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1、题 目 林区汽车修理摘要这篇文章主要是针对林区汽车修理的方案安排问题的分析与研究。林区的汽车是十分重要的运输工具，通常要定期送到大修厂进行修理，不同的调度方案会往往会产生不同的修理成本。所以我们建立产销运输模型对汽车的大修安排进行计算和方案优化，从而降低林区在汽修方面所花的修理费用。对于问题一，分协作区对汽车的大修进行安排。利用图论中的最小生成树计算出协作区内林业局之间的最少运输费的运输道路，建立产销运输模型，以运输费用和修理费之和最小，即为目标函数，以修理规模以及现有车辆作为约束条件。对于五个协作区利用上述模型分别进行求解，然后通过编程求解，最后得出最少的修理费用总额为：元。对于问题二，不分
2、协作区，而是在整个林区对汽车大修进行安排调度。依然利用图论的知识，通过软件的计算机编程求出在整个林区内，各个林业局之间的最少运输费的运输道路。然后套用问题一的模型，改变约束条件的范围，然后通过编程求解，得出最少的修理费用总额为：元。对于问题三，部分大修厂进行了扩建，其生产规模变大了，都增加了辆汽车修理数。仍然套用问题二的数学模型，在问题二的基础上，对部分已经扩建了的大修厂的数据进行修改，增加了约束条件的范围，然后通过编程求解，得出最少的修理费用总额为：元。对于问题四，在问题三的基础上，将修理点的数量减少为问题三中给出的五个修理点，并且从中抽取两个修理点，然后通过编程，得出在拟定两个厂点大修时，
3、选择的厂点为号和号，其生产规模分别为辆和辆，最少的修理费用总额为：元。我们再对从问题三给出的厂点中选择三个厂点的情况和在全部个厂点中选择三个厂点的情况进行求解，得出其厂点分别为号、号、号和号、号、号，其生产规模分别为辆、辆、辆和辆、辆、辆，其最少的修理费用总额分别为：元和元。经过对比我们发现，选择号、号、号这三个厂点进行修理的方案是最好的。这个模型对实际生活中很多汽车修理分配方案的制定有着很大的帮助和指导作用，并且有着较强的可操作性，能够适用于市场经济体制下的很多类似的问题。关键词：图论 最小生成树 运输问题 编程一、问题重述1.1背景分析林业是国民经济整体中的一个不可缺少的有机组成部分。建国
4、以来，我国林业建设取得了很大的成绩。而在林业生产中，集材和运材是重要环节。由于汽车运材的优点较多，所以林区的汽车运输方式发展很快。但是现存的机修系统的工作，尤其是汽车大修方面，还远远不能适应现代建设的需求，还存在着很多的有待解决的问题。1.2问题重述在林业生产中，汽车是主要的运输工具。为了确保汽车在使用中有良好的技术状态和较长的使用寿命，需定期对汽车进行保养与维修，大修是重要的一个环节。但目前各林业局都设有大修厂，由于厂点多、规模小、技术落后等原因，导致了大修成本高、质量低等问题。现需对林业区的大修厂作出合理布局，使林区整体经济效益最优。表1给出了某林区某年各大修厂的厂量及成本（见附录I）。表
5、2给出了某林区各大修厂的现有生产规模和车辆数（见附录I）。图1的林区18个林业局的分布图（见附录I）。各线段上的数字是两林业局的距离（单位：公里，线的长短和真实的距离不成比例，（）里的数字是林业局编号）。当把一个林业局的汽车送到另一个林业局大修时，每辆车的运送费（双程）：公路每公里6元，铁路每公里5元。假设（1）每辆汽车一年大修一次。（2）不考虑关闭、扩建大修厂的费用。分别对以下几种情况求出大修方案，作出大修厂的布局规划。1、 分协作区大修2、 不分协作区大修（整个林区）3、 拟定对林业局（2）、（5）、（8）、（14）、（16）大修厂进行扩建，使生产规模分别增加80辆。4、 集中到问题3中拟
6、定的两个厂点大修是否更好？给出是厂点和生产规模。你还有更好的建议吗？二、模型假设1、假设题目中的双程是指来回一公里所花费的运送费。2、假设各条道路均畅通，没有车辆必须绕道的情况。3、假设在铁路上火车不会发生追尾事故等事故从而导致铁路不通车。4、假设大修厂不会不会发生生产事故等事件导致停产。5、假设图中的路线距离数据真实可靠。6、假设公路与铁路的交叉口有站点，且不考虑公路运输换成铁路运输时所产生的费用。7、不考虑大修厂的扩建所产生的费用。三、符号说明从第个林业局送到第个林业局大修的汽车总数每辆车从第个林业局送到第个林业局的运费每辆车在第个修理厂的修理成本每辆车从第个林业局送到第个林业局修理的总花
7、费第个修理厂现有的车辆第个修理厂的生产规模总的汽车大修花费四、问题分析4.1对问题一的分析我国组织林区汽车大修往往有两种方法，第一种是各个林区自己建立大修厂，但是这种方案由于厂点多、规模小、技术落后等原因导致了大修成本高、质量低等情况；二是实行汽修专业化，由专业的企业对各个林区的汽车进行集中，一起进行修理。在问题一中，大修方案为分协作区进行大修，在小范围的林区使用第二种方法进行对林区汽车的大修。我们考虑到实际情况，可以选择用产销运输问题的模型来对这个问题进行求解，选择出修理费最小的方案。首先，我们利用图论中的最小生成树的知识求出在一个协作区内两两林业局之间一辆车辆的在道路上所花费的最小运输费。
8、然后建立产销运输问题的模型，将每个林业局大修厂的汽修单价和其他林业局运输到该林业局的每辆车辆所需的运输费之和作为产销运输问题中的产地与销售点之间的运输单价，然后建立约束条件，对该问题进行求解，然后编程得出所有林区车辆大修的布局规划。4.2对问题二的分析在问题二中，不再考虑在协作区中进行安排，转而在整个林区采用第二种林区汽车大修的方法对车辆的修理进行安排。这个问题与第一问是相同的，我们同样采用产销运输问题的模型对该问题进行求解。但是，因为林业局之间的道路比较复杂，所以在道路上的运输费用需要利用图论的知识对其重新进行计算，然后编程求解。对于求解林区车辆的大修布局规划，可以套用问题一的计算公式，然后
9、改变约束条件的范围，然后计算最小修理费用。4.3对问题三的分析对于第三问，依然是在整个林区进行对汽车的大修进行合理的安排，所以我们套用第二问的解题方法。在第三问中，考虑到部分大修厂扩建，都增加了辆汽车的生产规模，就导致题中的数据发生改变。所以我们在第二问的基础上，对模型的约束条件进行了适当的改变，然后再用软件进行编程求解。4.4对问题四的分析对于第四问，是从第三问中的大修厂号中抽取两个大修厂，不考虑生产规模，将所有的车辆都运送到这两个厂进行维修，继而算出那两个大修厂所必需达到的生产规模。我们依然使用产销运输模型来对其进行求解。改变问题二模型中销售地，也就是修理点的数量，通过软件计算出所有的结果
10、，然后从中得出最优的、修理费最少的结果。然后，我们对在第三问给出大修厂中抽取三个的情况和在整个林区内的个大修厂中抽取三个的情况分别进行了计算，并分别进行比较，最后求出最优化的答案。五、模型的建立与求解5.1问题一的模型建立与求解首先，我们对每个协作区进行分析，我们发现在每个协作区中，两两林业局之间的道路都是比较单一的，基本只有一条固定的道路来运输汽车，通过计算我们得出了在协作区中，林业局之间的每辆汽车的最小运输费用，如下表所示：表1：协作区中各林业局之间的汽车运输费一区二区四区林业局123林业局456林业局12131410180420403004401201802402180024053000
11、5001318002003420240064405000142402000三区五区林业局7891011林业局15161718703008405406001503202405008300054024030016320012018098405400300840172401200300105402403000540185001803000116003008405400然后我们建立产销运输模型，计算出所有林区车辆的修理费用总和，并使其最小。在模型中的产销地之间的运输单价我们定义为，即为每辆车从第个林业局送到第个林业局修理的总花费，也就是每辆车从第个林业局送到第个林业局的运费与每辆车在第个修理厂的修理成
12、本的和（数据表见附录II）。根据上述的原则，我们建立如下的目标函数：其约束条件为：然后我们利用软件对各个协作区的数据进行编程求解（编程代码见附录III），求得答案为：一区修理费为：元；二区修理费为：元；三区修理费为：元；四区修理费为：元；五区修理费为：元。林区汽车大修总修理费为：元。而这个修理方案的汽车运输安排就如下表所示：表2：问题一的汽车运输安排一区二区四区收发123收发456收发1213141105104450012102030203505575013060030030600551400150三区五区收发7891011收发151617187400000152015508101700001
13、609505900700017003501000060018000551103000205.2问题二的模型建立与求解对于问题二，不再分协作区进行大修，转而是对整个林区进行规划。在这种情况下，两两林业局之间的运输路径就比较复杂，通过简单的计算已经无法得出答案，所以我们通过建立一个无向赋权图来表示个林业局和其之间的运输道路，然后计算各条通路上的运输费用，走公路则用公路里程乘以，走铁路则以铁路里程乘以，然后利用软件对其进行编程求解。计算出各个林业局之间的最少运输费路径之后，我们依然套用问题一中的模型，利用林业局之间的路费与林业局大修厂的大修成本之和，建立目标函数：同样建立相同的约束条件，然后利用软件
14、对其进行编程求解（编程代码见附录III），求得林区大修总修理费为：元。这个修理方案的汽车运输安排为：一号、二号、三号、四号、七号、八号、九号、十号、十三号、十四号、十五号、十七号、十八号林业局均在原厂对汽车进行大修；五号林业局分别向四号、七号林业局运输辆和辆汽车进行大修，其余在原厂大修；六号林业局分别向一号、二号、三号、八号、十六号林业局运输辆、辆、辆、辆和辆汽车进行大修，不在原厂大修；十一号林业局向十八号林业局运输辆汽车进行大修，其余在原厂大修；十二号林业局分别向九号、十三号、十四号林业局运输辆、辆和辆汽车进行大修，不在原厂大修；十六号林业局向十七号林业局运输辆汽车进行大修，其余在原厂大修。
15、5.3问题三的模型建立与求解对于问题三，条件是和第二问相似的，只是二号、五号、八号、十四号和十六号林业局的大修厂生产规模增加了，条件发生了一些较小的改动，不影响模型本身。所以我们在编程求解的代码中，将这五种情况下的数据进行相应的改动，都增加了辆，最后再利用软件对该模型进行编程求解（程序代码见附录III），求得林区大修总修理费为：元。这个修理方案的汽车运输安排为：二号、四号、七号、九号、十四号、十六号和十七号林业局均在原厂对汽车进行大修；一号、三号林业局将现有汽车全部向二号林业局运输进行大修，不在原厂大修；十号林业局将现有汽车全部向八号林业局运输进行大修，不在原厂大修；十一号林业局将现有汽车全部
16、向十八号林业局运输进行大修，不在原厂大修；十二号林业局将现有汽车全部向十四号林业局运输进行大修，不在原厂大修；五号林业局分别向二号、三号、四号、七号林业局运输辆、辆、辆和辆汽车进行大修，不在原厂大修；六号林业局分别向二号、八号林业局运输辆和辆汽车进行大修，不在原厂大修；八号林业局向十六号林业局运输辆汽车进行大修，其余在原厂大修；十三号林业局向十四号林业局运输辆汽车进行大修，其余在原厂大修；十五号林业局分别向十六号、十七号林业局运输辆和辆汽车进行大修，不在原厂大修；十八号林业局向十六号林业局运输辆汽车进行大修，其余在原厂大修。5.4问题四的模型建立与求解在第四问中，我们依然应用上文的模型，在这五
17、个林业局中选取两个作为集中修理的大修点，建立目标函数依然为：约束条件依然相同，但是其中，然后利用软件对其进行编程求解（编程代码见附录III），求得厂点为号和号，其生产规模分别为辆和辆，最少的修理费用总额为：元。然后我们再对从问题三给出的厂点中选择三个厂点的情况和在全部个厂点中选择三个厂点的情况进行分析，并且也用软件对其进行编程求解（编程代码见附录III），得出其厂点分别为号、号、号和号、号、号，其生产规模分别为辆、辆、辆和辆、辆、辆，其最少的修理费用总额分别为：元和元。经过对比我们发现，选择号、号、号这三个厂点进行修理的方案是最好的，价格也要便宜很多。六、模型的评价与改进6.1模型的优点1、模
18、型简单易懂，利用软件编程有说服力。2、适用性比较广泛，能够解决多种类似的问题。3、分配方式较为合理，可操作性强。6.2模型的缺点1、忽略了厂点扩建的费用，从实际情况来说，会产生较大的出入。2、没有考虑到人为因素和市场经济带来的弊端。七、模型的推广本模型通过对现实中的市场经济体制下的市场机制进行模拟，减少了过多的人为因素的干扰，使得收益能够大幅度的增加。并且对市场中的一些重要因素进行分析，通过合理的安排和对市场资源的宏观调控，充分利用了市场的资源和功能，克服了市场中可能产生的一些弊端，使其能够降低成本，从而获得更大的收益。这种问题在市场经济中是非常普遍的，模型的建立以及制定方案的思想是具有很强的
19、实用性的，尤其是在中国特色社会主义的市场经济体制下。本文的思想不仅能够推广到其他类似的供求分配问题和产销运输问题中去，并且能够运用于更高层次的规划管理问题中去，使得其获得最大的收益和功效。八、参考文献1谭永基，数学模型，上海复旦大学出版社，19972程理民，运筹学模型与方法教程，北京清华大学出版社，19953何晓群，刘文卿，应用回归分析，中国人民大学出版社，1999附录I表1：某林区某年各大修厂的厂量及成本林业局123456789产量（辆）525201020154019075单位成本（元/辆）570048504300550064006500550045005800林业局101112131415
20、161718产量（辆）45254040130451105060单位成本（元/辆）600061007200560047005600500053005100表2：某林区各大修厂的现有生产规模和车辆数协作区一区二区四区林业局123456121314生产规模（辆）30404050120607080180汽车数（辆）2535304580556060150协作区三区五区林业局789101115161718生产规模（辆）50200907060501104060汽车数（辆）401807060504010035554030206020203030404040404050605050505020203010060
21、3020图1铁路公路附录II表：修理费计算表一区二区四区林业局123林业局456林业局121314157005030472045500670069401272005780494025880485045405580064007000139000560049003612050904300659406900650014960058004700三区五区林业局7891011林业局151617187550048006640654067001556005320554056008580045006340624064001659205000542052809664050405800630069401758405
22、1205300540010634047406100600066401861005180560051001164004800664065406100附录III问题一各个协作区的代码：model:sets:w1/1.3/:k,l;links(w1,w1):c,d;endsetsdata:k=30 40 40;l=25 35 30;d=ole(F:1q.xls,yf);enddatamin=sum(links:c*d);for(w1(j):sum(w1(i):c(i,j)=k(j);for(w1(i):sum(w1(j):c(i,j)=l(i);endmodel:sets:w1/4,5,6/:k,l
23、;links(w1,w1):c,d;endsetsdata:k=50 120 60;l=45 80 55;d=ole(F:2q.xls,yf);enddatamin=sum(links:c*d);for(w1(j):sum(w1(i):c(i,j)=k(j);for(w1(i):sum(w1(j):c(i,j)=l(i);endmodel:sets:w1/7,8,9,10,11/:k,l;links(w1,w1):c,d;endsetsdata:k=50 200 90 70 60;l=40 180 70 60 50;d=ole(F:3q.xls,yf);enddatamin=sum(links
24、:c*d);for(w1(j):sum(w1(i):c(i,j)=k(j);for(w1(i):sum(w1(j):c(i,j)=l(i);endmodel:sets:w1/12,13,14/:k,l;links(w1,w1):c,d;endsetsdata:k=70 80 180;l=60 60 150;d=ole(F:4q.xls,yf);enddatamin=sum(links:c*d);for(w1(j):sum(w1(i):c(i,j)=k(j);for(w1(i):sum(w1(j):c(i,j)=l(i);endmodel:sets:w1/15,16,17,18/:k,l;lin
25、ks(w1,w1):c,d;endsetsdata:k=50 110 40 60;l=40 100 35 55;d=ole(F:5q.xls,yf);enddatamin=sum(links:c*d);for(w1(j):sum(w1(i):c(i,j)=k(j);for(w1(i):sum(w1(j):c(i,j)=l(i);end问题二的代码：model:sets:w1/1.18/:k,l;links(w1,w1):c,d;endsetsdata:k,l,d=ole(F:2t.xls,k,l,yf);enddatamin=sum(links:c*d);for(w1(j):sum(w1(i)
26、:c(i,j)=k(j);for(w1(i):sum(w1(j):c(i,j)=l(i);end问题三的代码：model:sets:w1/1.18/:k,l;links(w1,w1):c,d;endsetsdata:k,l,d=ole(F:3t.xls,k,l,yf);enddatamin=sum(links:c*d);for(w1(j):sum(w1(i):c(i,j)=k(j);for(w1(i):sum(w1(j):c(i,j)=l(i);end问题四的代码：model:sets:w1/1.18/:k;w2/2,5,8,14,16/:l,x;links(w1,w2):a,c;endset
27、sdata:k,c=ole(F:4t1.xls,k,yf);enddatamin=sum(links:a*c);for(w1(i):sum(w2(j):a(i,j)=k(i);for(w2(j):sum(w1(i):a(i,j)=l(j)*x);for(w2:bin(x);sum(w2:x)=2;endmodel:sets:w1/1.18/:k;w2/2,5,8,14,16/:l,x;links(w1,w2):a,c;endsetsdata:k,c=ole(F:4t1.xls,k,yf);enddatamin=sum(links:a*c);for(w1(i):sum(w2(j):a(i,j)=k(i);for(w2(j):sum(w1(i):a(i,j)=l(j)*x);for(w2:bin(x);sum(w2:x)=3;endmodel:sets:w1/1.18/:k,l,z;links(w1,w1):c,d;endsetsdata:l,d=ole(F:3t.xls,l,yf);enddatamin=sum(links:c*d);for(w1(j):sum(w1(i):c(i,j)=k(j)*z(j);for(w1(i):sum(w1(j):c(i,j)=l(i);for(w1:bin(z);end
