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1、第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系,1.平面的基本性质平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础,即三个公理和公理3的三个推论.公理1:如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线上 都在这个平面内.公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是.,基础梳理,两点,所有的点,经过这个公共点的一条直线,公理3:经过不在同一条直线上的三点,.推论1:经过一条直线和这条直线外的一点,.推论2:经过两条相交直线,.推论3:经过两条平行直线,.,2.空间两条直线的位置关系,有且只有一个平面,有且只有一个平面,有且只有一个平面,有且只有一个平面,异面直线,在同一平面内,
2、有且只有一个,3.平行直线的公理及定理(1)公理4:平行于同一条直线的两条直线.(2)定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别 并且方向,那么这两个角相等.,4.异面直线的判定及所成的角(1)异面直线的判定过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内 的直线是异面直线.,互相平行,平行,相同,不经过该点,(3)异面直线垂直的定义若两条异面直线a,b所成的角是直角,则称异面直线a,b,记作.,(2)异面直线所成的角如果a,b是两条异面直线,那么经过空间任意一点O,作直线aa,bb,直线a和b所成的(或直角)叫做异面直线a,b所成的角.,锐角,互相垂直,ab,【例1】下列命题:空间不同三点确定一
3、个平面;有三个公共点的两个平面必重合;空间两两相交的三条直线确定一个平面;三角形是平面图形;平行四边形、梯形、四边形都是平面图形;垂直于同一直线的两直线平行;一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交;两组对边相等的四边形是平行四边形.其中正确的命题是.,典例分析,题型一 点、线、面的位置关系,分析 根据公理及其推论作判断.,解 由公理3知,不共线的三点才能确定一个平面,所以知命题、均错,中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时);对于,空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点,若为三个交点,则这三条直线共面,若只有一个交点,则可能确定一个平面或三个平面;正确;中平行四边
4、形和梯形由公理3的推论及公理1可得必为平面图形,而四边形有可能是空间四边形;对于,如图,在正方体ABCDABCD中,直线BBAB,BBBC,但AB与BC不平行,所以错;ABCD,BBAB=B,但BB与CD不相交,所以错;四边形ADBC中,AD=DB=BC=CA,但它不是平行四边形,所以也错.故只有正确.,学后反思 平面性质的三个公理及其推论,是论证线面关系的依据,在判断过程中要注意反例和图形的应用.,举一反三1.给出下列命题:如果平面与平面相交,那么它们只有有限个公共点;经过空间任意三点的平面有且只有一个;如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合为一个平面;不平行的两直线必相交.其
5、中正确命题的序号为.,解析:由公理2知,错;由公理3知,错;对;不平行的两直线可能异面.,答案：,题型二 证明三点共线【例2】如图，是正方体 的上底面 的中心，M是对角线 和截面 的交点.求证：、M、A三点共线.,分析 要证明、M、A三点共线，只需证明三点都在平面 和平面 的交线上.,学后反思 证明多点共线的方法：以公理2为依据，先找出两个平面的交线，再证明各个点都是这两个面的公共点，即在交线上，则多点共线.或者，先证明过其中两点的直线是这两个平面的交线，然后证明第三个点也在交线上，同理其他的点都在交线上，即多点共线.,证明=,平面，平面 平面,平面 平面=M，平面 M平面,M平面 又A平面,
6、A平面、M、A在两个平面 和平面 的交线上，由公理2可知、M、A三点共线.,举一反三2.已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD(四条线段首尾相接,且连接点不在同一平面内,所组成的空间图形叫空间四边形)各边AB、AD、CB、CD上的点,且直线EF和GH的延长线交于点P(如图).求证:点B、D、P在同一条直线上.,证明：由于直线EF和GH交于点P,P直线EF.又直线EF 平面ABD,P平面ABD.同理,P平面CBD.P在平面ABD与平面CBD的交线BD上,即B、D、P三点在同一条直线上.,题型三 证明点线共面,【例3】求证:两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.,分析 由题知，四条直线两两相
7、交且不共点，故有两种情况：一种是三条直线交于一点，另一种是任何三条直线都不共点，故分两种情况证明.,证明(1)如图,设直线a,b,c相交于点O,直线d和a,b,c分别相交于A,B,C三点,直线d和点O确定平面.由O平面,A平面,O直线a,A直线a,知直线a平面;同理b平面,c平面.故直线a,b,c,d共面于.,学后反思 证多线共面的方法：（1）以公理、推论为依据先证两直线共面，然后再由公理1证第三条也在这个平面内.同理其他直线都在这个平面内.（2）先由部分直线确定平面，再由其他直线确定平面,然后证明这些平面重合.,(2)如图,设直线a,b,c,d两两相交,且任何三线不共点,交点分别是M,N,P
8、,Q,R,G.由直线ab=M,知直线a和b确定平面.由ac=N,bc=Q,知点N、Q都在平面内,故c;同理可证d.所以直线a,b,c,d共面于.由(1)、(2)可知,两两相交且不共点的四条直线必在同一平面内.,举一反三3.在正方体 中,E是AB的中点,F是 的中点.求证:E、F、C四点共面.,证明：如图，连接,EF,.E是AB的中点,F是 的中点,EF EF 故E、F、C四点共面.,题型四证明三线共点,【例4】(14分)已知空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点,G、H分别是BC、CD上的点,且.求证:直线EG、FH、AC相交于同一点P.,分析 先证E、F、G、H四点共面，再证EG
9、、FH交于一点，然后证明这一点在AC上.,证明 E、F分别是AB、AD的中点,EFBD且EF=BD.3又,GHBD且GH=BD,EFGH且EFGH,.5四边形EFHG是梯形,其两腰所在直线必相交,设两腰EG、FH的延长线相交于一点P.7EG平面ABC,FH平面ACD,P平面ABC,P平面ACD.9又平面ABC平面ACD=AC,PAC.12故直线EG、FH、AC相交于同一点P.14,学后反思 证明三线共点的方法:首先证明其中的两条直线交于一点，然后证明第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线；由公理2可知，两个平面的公共点必在这两个平面的交线上，即三条直线交于一点.,举一反三4.已知正方体 中
10、，E、F分别为棱AB、的中点.求证：三条直线DA,CE,交于一点.,证明：如图，直线DA平面，直线 平面，显然直线DA与直线 不平行，设直线DA与直线 交于点M.同理，直线DA与直线CE都在平面AC内且不平行，设直线AD与直线CE相交于点M.又E，F为棱AB，的中点,易知MA=AD，MA=AD,所以M、M为直线AD上的同一点,因此，三条直线DA，CE，交于一点.,易错警示,【例】如图,过已知直线a外一点P,与直线a上的四个点A、B、C、D分别画四条直线.求证:这四条直线在同一平面内.,错解 P、A、B三点不共线,P、A、B共面,即PA、PB、AB共面.同理,PB、PC、BC共面,PC、PD、C
11、D共面.A、B、C、D均在直线a上,PA、PB、PC、PD四条直线在同一平面内.,错解分析 错解在证明了四条直线分别在三个平面(平面PAB、平面PBC、平面PCD)内后,用A、B、C、D均在a上,而认为三个平面重合在同一个平面上,这种方法是错误的.错误在于没有根据地用一条直线来保证三个平面重合.,正解 过直线a及点P作一平面,A、B、C、D均在a上,A、B、C、D均在内.直线PA、PB、PC、PD上各有两点在内,由公理1可知,直线PA、PB、PC、PD均在平面内,即四条直线共面.,考点演练,10.异面直线a、b所成的角为60，P为空间一点，求过P与a、b均成60角的直线的条数.,解析：先利用平
12、移把异面直线转化到一个平面上的相交直线，且夹角为60，交点为P，然后利用图形判断把直线进行旋转，可以得到这样的直线仅有3条.,11.如图，在空间四边形ABCD中，E、G分别是BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有 试判定EF,GH,BD的位置关系，并证明.,解析：EF，GH，BD交于一点.证明如下:,FHAC，FH=AC.又G，E分别为AB，BC的中点，GEAC，GE=AC，于是GEFH且GEFH，四边形EGHF是梯形.GH与EF的延长线必相交于一点P.则PGH,又GH 平面ABD，P平面ABD.同理可证P平面BCD，而平面ABD平面BCD=BD，PBD,直线EF、GH、BD交于一点.
13、,12.在空间四边形ABCD中，AD=BC=,E、F分别是AB、CD的中点，EF=1.求异面直线AD和BC所成的角，异面直线EF和BC所成的角.,解析：如图,取BD的中点M，连接EM,FM.E是AB的中点，EMAD,EM=AD=.F是CD的中点,MFBC,MF=BC=.在MEF中，EMMF,MFE=45.异面直线AD、BC所成的角为90,异面直线EF、BC所成的角为45.,第六节 几个三角恒等式,基础梳理,1.两角差的余弦公式为 cos(-)=cos cos+sin sin;两角和的余弦公式为cos(+)=cos cos-sin sin;两角差的正弦公式为sin(-)=sin cos-cos
14、sin;两角和的正弦公式为sin(+)=sin cos+cos sin.上述公式对任意的、都成立.,2.公式T(-)是,公式T(+)是，它们成立的条件是,3.二倍角公式在S(+)中，令=,可得到sin 2=2sin cos,简记为S2.在C(+)中，令=,可得到cos 2=cos2-sin2,简记为C2.在T(+)中，令=,可得到tan 2=2tan 1-tan2，简记为T2.,4.在C2中考虑sin2+cos2=1可将C2变形为cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2，它简记为C2.,5.半角公式在C2中,用 代替得,将公式变形可得,的推导方法是 与 两式相除，其公式为
15、,6.升降幂公式主要用于化简、求值和证明，其形式为：升幂公式：1+cos 2=2cos2;1-cos 2=2sin2.降幂公式：,7.派生公式(1)(sin cos)2=1sin 2;(2)1+cos=(3)1-cos=(4)tan+tan=tan(+)(1-tan tan);,典例分析,题型一 sin x+cos x,sin x-cos x,sin xcos x三者之间的转换问题【例1】已知-x0,sin x+cos x=求sin x-cos x的值.分析 由（sin x-cos x）2=(sin x+cos x)2-4sin xcos x知,只需求出sin xcos x即可.,解 方法一：
16、由sin x+cos x=平方,得sin2x+2sin xcos x+cos2x=,即2sin xcos x=(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=又-x0,sin x0,cos x0,sin x-cos x0,sin x-cos x=,方法二：联立方程 sin x+cos x=,sin2x+cos2x=1.由得sin x=-cos x,将其代入,整理,得25cos2x-5cos x-12=0,学后反思 sin xcos x,sin xcos x之间的关系为(sin xcos x)2=12sin xcos x,（sin x+cos x）2+(sin x-cos x)2=2，
17、三者知其一，可求其二，但须注意角x的范围对结果的影响.,举一反三1.（2009梅州月考）已知,求sin 及解析:由题设条件，应用两角差的正弦公式,得即sin-cos=.由题设条件，应用二倍角余弦公式,得,故cos+sin=.由和得sin=,cos=-,因此tan=-,由两角和的正切公式,得,题型二 三角函数公式的灵活应用【例2】化简下列各式.,分析（1）先切化弦，然后逆用差角公式和倍角公式;（2）注意1sin,1cos 形式的转化.,解(1),(2),sin 4+cos 40,cos 40,原式=-2(sin 4+cos 4)-2cos 4=-2sin 4-4cos 4.,学后反思 对于化简的
18、题目要侧重于三角公式运用中的各种思想，对于一些固定形式套用相应的公式.,举一反三,2.化简（cos+sin）（cos-sin）（1+tantan）.,解析：原式=cos（1+tan tan）=cos+sin tan=cos+2sin cos=cos+=cos+1-cos=1.,题型三 三角恒等变换中角的拆、拼【例3】已知 且分析 抓住条件中的角“”、“”与结论中的角 的关系：,解,学后反思 掌握常用的拆角、拼角关系，如：,举一反三3.已知,且02.(1)求 的值；(2)求.,解析,(2)由0,得0-,cos(-)=由=-(-),得cos=cos-(-)=cos cos(-)+sin sin(-
19、),题型四 三角恒等式证明【例4】(14分)已知tan(+)=2tan.求证：3sin=sin(+2).,分析 观察条件与结论间的差异可知:(1)函数名的差异是正弦与正切，可考虑切化弦法化异为同.(2)角的差异是+,;,+2.通过观察可得已知角与未知角之间关系为：(+)-=;(+)+=+2,由此可化异为同.证明 由已知tan(+)=2tan,可得sin(+)cos=2cos(+)sin 4而sin(+2)=sin(+)+=sin(+)cos+cos(+)sin=2cos(+)sin+cos(+)sin=3cos(+)sin,.8,又sin=sin(+)-=sin(+)cos-cos(+)sin
20、=2cos(+)sin-cos(+)sin=cos(+)sin.12故sin(+2)=3sin 14,学后反思分析条件等式与论证式中角和函数名称的差异，从而进行配角，再利用同角三角函数关系式消除函数名称的差异.对于三角恒等式的证明，实质也是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.,举一反三4.已知A、B为锐角，求证：的充要条件是（1+tan A）(1+tan B)=2.,证明：（充分性）(1+tan A)(1+tan B)=2,1+(tan A+tan B)+tan Atan B=2,且tan Atan B1,tan(A+B)（1-tan Atan B）=1-tan Atan
21、 B,tan(A+B)=1.0A,0B,0A+B,A+B=(必要性)A+B=,tan(A+B)=tan，即,整理得（1+tan A）(1+tan B)=2.综上，若A、B为锐角，则A+B=的充要条件是(1+tan A)（1+tan B）=2.,易错警示,【例】若sin=,sin=,且、为锐角，求+的值.,错解 因为为锐角,所以cos=.又因为为锐角，所以cos=,且sin(+)=sin cos+cos sin=.由于090,090,则0+180,所以+=45或135,错解分析 上述解法欠严密，仅由sin(+)=,0+180,而得到+=45或135是正确的，但题设中sin=12,sin=.使得0
22、+60,故上述结论是错误的.实质上本题是由于方法不当导致运算量加大或忽视角的范围限制而致错.我们若取+的余弦则易求得cos(+)=,又由于0+,故+=.这样就避免了上述角的范围的探求.因此在求角时一定要结合条件选择角的合适的三角函数名称，往往能化繁为简.,正解 为锐角，cos=,又为锐角，cos=.cos(+)=cos cos-sin sin=.又090,090,0+180,sin=,sin=,0+60,+=.,考点演练,10.(2010南通模拟)已知=1,tan(-)=-,求tan(-2)的值.,解析:由,tan(-2)=tan(-)-=,11.求证.证明：方法一：.,原式成立.,方法二：原式成立.方法三：原式成立.,12.（2010南京模拟）已知sin-2cos=0.（1）求tan x的值；（2）求 的值.,解析：(1)由sin-2cos=0，得tan=2,故tan=.（2）原式,
