参考粒子能量为中心的高斯分布来描述所有粒子的能量的分布。假设能量分布的方差为E，定义束流的能散为E/E，同样定义束流的动量分散为P/P。例如BEPCII直线加速器出口在1.89GeV时的能散约为0.5%。,定义色散函数：Dx，Dx,当带电粒子通过磁场时，如果粒子间存在能量偏差，会引起轨道和角度的分散，引起色散的主要元件是偏转磁铁。水平偏转磁铁的传输矩阵：,当经过偏转磁铁后，由于色散效应，粒子轨道的变化多了一项与能量有关
24、的部分，,对这部分贡献可单独处理，可知色散函数的变化和与能量无关部分的轨道变化类似，可以用传输矩阵计算（无偏转铁），,色散效应会引起束流横向尺寸的扩大，引起束流的损失，因此在加速器的注入、引出，对撞等情况下，常常需要消色散。,北京中高能粒子标准粒子实验束装置改造方案总图,BEPCII输运线Lattice,CSNS储存环到靶站之间输运线的色散函数,能散测量,测量点到束流截面探测器之间的传输矩阵为：,设束流截面探测器处的色散函数为Dx。,当能散不为0时，束流横向尺寸可近似（不考虑发射度的增长）满足下面关系,2.11 作为注入器的高能、高流强直线加速器的束流物理,工厂型的正负电子对撞机和第三代光源需
25、要作为注入器的直线加速器具有以下特点：,高能量（作为满能量注入的需要）高流强（作为高注入速率的要求）较小的束流发射度和能散度（作为高注入效率的要求）,需要考虑克服高流强带来的束流品质的下降问题。,2.11.1 注入器低能段的空间电荷效应,考虑束团中的电子都沿同一方向运动，假设束团较长，电荷分布轴对称，电荷密度分布函数为n(r)，在径向方向，每个电子受到束团中其它电子的作用力由两部分组成：,电场力eEr（Coulomb law）,磁场力（洛伦兹力），假设运动电荷产生的磁场为B（Ampere law），则,径向总的空间电荷力为,因此当1时，Fsc0；当1时，Fsc0。,横向空间电荷力会引起归一化发
26、射度的增长。纵向空间电荷力-2，纵向空间电荷力会引起额外的束流能散。,从热阴极电子腔引出的电子能量一般为80KeV200KeV，对于高流强的束流来说，空间电荷力较强（例如BEPCII电子枪脉冲流强为10A，脉冲长度为1ns，即10nC/pulse）。为克服空间电荷效应，电子枪的引出电压越高越好。,80KeV、120KeV、150KeV电子枪引出电压下，用EGUN和Parmela程序模拟的不同引出电压下归一化发射度沿预注入器的变化情况（预注入器由电子枪、聚束器、和加速到30MeV的预加速段组成，围绕在周围的螺线管磁场也进行了优化）,在预加速段的出口，束流的归一化发射度在80KeV的引出电压时为3
27、.5 cm mrad，150KeV时小于2.0 cm mrad。,电子枪不同引出电压对应的微束团纵向分布,80 kV 120 kV 150 kV,当电子枪引出电压大于150 keV时，通过聚束可以形成三个微束团，表明空间电荷效应在聚束过程中的作用得到了控制。,束流脉冲宽度随电子枪偏压的减小有明显增大趋势(391 V 86 V)（空间电荷效应）,2.11.2 尾场（WakeField）效应,对于高流强情况，当加速器的金属真空管道在几何尺寸上呈不连续光滑或由非理想导体组成时，束流通过后要在其后激励起电磁场（尾场），它反作用在束流上，扰动束流的运动，进而进一步扩大尾场，引起束流的不稳定性，称作集体不
28、稳定性。短程尾场：束团头部粒子产生的尾场，作用于同一束团后面的粒子，引起能量损失，在偏轴的情况下还有横向偏转作用；长程尾场：束团链中前面的束团激起的具有横向偏转作用的模，引起尾部束团随时间变化的偏转作用，尾场足够强时，引起束流崩溃效应（beam-breakup instability）（BBU）。,尾场势、尾场函数和阻抗,尾场势：是单位电荷尾场力对检验电荷的平均作用效果，它是激励束流与检验电荷的间距z的函数，同时也依赖于检验电荷的横向位置，其定义为尾场力沿轨道的积分：,在柱坐标系下，尾场势的一般表达式为：,Wm(z)为横向尾场函数，W m(z)为纵向尾场函数。,束流横向尺寸远小于真空管道尺寸时
29、，比较低阶的尾场占主导地位，一般可用W1代表横向尾场，W 0代表纵向尾场。,多极矩,斜多极矩,尾场函数的一些重要性质：如果 z 0，如果 z 0-，则有 一般有,阻抗阻抗是尾场函数在频域的对应，与尾场函数之间的关系为：,第一个点电荷损失的能量：,第二个点电荷获得的能量：,束流负载基本原理,总净获得能量=0，得,第一个点电荷“看”到的减速电压为它在腔中所产生电压的一半，,单束团纵向尾场效应,可以采用两个宏粒子模型模拟单束团尾场。,假设每个宏粒子的电荷量分别为Ne/2，二者距离为d，则单束团纵向尾场对头部粒子和尾部粒子的能量影响分别为,由此可以估计：平均束流能量损失（束流负载效应）；头部和尾部粒子
30、能量不同所带来的束流能散。,对于SLAC型的加速结构（2856MHz），如果束团长度为1mm，则每个cell的尾场函数大小为,SLAC linac长度3km，每个加速cell长度为3.5cm，每个束团电子个数为51010，则在加速器末端，单宏粒子模型每个粒子的能量损失：,双宏粒子模型每个粒子的能量损失：,平均能量损失：,若直线加速器末端束流中心能量为50GeV，则头尾粒子的能量偏离约为(2.5-1.1)/2=0.7 GeV，即1.4%。,为补偿平均束团能量损失，需要提供额外的高频功率。,对于尾场效应带来的能散增加，可使束团中心偏离加速电场波形的峰值位置，使头部和尾部粒子获取的能量略有不同，以减
31、小能散。,多束团纵向尾场效应,多束团动力学主要由加速模式的基模决定，,对于等梯度加速结构，加速梯度,其中Qb是束团电荷量，是衰减常数。W(s)为zs处的尾场函数。,为补偿多束团纵向尾场效应，最简单的方法是随着束团链进入加速结构，使加速场的幅度线性增加，束团之间的能量差别得到补偿。,采用双宏粒子模型，头部不受尾场作用，其解为,尾部宏粒子的运动方程可写成，,解得，,单束团横向尾场效应双宏粒子模型的解,对应于不同的初始束流偏轴（0mm，0.2mm，0.5mm，1mm），束流在直线加速器末尾荧光靶上的图像。（SLAC直线加速器）,抑制这种效应的方法被称为BNS阻尼。（Balakin,Novokhats
32、ky,and Smirnov）有两种方法可以提供BNS阻尼：一是使用radio frequency quadrupole，使束团头部和尾部看到的聚焦强度不同；二是调整束团的加速相位到,使得尾部粒子获得能量小于头部粒子获取的能量。由于聚焦强度反比于束流能量，因此尾部粒子受到比头部粒子更强的聚焦力作用。,但是采用这种方法会增大束流能散，由于单束团横向尾场效应反比于束流能量，可以在低能阶段采用BNS阻尼方法，而在高能段，通过调整加速相位，来减小束流能散。,多束团横向尾场效应,多束团横向尾场可引起BBU（beam break-up）效应，不同于单束团的BBU效应，其尾场函数主要取决于分路阻抗较大的一个
33、或几个谐波分量,抑制BBU效应的方法：控制准直安装精度；轨道校正。,色品（chromatic）效应,如果高流强束流在直线加速器的低能段具有较大的能散，则会在四极磁铁的聚焦过程中表现出色品效应。,由于四极磁铁聚焦强度反比于粒子能量，,因此不同能量的粒子所受到的聚焦力也有所不同，从而导致发射度的增长。,减小这种效应的办法是：优化加速过程，尽量减小束流能散；采用高梯度加速场，尽快提高束流能量。,2.11.4 色散效应,如果束流偏离四极磁铁中心，将会受到磁铁二极分量所带来的偏转作用，使得束流中心轨道围绕直线加速器的中心线振荡，,其中D为色散函数。,在直线加速器的低能段，能散相对较大，不同能量粒子的轨道
34、振荡将引起发射度的增长。,抑制手段：控制四极磁铁的安装准直误差；使用轨道校正。,2.12 能量回收型直线加速器（Energy Recovering Linac）,2.12.1 能量回收型直线加速器原理,电子储存环可高效率提供高流强束流，但面临两方面的限制：A）辐射阻尼和量子激发决定了6维相空间B）Touschek寿命决定了最大束流寿命,对于直线加速器来说，可提供小发射度、低能散、短束长的束流，但是平均流强（1mA量级）受到高频功率源的限制。ERL结合了储存环和直线加速器的优点。,Layout of the Cornell/Jefferson Labs ERL proposal for the production of the X-rays.,直线加速器提供的能量为57GeV，在产生X射线后，束流返回到直线加速器的入口，但是相位改变了180度，束流在再次经过直线加速器时被减速，能量以微波形式返回到加速腔，用于加速新的束团，这个过程被称作能量回收，整个系统的效率得到提高。ERL可提供具有小发射度、低能散（主要取决于电子枪）、短脉冲（sub-ps）的束流，效率接近储存环。,
