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1、1,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,向量及其线性运算,一、向量概念,四、利用坐标作向量的线性运算,五、向量的模、方向角与投影(P27),2,既有大小又有方向的量叫做向量.,可用有长度有方向的线段表示向量.,有向线段的长度表示向量的大小；有向线段的方向表示向量的方向.,一、向量的概念,3,只考虑向量的大小和方向,而不考虑向量的起点.这种与起点无关的向量叫做自由向量.,所以经过平行移动后能完全重合的向量是相等的.,本课程涉及的向量都是自由向量.,零向量的起点和终点重合,方向可看作是任意的.,4,零向量与任何向量都平行.,5,1.向量的加减法,向量相加的三角形法则:,二、向量的线性运算,6,
2、向量相加的平行四边形法则:,7,8,向量加法的运算规律,9,10,2.向量与数的乘法(数乘),11,向量与数的乘积的运算规律,12,平行四边形的对角线互相平分,例1,解,13,14,定理1,证,15,16,我们知道,一个定点,一个方向及单位长度可确定一条数轴.,由于单位向量既确定了方向,又确定了单位长度,P,x,点P 对应一个向量,定义该实数 x 为点 P 的坐标。,因此,由一个定点O 和一个单位向量 可确定数轴 ox.,下面定义数轴上任一点 P 的坐标,17,x、y、z 轴的正方向符合右手法则,三、空间直角坐标系,18,面,面,面,空间直角坐标系有三个坐标面,有八个卦限.,19,20,向量及
3、空间点的坐标,21,一些特殊点的坐标,22,四、利用坐标作向量的线性运算,23,24,例2,证,(利用该结论可以求任意两点所确定的向量的坐标),25,如图所示,这也是点M 的坐标.,例3,解,(P8的例3),26,作业:,P12 1,2,4,6,7,8,9,10.,27,1.向量的模和两点间的距离公式,代入得到向量模的坐标表示式:,五、向量的模、方向角、投影,28,为空间两点间的距离公式,29,例4,证,30,因为,例5,解,31,作业:,P12 1,2,4,5,6,7,8,9,10,12,14.,32,2、向量的方向角与方向余弦,类似定义,向量与数轴的夹角.,33,34,35,例6,解,36,例7,解,37,3.向量在坐标轴上的投影,过点 M 作垂直于 x 轴的平面,设该平面与 x 轴的交点为P,38,39,向量的投影的性质,40,例8,解,(P12例9),41,接数量积与向量积,42,作业:,P13 5,12,14,15,16,17,18,19.,43,P12 2,4,5,6,7,8,9,10,12,14.,作业:,
