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1、德莫根公式,记号 概率论 集合论 样本空间,必然事件 空间 不可能事件 空集 样本点 元素 AB A发生必然导致B发生 A是B的子集 AB=A与B互不相容 A与B无相同元素 AB A与B至少有一发生 A与B的并集 AB A与B同时发生 A与B的交集 AB A发生且B不发生 A与B的差集 A不发生、对立事件 A的余集,基本事件互不相容，基本事件之并=,注意点(1),注意点(2),若 A1，A2，An 有 1.Ai互不相容；2.A1A2 An=则称 A1，A2，An 为的一组分割.,样本空间的分割,非负性公理：P(A)0;正则性公理：P()=1;可列可加性公理：若A1,A2,An 互不相容，则,概
2、率的公理化定义,从 n 个元素中任取 r 个，求取法数.排列讲次序，组合不讲次序.全排列：Pn=n!0!=1.重复排列：nr选排列：,1.2.2 排列与组合公式,组 合,组合：,加法原理,完成某件事情有 n 类途径，在第一类途径中有m1种方法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+mn种不同的方法.,乘法原理,完成某件事情需先后分成 n 个步骤，做第一步有m1种方法，第二步有 m2 种方法，依次类推，第 n 步有mn种方法，则完成这件事共有 m1m2mn种不同的方法.,n 个人围一圆桌坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率.,解：考虑甲先坐
3、好，则乙有n-1个位置可坐，而“甲乙相邻”只有两种情况，所以,P(A)=2/(n-1)。,例,n个人坐成一排，求甲、乙两人相邻而坐的概率.(注意：请与上一题作比较),解：1)先考虑样本空间的样本点数：甲先坐、乙后坐，则共有n(n1)种可能.2)甲在两端，则乙与甲相邻共有2种可能.3)甲在中间(n2)个位置上，则乙左右都可坐，所以共有2(n2)种可能。由此得所求概率为：,例,AB=，P(A)=0.6，P(AB)=0.8，求 B 的对立事件的概率。,解：由 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B),例,得 P(B)=P(AB)P(A)=0.80.6=0.2，,所以 P()=10
4、.2=0.8.,例,解：因为 P(AB)=P(A)P(AB)，所以先求 P(AB),由加法公式得 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB),=0.4+0.30.6=0.1,所以 P(AB)=P(A)P(AB)=0.3,P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.6，求 P(AB).,例,解：因为A、B、C 都不出现的概率为,=1P(A)P(B)P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ABC)=11/41/41/4+0+1/6+1/60=15/12=7/12,P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6,求 A、B、C 都不出现的概率.,口
5、袋中有n1个黑球、1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球.求第k 次取到黑球的概率.,利用对立事件,解：记A为“第k 次取到黑球”，则A的对立事件为,“第k 次取到白球”.,而“第k 次取到白球”意味着：,“第1次第k1次取到黑球，而第k 次取到白球”,例,解：用对立事件进行计算,记 A=“至少出现一次6点”，,则所求概率为,一颗骰子掷4次，求至少出现一次6点的概率.,例,解：记 B=“至少出现一次双6点”，,则所求概率为,两颗骰子掷 24 次，求至少出现一次 双6点 的概率.,从 1,2,9中返回取n次，求取出的n个数的乘积能被10整除的概率.,利用对立事件和加法公式,解：因为
6、“乘积能被10整除”意味着：,“取到过5”(记为A)且“取到过偶数”(记为B)。,因此所求概率为 P(AB).,利用对立事件公式、德莫根公式和加法公式,甲掷硬币n+1次，乙掷n次.求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.,利用对称性,解：记甲正=甲掷出的正面数，乙正=乙掷出的正面数.甲反=甲掷出的反面数，乙反=乙掷出的反面数.,因为 P(甲正乙正)=P(n+1-甲反 n-乙反),=P(甲反-1乙反),=P(甲反乙反),=1P(甲正乙正)(对称性),所以 2P(甲正乙正)=1,由此得 P(甲正乙正)=1/2,1)缩减样本空间：将 缩减为B=B.2)用定义：P(A|B)=P(AB)/P(B).,
7、条件概率 P(A|B)的计算,10个产品中有7个正品、3个次品，从中 不放回地抽取两个，已知第一个取到次 品，求第二个又取到次品的概率.,P(B|A)=P(AB)/P(A)=(1/15)/(3/10)=2/9,解：设 A=第一个取到次品，B=第二个取到次品，,例,条件概率 P(A|B)满足概率的三条公理.由此得：P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)P(AB|C)；若 A 与 B 互不相容，则P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)；P(|B)=1 P(A|B).,条件概率是概率,P(|B)=1;P(B|)1;P(A|)=P(A);P(A|A)=1.,注 意 点,乘法公式;全概率公式；贝
8、叶斯公式.,条件概率的三大公式,性质1.4.2(1)若 P(B)0，则 P(AB)=P(B)P(A|B)；若 P(A)0，则 P(AB)=P(A)P(B|A).(2)若 P(A1A2 An1)0，则 P(A1A2 An)=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2 An1),乘法公式,乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率.一批零件共有100个，其中10个不合格品。从中一个一个不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率.解：记 Ai=“第i 次取出的是不合格品”Bi=“第i 次取出的是合格品”,目的求 P(B1B2A3)用乘法公式 P(B1B2A3)=P(B1)P(B2|B1)P(A3|B1
9、B2)=,乘法公式的应用,性质1.4.3 若事件B1,B2,Bn是样本空间的一组分割，且 P(Bi)0，则,全概率公式,全概率公式用于求复杂事件的概率.使用全概率公式关键在于寻找另一组事件 来“分割”样本空间.全概率公式最简单的形式：,注意点(1),若事件B1,B2,Bn是互不相容的，且 P(Bi)0，,注意点(2),则由 可得,设10 件产品中有 3 件不合格品，从中 不放回地取两次，每次一件，求取出 的第二件为不合格品的概率。,解：设 A=“第一次取得不合格品”，B=“第二次取得不合格品”.由全概率公式得：,=(3/10)(2/9)+(7/10)(3/9),=3/10,例,n 张彩票中有一
10、张中奖，从中不返回地摸 取，记 Ai为“第 i 次摸到中奖券”，则(1)P(A1)=1/n.(2)可用全概率公式计算得 P(A2)=1/n.(3)可用归纳法计算得 P(Ai)=1/n,i=1,2,n.,摸 彩 模 型,n 张彩票中有 k 张中奖，从中不返回地摸取，记 Ai 为“第 i 次摸到奖券”，则 P(Ai)=k/n,i=1,2,n结论：不论先后，中彩机会是一样的.,摸 彩 模 型(续),甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、m只黑球.从甲口袋任取一球放入乙口袋，然后 从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是白 球的概率.概率为：,全概率公式的例题,乘法公式是求“几个事件同时发生”
11、的概率；全概率公式是求“最后结果”的概率；贝叶斯公式是已知“最后结果”，求“原因”的概率.,贝叶斯公式,若事件B1,B2,Bn是样本空间的一组分割，且P(A)0,P(Bi)0，则,贝叶斯（Bayes）公式,1)B1,B2,.,Bn可以看作是导致A发生的原因;2)P(Bj|A)是在事件A发生的条件下,某个原因Bj 发生的概率,称为“后验概率”;3)Bayes公式又称为“后验概率公式”或“逆概公式”;4)称P(Bj)为“先验概率”.,注 意 点,例 某商品由三个厂家供应，其供应量为：甲厂家是乙厂家的2倍；乙、丙两厂相等。各厂产品的次品率为2%,2%,4%.若从市场上随机抽取一件此种商品，发现是次品
12、，求它是甲厂生产的概率?,解：用1、2、3分别记甲、乙、丙厂，设 Ai=“取到第i 个工厂的产品”，B=“取到次品”，由题意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25；P(B|A1)=P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04.,=0.4,由Bayes公式得:,事件的独立性 直观说法：对于两事件，若其中任何一个 事件的发生不影响另一个事件的发生，则这两事件是独立的.P(A|B)=P(A)P(AB)/P(B)=P(A)P(AB)=P(A)P(B),独立性,定义 若事件 A 与 B 满足：P(AB)=P(A)P(B),则称A与B相互独立，简称A与B独立.结论 A、B 为两个事
13、件，若 P(A)0,则 A 与 B 独立等价于 P(B|A)=P(B).性质 若事件A与B独立，则 A 与 独立、与 B独立、与 独立.,两个事件的独立性,实际应用中，往往根据经验来判断两个事件 的独立性：例如 返回抽样、甲乙两人分别工作、重复试验等.,事件独立性的判断,多个事件的相互独立性,对于A、B、C三个事件，称满足：P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)为A、B、C 两两独立.称满足：P(ABC)=P(A)P(B)P(C)为A、B、C三三独立.,定义1.5.3 若事件 A1,A2,An满足：两两独立、三三独立、n n 独立 则称A1,A
14、2,An 相互独立.,若A、B、C 相互独立，则AB 与 C 独立,AB 与 C 独立,AB 与 C 独立.,一 些 结 论,例 两射手独立地向同一目标射击一次，其 命中率分别为 0.9 和 0.8，求目标被击中的概率.,解:设 A=“甲中”,B=“乙中”,C=“目标被击中”,所以,解法i)P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B)=0.9+0.80.90.8=0.98.,解法ii)用对立事件公式 P(C)=P(AB)=1(1 0.9)(1 0.8)=1 0.02=0.98.,例 甲、乙两人独立地对同一目标射击 一次，其命中率分别为 0.6 和 0.7，现已知 目标被击中，求它是
15、甲击中的概率.。,解:设 A=“甲中”,B=“乙中”,C=“目标被击中”,所以,P(A|C)=P(AC)/P(C)=P(A)/P(A)+P(B)P(A)P(B)=0.6/0.88=15/22,例 两射手轮流对同一目标进行射击，甲先射，谁先击中则得胜。每次射击中，甲、乙命中目标 的概率分别为 和，求甲得胜的概率。,解:,因为P(甲胜)=+(1)(1)P(甲胜),所以 P(甲胜)=/1(1)(1).,例 口袋中有3个白球、5个黑球，甲、乙 两人轮流从口袋中有返回地取一球，甲先取.谁先取到白球为胜，求甲胜的概率.,解：P(甲胜)=3/8+(5/8)(5/8)P(甲胜),所以 P(甲胜)=8/13.,
16、若试验E1的任一结果与试验E2的任一 结果都是相互独立的事件，则称这两个 试验相互独立，或称独立试验.,试验的独立性,伯努里试验：若某种试验只有两个结果(成功、失败；黑球、白球；正面、反面)，则称这个试验为伯努里试验.在伯努里试验中，一般记“成功”的概率为p.n 重伯努里试验：n次独立重复的伯努里试验.,n 重伯努里试验,在n 重伯努里试验中，记成功的次数为X.X 的可能取值为：0，1，n.X 取值为 k 的概率为：,n 重伯努里试验成功的次数,若随机变量 X 可能取值的个数为有限个或 可列个，则称 X 为离散随机变量.若随机变量 X 的可能取值充满某个区间 a,b，则称 X 为连续随机变量.
17、,两类随机变量,定义 设X为一个随机变量，对任意实数 x，称 F(x)=P(X x)为 X 的分布函数.基本性质：(1)F(x)单调不降；(2)有界：0F(x)1，F()=0，F(+)=1；(3)右连续.,随机变量的分布函数,分布列的基本性质,(1)pi 0，(2),(正则性),(非负性),注 意 点(1),求离散随机变量的分布列应注意：,(1)确定随机变量的所有可能取值;,(2)计算每个取值点的概率.,注 意 点(2),对离散随机变量的分布函数应注意：,(1)F(x)是递增的阶梯函数;,(2)其间断点均为右连续的;,(3)其间断点即为X的可能取值点;,(4)其间断点的跳跃高度是对应的概率值.
18、,例,已知 X 的分布列如下：,X 0 1 2,P 1/3 1/6 1/2,求 X 的分布函数.,解：,X 0 1 2,P 0.4 0.4 0.2,解：,例,已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布列.,定义,设随机变量X 的分布函数为F(x),则称 X 为连续随机变量，,若存在非负可积函数 p(x)，满足：,称 p(x)为概率密度函数，简称密度函数.,密度函数的基本性质,满足(1)(2)的函数都可以看成某个连续随机变量的概率密度函数.,(非负性),(正则性),注意点(1),(1),(2)F(x)是(,+)上的连续函数;(3)P(X=x)=F(x)F(x0)=0;,(4)PaXb=PaXb=P
19、aXb=PaXb=F(b)F(a).,注意点(2),(5)当F(x)在x点可导时,p(x)=,当F(x)在x点不可导时,可令p(x)=0.,连续型,密度函数 X p(x),2.,4.P(X=a)=0,离散型,分布列:pn=P(X=xn),2.F(x)=,3.F(a+0)=F(a);P(aXb)=F(b)F(a).,4.点点计较,5.F(x)为阶梯函数。,5.F(x)为连续函数。,F(a0)=F(a).,F(a0)F(a).,例,设 X,求(1)常数 k.(2)F(x).,(1)k=3.,(2),解：,例,设 X,求 F(x).,解：,设X与Y同分布，X的密度为,已知事件 A=X a 和 B=Y
20、 a 独立，,解:因为 P(A)=P(B),P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B),从中解得,且 P(AB)=3/4,求常数 a.,且由A、B 独立，得,=2P(A)P(A)2=3/4,从中解得:P(A)=1/2,由此得 0a 2,因此 1/2=P(A)=P(X a),例,数学期望的定义,定义 设离散随机变量X的分布列为P(X=xn)=pn,n=1,2,.若级数,绝对收敛，则称该级数为X 的,数学期望，记为,连续随机变量的数学期望,定义 设连续随机变量X的密度函数为p(x),若积分,绝对收敛，则称该积分为X 的,数学期望，记为,例,则,E(X)=,10.2+00.1+10.4+20.3
21、=0.8.,X 1 0 1 2,P 0.2 0.1 0.4 0.3,数学期望简称为期望.数学期望又称为均值.数学期望是一种加权平均.,注 意 点,数学期望的性质,定理 设 Y=g(X)是随机变量X的函数，若 E(g(X)存在，则,例 设随机变量 X 的概率分布为,求 E(X2+2).,=(02+2)1/2+(12+2)1/4+(22+2)1/4,=1+3/4+6/4=13/4,解:E(X2+2),X 0 1 2,P 1/2 1/4 1/4,数学期望的性质,(1)E(c)=c,(2)E(aX)=aE(X),(3)E(g1(X)+g2(X)=E(g1(X)+E(g2(X),例,设 X,求下列 X
22、的函数的数学期望.,(1)2X1,(2)(X 2)2,解:(1)E(2X 1)=1/3,(2)E(X 2)2=11/6.,随机变量的方差与标准差,数学期望反映了X 取值的中心.方差反映了X 取值的离散程度.,方差与标准差的定义,定义 若 E(XE(X)2 存在，则称 E(XE(X)2 为 X 的方差，记为,Var(X)=D(X)=E(XE(X)2,(2)称,注 意 点,X=(X)=,(1)方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度.方差越大,则随机变量的取值越分散.,为X 的标准差.,标准差的量纲与随机变量的量纲相同.,方差的性质,(1)Var(c)=0.,(2)Var(aX+b)=a2 Var(
23、X).,(3)Var(X)=E(X2)E(X)2.,例 设 X,求 E(X),Var(X).,解:(1)E(X)=,=1,(2)E(X2)=,=7/6,所以,Var(X)=E(X2)E(X)2,=7/6 1=1/6,随机变量的标准化,设 Var(X)0,令,则有 E(Y)=0,Var(Y)=1.,称 Y 为 X 的标准化.,切比雪夫不等式,设随机变量X的方差存在(这时均值也存在),则 对任意正数，有下面不等式成立,例设 X,证明,证明:,E(X)=,=n+1,E(X2)=,=(n+1)(n+2),所以,Var(X)=E(X2)(EX)2=n+1,(这里,=n+1),由此得,Var(X)=0,P
24、(X=a)=1,常用离散分布,二项分布 记为 X b(n,p).X为n重伯努里试验中“成功”的次数,当n=1时，称 b(1,p)为 0-1分布.,例 设X b(2,p)，Y b(4,p)，已知 P(X1)=8/9，求 P(Y1).,解:由 P(X1)=8/9，知 P(X=0)=1/9.,由此得：P(Y1)=1 P(Y=0),所以 1/9=P(X=0)=(1p)2，,从而解得:p=2/3.,=1-(1p)4=80/81.,若随机变量 X 的概率分布为,则称 X 服从参数为 的泊松分布,记为 X P().,泊松分布,泊松定理,定理,(二项分布的泊松近似),在n重伯努里试验中，记 pn 为一次试验中
25、成功的概率.,若 npn，则,记为 X h(n,N,M).,超几何分布对应于不返回抽样模型：,N 个产品中有 M 个不合格品，,从中抽取n个，不合格品的个数为X.,超几何分布,记为 X Ge(p),X 为独立重复的伯努里试验中，“首次成功”时的试验次数.,几何分布具有无记忆性，即：,P(X m+n|X m)=P(X n),几何分布,常用离散分布的数学期望,几何分布Ge(p)的数学期望=1/p,0-1 分布的数学期望=p,二项分布 b(n,p)的数学期望=np,泊松分布 P()的数学期望=,常用离散分布的方差,0-1 分布的方差=p(1p),二项分布 b(n,p)的方差=np(1p),泊松分布
26、P()的方差=,几何分布Ge(p)的方差=(1p)/p2,常用连续分布,正态分布、均匀分布、指数分布,记为X N(,2),其中 0，是任意实数.,是位置参数.,是尺度参数.,正态分布,y,x,O,正态分布的性质,(1)p(x)关于 是对称的.,p(x),x,0,在 点 p(x)取得最大值.,(2)若 固定,改变,(3)若 固定,改变,大,p(x)左右移动,形状保持不变.,越大曲线越平坦;,越小曲线越陡峭.,p(x),x,0,x,x,标准正态分布N(0,1),密度函数记为(x),分布函数记为(x).,(x)的计算,(1)x 0 时,查标准正态分布函数表.,(2)x 0时,用,若 X N(0,1)
27、,则(1)P(X a)=(a);(2)P(Xa)=1(a);(3)P(aXb)=(b)(a);(4)若a 0,则 P(|X|a)=P(aXa)=(a)(a)=(a)1(a)=2(a)1,例 设 X N(0,1),求 P(X1.96),P(|X|1.96),=1(1.96),=1(1(1.96),=0.975(查表得),=2(1.96)1,=0.95,=(1.96),解:P(X1.96),P(|X|1.96),=2 0.9751,设 X N(0,1),P(X b)=0.9515,P(X a)=0.04947,求 a,b.,解:(b)=0.9515 1/2,所以 b 0,反查表得:(1.66)=0
28、.9515,故 b=1.66,而(a)=0.0495 1/2,所以 a 0,(a)=0.9505,反查表得:(1.65)=0.9505,故 a=1.65,例,一般正态分布的标准化,定理 设 X N(,2),则 Y N(0,1).,推论:,若 X N(,2),则,若 X N(,2),则 P(Xa)=,设 X N(10,4),求 P(10X13),P(|X10|2).,解:P(10X13)=(1.5)(0),=0.9332 0.5,P(|X10|2)=,P(8X12),=2(1)1,=0.6826,=0.4332,例,设 X N(,2),P(X 5)=0.045,P(X 3)=0.618,求 及.
29、,例,=1.76=4,解:,正态分布的 3 原则,设 X N(,2),则,P(|X|)=0.6828.,P(|X|2)=0.9545.,P(|X|3)=0.9973.,记为X U(a,b),均匀分布,X U(2,5).现在对 X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率.,解：,记 A=X 3,则 P(A)=P(X 3)=2/3,设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数,则 Y b(3,2/3)，所求概率为,P(Y2)=,P(Y=2)+P(Y=3),=20/27,例,指数分布,记为 X Exp(),其中 0.,特别：指数分布具有无忆性，即：,P(X s+t|X s)=P(X t
30、),常用连续分布的数学期望,均匀分布 U(a,b):E(X)=(a+b)/2,指数分布 Exp():E(X)=1/,正态分布 N(,2):E(X)=,常用连续分布的方差,均匀分布 U(a,b)的方差=(b a)2/12,指数分布 Exp()的方差=1/2,正态分布 N(,2)的方差=2,例 已知随机变量 X 服从二项分布，且 E(X)=2.4,Var(X)=1.44,则参数 n,p 的值为多少？,例 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标 的次数,每 次射中目标的概率为0.4,则 E(X2)的值为多少？,解：从 2.4=np,1.44=np(1p)中解得,解：因为 E(X)=np=4,Va
31、r(X)=2.4,所以,n=6,p=0.4.,E(X2)=Var(X)+(E(X)2=2.4+16=18.4,当 X 为离散随机变量时，Y=g(X)为离散随机变量.,将g(xi)一一列出,再将相等的值合并即可.,离散随机变量函数的分布,连续随机变量函数的分布：分布函数法,正态变量的线性不变性,定理 设 X N(,2)，则当a 0 时，Y=aX+b N(a+b,a22).,由此得：若 X N(,2)，则 Y=(X)/N(0,1).,k 阶原点矩和中心矩,k 阶原点矩：k=E(Xk)，k=1,2,.,注意:1=E(X).,k 阶中心矩：k=EXE(X)k，k=1,2,.,注意:2=Var(X).,
32、定义,变异系数,定义,为 X 的变异系数.,作用：,称,CV 是无量纲的量,用于比较量纲不同的两个随机变量的波动大小.,定义,联合分布函数,F(x,y)=P(X x,Y y),为(X,Y)的联合分布函数.,(以下仅讨论两维随机变量),任对实数 x 和 y,称,注意：,F(x,y)为(X,Y)落在点(x,y)的左下区域的概率.,X1,X2,x1,x2,(x1,x2),联合分布函数的基本性质,(1)F(x,y)关于 x 和 y 分别单调增.,(2)0 F(x,y)1，且,F(,y)=F(x,)=0，,F(+,+)=1.,(3)F(x,y)关于 x 和 y 分别右连续.,(4)当ab,cd 时，有,
33、F(b,d)F(b,c)F(a,d)+F(a,c)0.,注意：上式左边=P(aXb,cY d).,(单调性),(有界性),(右连续性),(非负性),二维离散随机变量,联合分布列,若(X,Y)的可能取值为有限对、或可列对，则称(X,Y)为二维离散随机变量.,二维离散分布的联合分布列,称,pij=P(X=xi,Y=yj)，i,j=1,2,.,为(X,Y)的联合分布列，,其表格形式如下:,Y,X,y1 y2 yj,x1x2xi,p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pi j,联合分布列的基本性质,(1)pij 0,i,j=1,2,(2)pij=1.,(非负性),(正则性),
34、确定联合分布列的方法,(1)确定随机变量(X,Y)的所有取值数对.,(2)计算取每个数值对的概率.,(3)列出表格.,例 设随机变量 Y N(0,1),解:(X1,X2)的可能取值数对及相应的概率如下：,P(X1=0,X2=0)=P(|Y|1,|Y|2),=P(|Y|2),=2 2(2)=0.0455,P(X1=0,X2=1)=P(|Y|1,|Y|2),=P(1|Y|2),=2(2)(1),=0.2719,P(X1=1,X2=0)=P(|Y|1,|Y|2)=0,P(X1=1,X2=1)=P(|Y|1,|Y|2),=P(|Y|1),=0.6826,求,的联合分布列.,列表为：,X1 0 1,X2
35、 0 1,0.0455 0.2719 0 0.6826,设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 F(x,y)，若存在非负可积函数 p(x,y)，使得,联合密度函数,则称(X,Y)为二维连续型随机变量。,称p(x,y)为联合密度函数。,联合密度函数的基本性质,(1)p(x,y)0.(非负性),(2),注意：,(正则性),二维均匀分布,若二维连续随机变量(X,Y)的联合密度为：,则称(X,Y)服从 D 上的均匀分布，,记为(X,Y)U(D).,其中SD为D的面积.,二维正态分布,若二维连续随机变量(X,Y)的联合密度为：,则称(X,Y)服从二维正态分布，,记为(X,Y)N().,例,若(X,Y),试
36、求常数 A.,解:,所以,A=6,=A/6,例,若(X,Y),试求 P X 2,Y 1.,解:P X2,Y1,2,1,x2,y1,例,若(X,Y),试求 P(X,Y)D,其中D为 2x+3y6.,3,2,2x+3y=6,解:,边缘分布与随机变量的独立性,问题：已知二维随机变量(X,Y)的分布，,如何求出 X 和 Y 各自的分布？,边缘分布函数,巳知(X,Y)的联合分布函数为 F(x,y)，,则,Y FY(y)=F(+,y).,X FX(x)=F(x,+),边缘分布列,巳知(X,Y)的联合分布列为 pij，,则,X 的分布列为：,Y 的分布列为：,X,Y,边缘密度函数,巳知(X,Y)的联合密度函
37、数为 p(x,y)，,则,X 的密度函数为：,Y 的密度函数为：,由联合分布可以求出边际分布.但由边际分布一般无法求出联合分布.所以联合分布包含更多的信息.,注 意 点(1),二维正态分布的边缘分布是一维正态：若(X,Y)N()，,注 意 点(2),则 X N()，,Y N().,二维均匀分布的边缘分布不一定是一维均匀分布.,例 设(X,Y)服从区域 D=(x,y),x2+y2 1 上的均匀分布，求X 的边际密度p(x).,解:由题意得,-1,1,当|x|1时，p(x,y)=0，所以 p(x)=0,当|x|1时,不是均匀分布,例 设二维随机变量(X,Y)的密度函数为,求概率PX+Y1.,解:,
38、PX+Y1=,y=x,x+y=1,1/2,若满足以下之一:i)F(x,y)=FX(x)FY(y)ii)pij=pipj iii)p(x,y)=pX(x)pY(y)则称 X 与Y 是独立的，,随机变量间的独立性,(1)X 与Y是独立的其本质是：,注 意 点,任对实数a,b,c,d，有,(2)X 与Y 是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.,例,(X,Y)的联合分布列为:,问 X与Y 是否独立？,解:边际分布列分别为:,X 0 1P 0.7 0.3,Y 0 1P 0.5 0.5,因为,所以不独立,例,已知(X,Y)的联合密度为,问 X 与Y 是否独立？,所以X 与Y 独立。,注意：p(x,y)
39、可分离变量.,解:边际分布密度分别为:,注 意 点(1),(1)(X,Y)服从矩形上的均匀分布，则X与Y 独立.,(2)(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，则 X与Y 不独立.见前面例子,(3)联合密度 p(x,y)的表达式中，若 x 的取值与 y 的 取值有关系，则 X与Y 不独立.,注 意 点(2),(4)若联合密度 p(x,y)可分离变量，即 p(x,y)=g(x)h(y)则 X与Y 独立。,(5)若(X,Y)服从二元正态 N()则 X与Y 独立的充要条件是=0.,二项分布的可加性,若 X b(n1,p)，Y b(n2,p)，,注意：若 Xi b(1,p)，且独立，则 Z=X1+X2+Xn
40、 b(n,p).,且独立，,则 Z=X+Y b(n1+n2,p).,泊松分布的可加性,若 X P(1)，Y P(2)，,注意：X Y 不服从泊松分布.,且独立，,则 Z=X+Y P(1+2).,正态分布的可加性,若 X N()，Y N()，,注意：X Y 不服从 N().,且独立，,则 Z=X Y N().,X Y N().,独立正态变量的线性组合仍为正态变量.(见下),独立正态变量的线性组合仍为正态变量,Xi N(i,i2),i=1,2,.n.且 Xi 间相互独立,实数 a1,a2,.,an 不全为零,则,2 分布的可加性,若 X 2(n1)，Y 2(n2)，,注意：(1)X Y 不服从 2
41、 分布.,且独立，,则 Z=X+Y 2(n1+n2).,(2)若 Xi N(0,1)，且独立，则 Z=,2(n).,多维随机变量函数的数学期望,定理 设(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y)，则,E(Z)=Eg(X,Y)=,数学期望与方差的运算性质,1.E(X+Y)=E(X)+E(Y),2.当X与Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y),讨论 X+Y 的方差,1.Var(XY)=Var(X)+Var(Y)2EXE(X)YE(Y),3.当X与Y独立时，EXE(X)YE(Y)=0.,4.当X与Y独立时，Var(X Y)=Var(X)+Var(Y).,2.EXE(X)YE(Y)=E(XY)E(X)
42、E(Y),注意：以上命题反之不成立.,协方差,定义 称 Cov(X,Y)=EXE(X)YE(Y),为 X 与 Y 的协方差.,协方差的性质,(4)Cov(X,Y)=Cov(Y,X).,(1)Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y).,(2)若 X 与 Y 独立，则 Cov(X,Y)=0.,(6)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y).,(3)Var(XY)=Var(X)+Var(Y)2 Cov(X,Y),(5)Cov(X,a)=0.,(7)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z).,解：记“Xi=1”=“第 i 个人拿对自己的礼物”“Xi=0”=“第 i 个人未拿对自己
43、的礼物”,配对模型的数学期望和方差,n 个人、n 件礼物，任意取.X 为拿对自已礼物的人数，求 E(X),Var(X),则,因为 E(Xi)=1/n,所以 E(X)=1.,又因为,所以 E(XiXj)=1/n(n1),XiXj,P,0 1,11/n(n1)1/n(n1),由此得,又因为,所以先计算 E(XiXj),XiXj的分布列为,所以,相关系数,定义3.4.2 称 Corr(X,Y)=,为 X 与 Y 的相关系数.,若记,注 意 点,则,相关系数的性质(1),(1)施瓦茨不等式,Cov(X,Y)2 Var(X)Var(Y).,相关系数的性质(2),(2)1 Corr(X,Y)1.,(3)C
44、orr(X,Y)=1,X 与 Y 几乎处处有线性关系。,P(Y=aX+b)=1,Corr(X,Y)的大小反映了X与Y之间的线性关系：,注 意 点,Corr(X,Y)接近于1，X 与 Y 间 正相关.,Corr(X,Y)接近于 1，X 与 Y 间 负相关.,Corr(X,Y)接近于 0，X 与 Y 间 不相关.,没有线性关系,例 设(X,Y)的联合分布列为,求 X,Y 的相关系数.,解:,=0,同理,=3/4,E(Y)=E(X)=0,另一方面,=1/81/81/8+1/8,=0,所以,Cov(X,Y),即 Corr(X,Y)=0,E(Y2)=E(X2)=3/4,=E(XY)E(X)E(Y)=0,
45、例(X,Y)p(x,y)=,求 X,Y 的相关系数,解:,=7/6,=5/3,所以,Var(X)=Var(Y)=11/36,=4/3,二维正态分布的特征数,(1)X N(1,12),Y N(2,22);,(2)参数 为 X 和 Y 的相关系数;,(4)不相关与独立等价.,例 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100克，标准差为10克.一箱内装200袋味精，求一箱味精的净重大于20500克的概率?,解:,设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi,则Xi 独立同分布，,且 E(Xi)=100，Var(Xi)=100，,由中心极限定理得，所求概率为：,=0.0002,故一箱味精的净重大于20500克的
46、概率为0.0002.(很小),例 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为,求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.,解:设 Xi 为第 i 次射击命中的环数，则Xi 独立同分布，,且 E(Xi)=9.62，Var(Xi)=0.82，故,=0.99979,中心极限定理的应用有三大类：,注 意 点,ii)已知 n 和概率，求y；,iii)已知 y 和概率，求 n.,i)已知 n 和 y，求概率；,一、给定 n 和 y，求概率,例 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.,解：用,由此得：,Xi=1表示第i个部件正常工作,反之
47、记为Xi=0.,又记Y=X1+X2+X100，则 E(Y)=90，Var(Y)=9.,二、给定 n 和概率，求 y,例 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，每台机床工作时需15kw电力.问共需多少电力,才可 有95%的可能性保证正常生产?,解：用,设供电量为y,则从,Xi=1表示第i台机床正常工作,反之记为Xi=0.,又记Y=X1+X2+X200，则 E(Y)=140，Var(Y)=42.,中解得,三、给定 y 和概率，求 n,例 用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节 目的收视率 p 的估计。要有 90 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？,解
48、：用,根据题意,Yn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则,从中解得,Yn 服从 b(n,p)分布，k 为Yn的实际取值。,又由,可解得,n=271,例 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01，求500发炮弹中命中 5 发的概率.,解:设 X 表示命中的炮弹数,则,X b(500,0.01),0.17635,(2)应用正态逼近:,P(X=5)=P(4.5 X 5.5),=0.1742,例,假如0.50,1.25,0.8,2是来自总体X的样本值,已知Y=LnX服从正态分布N(,1),(1)求E(X),(2),求的置信度为0.95的置信区间,(3)利用上述结果求E(X)的置信度为0.95的置信区间,解:,(2)=0.05的标准正态分布的分位数为1.96,所以所求区间为,其中,即,(3)由于,是单调递增函数,所以,故E(X)的置信度为0.95的置信区间为,
