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1、Chapter 05 市场风险：波动率,2/76,引言,对金融市场波动性的研究是现代金融理论的核心内容之一。波动性不仅是金融风险资产的决定因素，还是金融衍生产品定价中的一个关键参数。能否对市场波动做出准确的刻画和预测，直接关系到风险管理的有效性和衍生产品定价的合理性等重要问题。,3/76,内容提要,波动率的定义采用历史数据估计波动率收益率是否服从正态分布监测日波动率指数加权移动平均模型GARCH模型、随机波动模型、隐含波动率模型、实现波动率模型模型选择和极大似然估计,4/76,5.1 波动率的定义,波动率：单位时间内连续复利收益率的标准差期权定价：一年风险控制：一天不同期限波动率之间的转换：时
2、间的平方根规则,5/76,5.1 波动率的定义,Example一股票价格为50美元，其波动率为每年30，对应于每周的价格百分比变化的标准差近似为：因此，股票价格每周变化的标准差为500.0416，即2.08美元。,6/76,5.1 波动率的定义,方差变化率方差：波动率的平方波动率与时间的平方根成正比方差与时间本身成正比,7/76,5.1 波动率的定义,交易天数与日历天数计算波动率时，应该采用交易天数 or 日历天数？研究人员证明：价格在交易时间内的波动比无交易时间的波动大得多，所以采用历史数据估计波动率时，应该忽略无交易的天数美国：约252个交易日中国：约250个交易日,8/76,5.1 波动
3、率的定义,若为某资产的年波动率year，day为相应的日波动率，则：或,9/76,5.1 波动率的定义,思考：波动率由何而来？,图6-1 标准普尔500指数和上证综指收益率的波动情况,10/76,5.1 波动率的定义,一个自然假设：波动率是由到达市场的新信息引起上述假设并未得到实证研究（Fama，1965；French，1980；French and Roll，1980）的支持Fama等学者的研究思路：计算（1）中间不含非交易日时，一个交易日结束到下一个交易日结束时股票价格收益率的方差；（2）周五收盘到下周一收盘时收益率的方差,11/76,5.1 波动率的定义,若假设成立，第（2）项方差应为第
4、（1）项方差的3倍实证研究结论：第（2）项方差为第（1）项方差的1.22倍、1.19倍、1.107倍这样结果出现的原因是否在于开盘时有更多新信息？Roll（1984）对橙子期货价格的类似研究并不支持这样的解释,12/76,5.2 采用历史数据估计波动率,假定样本数据为日数据步骤：（1）计算样本期内每天的连续复利收益率rt；（2）计算rt的标准差；（3）根据“时间的平方根”法则对进行调整。计算实例：HS300.xls,(6-1),13/76,5.3 收益率是否服从正态分布,EMH和Black-Scholes模型：资产价格为独立连续变化，波动率为常数这意味着在任意时间t内，收益率均服从正态分布且标
5、准差为：现实是这样的吗？,14/76,5.3 收益率是否服从正态分布,择时交易的小概率困境,表6-1 价格变化大于16个标准差的天数占全部观察日的比例,注：表中，SD表示价格变化的标准差。资料来源：Hull J,White A.Journal of Derivatives,1998,5(3):9-19.,15/76,5.3 收益率是否服从正态分布,资产日收益率并不服从正态分布，差异主要表现在：（1）实际分布的尾部较正态分布更厚（2）分布的尖峰较正态分布更高意味着什么？金融市场中，较小的价格变化和较大的价格变化出现的概率往往大于正态分布下的情况！,16/76,5.3 收益率是否服从正态分布,图6
6、-3 正态分布与某一厚尾分布的比较,17/76,5.3 收益率是否服从正态分布,正态分布的代替：幂律分布（Power law）对于变量v，当x很大时：Prob(v x)=Kx-a其中，K 和 a 为常数。(6-2)式已被证明适用于许多变量，如个人收入、城市规模和网页被点击的次数等。,(6-2),18/76,5.3 收益率是否服从正态分布,由式(6-2)：ln Prob(v x)=ln K a lnx可以通过lnProb(v x)lnx的线性关系来验证式(6-2),表6-2 由表6-1得出的数值,19/76,5.3 收益率是否服从正态分布,图6-4 基于表6-1的双对数图,20/76,5.3 收
7、益率是否服从正态分布,图6-4表明，价格变化大于x个标准差的概率的对数与ln x呈线性关系，这说明了幂律的正确性。利用x3，4，5，6的数据，可以得出最优拟合曲线为：即：,21/76,5.3 收益率是否服从正态分布,一个大于4.5倍标准差的变化（可正可负）出现的概率为：一个大于7倍标准差的变化（可正可负）出现的概率为：,22/76,5.4 监测日波动率,日波动率为常数的假设与实际严重不符可以利用最新价格不断更正对波动率的估计，从而得到每天不同的波动率计算实例：HS300.xls对式(6-1)的调整：（1）令；（2）用n代替n-1调整后：,(6-3),23/76,5.4 监测日波动率,加权权重式
8、(6-3)：不同滞后期发生的各种事件对未来波动率都具有相同权重的影响缺陷：幽灵效应（Ghost effect）金融市场中，不同时期的历史数据对于未来波动率会有不同程度的影响，即越是近期的数据，对于未来波动的影响应该越大。,24/76,5.4 监测日波动率,对(6-3)的一个自然改进：其中，权重系数ai随滞后期数i的增加而减小，且,(6-4),当i j 时，,25/76,5.4 监测日波动率,假定存在某一长期平均方差VL，则可将式(6-4)写为：其中，为VL所对应的权重，且继续有：,(6-5),26/76,5.4 监测日波动率,式(6-5)：ARCH(n)模型Engle（1982）ARCH(n)
9、：方差的估计值与长期平均方差以及最近n个观察值有关，且观察数据越久远，其权重越小。令，有：,27/76,5.5 指数加权移动平均模型,指数加权移动平均模型EWMA：式(6-4)的一个特殊形式，其中的权重系数ai随滞后时期延长而按指数速度衰减：其中，为一取值为01的常数由此出发，波动率估计模型可以表示为：,28/76,5.5 指数加权移动平均模型,历史信息对于未来波动的影响随时间间隔增大而衰减的速度通过衰减因子（decay factor）反映。一个较大的值意味着历史信息对于未来波动影响的衰减速度较慢，而一个较小的值意味着这一衰减速度较快。EWMA模型中的波动率估计完全依赖于其中的唯一参数衰减因子
10、，这给该模型的应用带来了较大便利。但 究竟取何值合适并没有一致的标准，并且保持常数显然与市场的时变波动特征相抵触。,29/76,5.5 指数加权移动平均模型,J.P.Morgan投资银行开发的RiskMetrics技术曾建议将取为0.94，但该技术在金融风险测度领域中的糟糕表现，说明这一取值并不具备较强的合理性和实用性。另外，EWMA模型还隐含着未来各期波动率的期望值都是当前的波动率水平，即，这显然忽视了近期数据特征对于波动过程的较强影响。,30/76,5.6 GARCH类模型,GARCH类模型是目前金融研究中居于统治地位的一类波动率测度方法。该方法起源于Engle（1982）提出自回归条件异
11、方差模型（Auto-regressive Conditional Heteroscedastics，ARCH）的开创性工作。Engle的学生Bollerslev（1986）通过将ARCH模型拓展，提出了广义自回归条件异方差模型（GARCH）。,31/76,5.6 GARCH类模型,Robert F.Engle2003年诺贝尔经济学奖获得者,Tim Bollerslev,32/76,5.6 GARCH类模型,在GARCH模型中，是由长期平均方差VL、rt-1、所组成。研究中最常用的GARCH(1,1)模型表示为：且：,33/76,5.6 GARCH类模型,EWMA模型是GARCH(1,1)模型对
12、应于0，1，的情形。GARCH(1,1)模型中的(1,1)代表 是由最近的收益率观察值以及最近的方差估计所得。GARCH(p,q):,34/76,5.6 GARCH类模型,令，GARCH(1,1):继续有：且,(6-6),35/76,5.6 GARCH类模型,权重将 代入式(6-6)，可得：继续代入：,36/76,5.6 GARCH类模型,继续代入，可以看到 的权重为，即权重以指数速度下降，参数可被解释为衰减率（Decay rate），类似于EWMA模型中的系数，决定了不同时期ri的重要性。0.9：的重要性只是 的90，的重要性只是 的81，与EWMA不同，GARCH(1,1)对长期平均方差也
13、施加了权重。,37/76,5.6 GARCH类模型,GARCH模型较好地刻画了收益率波动的聚集性，但却无法描述波动的非对称效应。为了解决这一问题，有学者提出了几种非对称GARCH模型，其中最常用的包括Nelson（1990）提出的EGARCH（Expotional GARCH）模型；Glosten et al.（1993）提出的GJR模型；以及Ding et al.（1993）提出的APARCH（Asymmetric power ARCH）模型。,38/76,5.6 GARCH类模型,另外，在研究一些金融时间序列时，有学者还注意到误差项的自相关系数呈现典型的双曲率衰减特征，这引发了ARCH模型
14、与长记忆过程相结合的研究热潮。FIGARCH-BBM FIGARCH-Chuang FIEGARCH FIAPARCH,39/76,5.6 GARCH类模型,GARCH类模型本身还是存在若干无法克服的缺陷在所有GARCH类模型中，系数都衡量了金融市场随机因素对未来波动的冲击程度，而 系数则衡量了波动率的持续程度。由于GARCH类模型的平稳性要求，所以在随机因素冲击程度和波动率持续性程度之间就存在数值上的平衡（即两者不能同时增加，从而导致 情况的出现），从而导致GARCH类过程很难捕捉到金融市场突然发生的大幅波动。,40/76,5.7 随机波动模型,随机波动（Stochastic volatil
15、ity）模型又称随机方差（Stochastic variance）模型，简称SV模型。广义的SV模型可以分为两种：连续时间SV模型和离散时间SV模型。目前，在文献中常用的是Taylor提出的离散时间SV模型。,41/76,5.7 随机波动模型,与ARCH模型不同的是，该模型假定条件波动率是不可观测的（Unobservable），且其服从以下形式的随机过程：其中，不可观测的对数波动率（log-volatility）ht满足：且有,42/76,5.7 随机波动模型,在SV模型中，由于条件波动率是一个不可观测的变量，很难计算出其精确的似然函数，故对SV 模型的估计存在着较大困难。一直以来，尽管众多学
16、者不断在尝试提出各种不同类型的估计方法，但SV模型始终没有像ARCH族模型一样，成为被金融理论界与实务界所普遍使用的波动率测度方法。,43/76,5.8 实现波动率模型,实现波动率（Realized volatility，RV）是基于日内收益数据平方和的一种波动率测度，这一概念由Andersen and Bollerslev（1998）首次提出。他们认为，使用高频的交易日内收益数据可以获得对日波动率更精确的描述。,Torben G.Andersen,44/76,5.8 实现波动率模型,Andersen and Bollerslev（1998）同时也指出，传统上运用日收益率的平方作为日波动率的测
17、度将会面临非常严重的测量误差和噪声问题，而使用交易日内的高频收益数据将大大降低这些误差和噪声对潜在波动率过程的影响，并且随着高频收益率频率的增加，这种测量的误差将会越来越小。但是，由于市场微观结构效应的影响，在实际运用当中，也并非高频收益率的频率越高越好。,45/76,5.8 实现波动率模型,46/76,5.8 实现波动率模型,Torben G.Andersen是实现波动率测度研究的集大成者，他与Bollerslev等学者对这一波动率测度方法的一系列理论及实证分析发表于Econometrica等顶级金融计量杂志上。这一系列的研究发现，对数实现波动率序列往往具有长记忆、同方差、非条件正态等典型特
18、征，而这些特征可以通过不带自回归项的ARFIMA(p,d,0)模型来刻画，因此，文献中涉及RV建模时，一般采用ARFIMA(p,d,0)模型。,47/76,5.8 实现波动率模型,尽管RV测度及其模型具备非常良好的理论性质及较强的对真实波动率的刻画能力，但这一方法也不是无懈可击的。Andersen et al.（2006）曾对RV估计及建模中所面临的一些难题进行了总结，其中最为突出就是对估计RV时所采用的高频数据抽样频率无法取得一致标准。,48/76,5.8 实现波动率模型,Engle and Gallo（2006）也指出，由于无法避免市场微观结构噪音的影响，基于高频数据的RV测度并不像其理论
19、描述的那样完美。另外，运用ARFIMA(p,d,0)为RV序列建模也会导致实现波动率过程中的跳跃（Jumps）和扩散（Diffusive）成分被割裂，因此更为合理的RV动力学模型也有待于进一步发掘。,49/76,5.9 隐含波动率模型,隐含波动率IV是从期权价格中反推出的波动率Black-Scholes期权定价公式：其中：,50/76,5.9 隐含波动率模型,IV模型的基本思想：利用在现实市场中观察到的期权价格数据和已有的期权定价公式，反推出与现实期权价格一致的标的资产波动率。求解方法1：,51/76,5.9 隐含波动率模型,求解方法2：迭代法基础：期权价格与波动率之间的单调变化关系步骤：（1
20、）取一个初始的波动率值，计算一个理论价格cBS;（2）将cBS与期权市场价格cmkt比较，若cBS cmkt，增加，反之减小；（3）每次迭代都使得所在的区间减半，不断重复第一步和第二步，直至选取的值使得 cBS cmkt。基于多分形波动率测度的权证定价方法研究,52/76,5.9 隐含波动率模型,VIX指数隐含波动率反映了投资者对于未来市场波动率的预期芝加哥期权交易所发表隐含期权指数最流行的是VIX指数，它是对S&P500指数隐含波动率的一种测度,53/76,5.9 隐含波动率模型,图6-2 VIX指数,54/76,5.9 隐含波动率模型,IV模型与历史方差模型、指数加权移动平均模型、ARCH
21、类模型的最大不同在于：IV模型来源于期权价格数据。由于期权价格在很大程度上反映了市场参与者对标的资产未来价格的一种心理预期，因此基于IV模型其实是“向前看”（Forward-looking）的；由于其余三种模型都是基于历史数据，因此可以被认为是“向后看”（Back-looking）的波动率测度方法。,55/76,5.9 隐含波动率模型,或许正是由于具备“向前看”的特殊性质，IV模型在有关波动率预测的实证研究领域有着较为优异的表现。IV模型的波动率测度精度严重依赖于所使用的期权定价公式的正确性，而现有的很多期权定价公式本身都具有这样或那样的局限。,56/76,5.9 隐含波动率模型,另外，IV方
22、法也只能运用于具有相应期权产品的资产波动率度量。对于大部分金融资产，由于没有相应的期权产品交易，故不能使用IV方法测度其波动率（这一点在我国金融市场中的表现尤为明显）。因此，尽管这一方法具有非常良好的理论出发点和实证表现，但并没有像GARCH族模型一样得到广泛应用。,57/76,5.10 极大似然估计,随机抽取某天中10只股票的价格，发现其中一只价格在这一天中下降了，而其它9只股票价格有所升高或至少没有下跌。问：一只股票价格下降的概率的最好估计是多少？自然是0.1!0.1是否是极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）所给出的结果呢？,58/76,5.10 极大
23、似然估计,将股票价格下降的概率记为p，则10只股票中只有一只股票价格下跌，而其它股票价格不跌的概率为p(1-p)9应用极大似然估计，最好的估计值就是使得p(1-p)9取得最大值的那个数。将p(1-p)9对p求导，并令导数为零，得出该数字为0.1,59/76,5.10 极大似然估计,极大似然估计的基本思想:在一次抽样中，若得观测值，则选取 作为的估计值。使得当：时，样本出现的概率最大。,60/76,5.10 极大似然估计,估计常数方差假定某随机变量X服从正态分布，并且期望值为0，目前已取得该变量的T个观察值，要求：运用MLE估计X的方差假定观察值为，并记方差为v，则观察值Xut的概率等于X的概率
24、密度函数在ut处的取值，即：,61/76,5.10 极大似然估计,T个观察值恰好为 的概率为：应用MLE，使得式(6-7)达到最大值的v即为最优估计值。,(6-7),62/76,5.10 极大似然估计,具体求解：对式(6-7)求对数，并忽略常数项，得：或：将以上表达式对v求一阶导数，并令其等于0，可得v的MLE估计值：,63/76,5.10 极大似然估计,估计GARCH(1,1)或EWMA中的参数令 为第t天方差的估计，我们需要得出最佳参数使得以下表达式最大化：,64/76,5.10 极大似然估计,对上式求对数，可以得出求解最大化的等价公式：求解方法：迭代法,65/76,5.10 极大似然估计
25、,注：表中所标i应为t。,表6-3 估计GARCH(1,1)模型中的参数,解得：,66/76,5.10 极大似然估计,长期平均方差VL为：长期波动率为，即每天0.665,67/76,5.10 极大似然估计,图6-5 日元/美元汇率19881997年的日波动率,68/76,5.10 极大似然估计,另一种估计方法：方差目标法（Variance targeting）将长期平均方差VL设定为由数据计算出的抽样方差，则只需估计剩余的另个参数EWMA模型的估计由于，因此只需估计一个参数,69/76,5.10 极大似然估计,模型表现如何检验原理：GARCH模型假定波动率的变化与时间有关，在某一段时间波动率较
26、高，而在其它阶段波动率较低首先计算 的自相关系数假定 确实具有自相关性，如果GARCH模型有效，自相关性就会被剔除，即 不再具有自相关性，从而可以认为：有关的 模型确实解释了 中的自相关性。,70/76,5.10 极大似然估计,表6-4 采用GARCH(1,1)模型前后的自相关系数,71/76,5.10 极大似然估计,更为科学的检验：Ljung-Box方法（Ljung and Box，1978）某序列中有n个观察值，Ljung-Box Q统计量定义为：其中，是时滞为k的自相关系数，K为所考虑的最大时滞.Q统计量服从自由度为K的卡方分布，即2(m),72/76,5.10 极大似然估计,对于K15
27、，当Ljung-Box统计量值大于25时，我们可以有95的把握拒绝自相关系数为0这一假设。表9-4中，序列的Ljung-Box的统计量值为123，说明自相关性确实显著存在。对于 序列，Ljung-Box统计量值为8.62，这说明GARCH模型确实剔除了数据中的自相关性。如何选取K？,73/76,5.11 采用GARCH(1,1)模型预测波动率,由GARCH(1,1)模型：,(6-8),74/76,5.11 采用GARCH(1,1)模型预测波动率,式(6-8)表明，我们可以运用第n-1天结束时的所有信息来预测第n+t天的波动率。EWMA中，所以将来方差的期望值与当前方差 相等。当 时，式(9-6
28、)中的最后一项随时间增加而逐渐减小：方差的均值回归性质，回归水平为VL，回归速度为,75/76,5.11 采用GARCH(1,1)模型预测波动率,图6-6 方差的预期路径：(a)当前方差高于长期方差；(b)当前方差低于长期方差,76/76,5.11 采用GARCH(1,1)模型预测波动率,当 时，对应于长期平均方差的权重为负，这时方差不再具有均值回归性质，而呈现均值逃离（Mean fleeting）性态。表(6-3)中，假定当前方差为0.00006（日波动率0.77），则10天后方差期望值为：仍高于长期波动率（0.665），但100天后的预期方差为0.00004451，即预期波动率0.677，和长期波动率已非常接近。,Thank You!,
