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1、2015-2016学年浙江省温州市瑞安市龙翔高中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合A=y|y=sinx，xR，集合B=x|y=lgx，则（RA）B（）A（，1）U（1，+）B1，1C（1，+）D1，+）2命题“x1，2，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件是（）Aa4Ba4Ca5Da53设l，m，n表示三条不同的直线，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A如lm，m，则lB如lm，ln，n，则lC如l，m，lm，则D如l，l，=m，则lm4函数y=（2x1）ex的图象是（）AB
2、CD5函数y=sin（2x+）的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点（，0）中心对称（）A向左平移B向右平移C向左平移D向右平移6已知数列an的各项均为正整数，其前n项和为Sn，若，且a1=5，则S2015=（）A4740B4725C12095D120027若A，B，C三点不共线，|=2，|=3|，则的取值范围是（）ABCD8如图，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA底面ABCD，AB=1，PAAC=1，ABC=（0），则四棱锥PABCD的体积V的取值范围是（）24A）B（C（D）B二、填空题：（本大题共7小题，前4题每空3分，后3题每空4分，共36分）s9一个正四棱锥的所有棱
3、长均为2，其俯视图如图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为，体积为/10向量，若，则tanx=；若与的夹角为，则x=211记公差d不为0的等差数列an的前n项和为Sn，S3=9，a3，a5，a8成等比数列，则公差d=；数列an的前n项和为Sn=i12如图在三棱锥SABC中，SA=SB=SC，且，M、N分别是AB和SC的中点则异面直线SM与BN所成的角的余弦值为，直线SM与面SAC所成角大小为513设函数f（x）=，若f（f（a）=3，则a=V14设x，y，满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a1，b2）的最大值为5，则的最小值为F15若关于x的不等式x2+|xa|2至少有一个正数解，则实数a
4、的取值范围是i三、解答题h16已知ABC中角A，B，C对边分别为a，b，c，且满足M（）求A的值；q（）若，求ABC的面积T17已知数列an是首项为2的等差数列，其前n项和Sn满足4Sn=anan+1数列bn是以为首项的等比数列，且b1b2b3=r（）求数列an，bn的通项公式；r（）设数列bn的前n项和为Tn，若对任意nN*不等式恒成立，求的取值范围B18在ABC中，AB=4，AC=4，BAC=45，以AC的中线BD为折痕，将ABD沿BD折起，如图所示，构成二面角ABDC，在面BCD内作CECD，且 z （）求证：CE平面ABD；1（）如果二面角ABDC的大小为90，求二面角BACE的余弦值
5、T19已知函数f（x）=x|xa|+bxA（）当a=2，且f（x）是R上的增函数，求实数b的取值范围；q（）当b=2，且对任意a（2，4），关于x的程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围Q20各项为正的数列an满足，=（1）取=an+1，求证：数列是等比数列，并求其公比；=（2）取=2时令，记数列bn的前n项和为Sn，数列bn的前n项之积为Tn，求证：对任意正整数n，2n+1Tn+Sn为定值2015-2016学年浙江省温州市瑞安市龙翔高中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一
6、项是符合题目要求的）1设集合A=y|y=sinx，xR，集合B=x|y=lgx，则（RA）B（）A（，1）U（1，+）B1，1C（1，+）D1，+）【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出y=sinx的值域确定出A，找出R中不属于A的部分求出A的补集，求出y=lgx的定义域确定出B，找出A补集与B的公共部分即可求出所求的集合【解答】解：由集合A中的函数y=sinx，xR，得到y1，1，A=1，1，RA=（，1）（1，+），由集合B中的函数y=lgx，得到x0，B=（0，+），则（RA）B=（1，+）故选C2命题“x1，2，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件是（）Aa4Ba4Ca5Da5【
7、考点】命题的真假判断与应用【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件a|a4，从集合的角度充分不必要条件应为a|a4的真子集，由选择项不难得出答案【解答】解：命题“x1，2，x2a0”为真命题，可化为x1，2，ax2，恒成立即只需a（x2）max=4，即“x1，2，x2a0”为真命题的充要条件为a4，而要找的一个充分不必要条件即为集合a|a4的真子集，由选择项可知C符合题意故选C3设l，m，n表示三条不同的直线，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A如lm，m，则lB如lm，ln，n，则lC如l，m，lm，则D如l，l，=m，则lm【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与
8、应用【分析】由线面平行的判定定理的条件可判断A是否正确；由线面垂直的判定定理的条件可判断B是否正确；根据位于两个平面中的直线若互相垂直，两个平面有可能平行，判断C是否正确；利用线面平行的性质与平行公理，先判定线面平行，再判定线线平行【解答】解：lm，m，若l，l与不平行，故A错误；若lm，ln，n，l与的位置关系不确定，故B错误；l，m，lm，则与有可能平行，故C错误；l，l，=m，过l作平面，=b，=c，由l，得lb，由l，得lc，bc，bl，bm，lm，故D正确故选D4函数y=（2x1）ex的图象是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】先通过函数的零点排除C，D，再根据x的变化趋势和y的关
9、系排除B，问题得以解决【解答】解：令y=（2x1）ex=0，解得x=，函数有唯一的零点，故排除C，D，当x时，ex0，所以y0，故排除B，故选：A5函数y=sin（2x+）的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点（，0）中心对称（）A向左平移B向右平移C向左平移D向右平移【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】先假设将函数y=sin（2x+）的图象平移个单位得到关系式，然后将x=代入使其等于0，再由正弦函数的性质可得到的所有值，再对选项进行验证即可【解答】解：假设将函数y=sin（2x+）的图象平移个单位得到：y=sin（2x+2+）关于点（，0）中心对称将x=代入得到：sin（+2
10、+）=sin（+2）=0+2=k，=+，当k=0时，=故选：B6已知数列an的各项均为正整数，其前n项和为Sn，若，且a1=5，则S2015=（）A4740B4725C12095D12002【考点】数列递推式；数列的求和【分析】通过计算出前几项的值可知数列an从第四项起构成周期为3的周期数列，进而计算可得结论【解答】解：依题意，且a1=5，a2=35+1=16，a3=8，a4=4，a5=2，a6=1，a7=31+1=4，数列an从第四项起构成周期为3的周期数列，2015=3+3670+2，S2015=5+16+8+（4+2+1）670+4+2=4725，故选：B7若A，B，C三点不共线，|=2
11、，|=3|，则的取值范围是（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】先设，再求出=3x，由题意画出图形，再由三角形三边的性质求出x的范围，把边长代入余弦定理的推论求出cosC的表达式，代入化简，由二次函数的性质求出它的范围【解答】解：设，则=3x，由于A，B，C三点不共线，能构成三角形，如下图：由三角形三边的性质得，解得，由余弦定理的推论得，cosC=，=cosC=3x2=5x22，由得， 5x223，故选D8如图，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA底面ABCD，AB=1，PAAC=1，ABC=（0），则四棱锥PABCD的体积V的取值范围是（）A）B（C（D）【考点】棱柱
12、、棱锥、棱台的体积【分析】先根据条件得到四边形ABCD的面积S=sin，由余弦定理可求得AC=，即可得到PA，进而表示出四棱锥PABCD的体积，整理后再借助于三角函数的取值范围即可解题【解答】解：由已知，四边形ABCD的面积S=sin，由余弦定理可求得AC=，PA=，V=V=所以，当cos=0，即=时，四棱锥VABCD的体积V的最小值是当cos=0，即=0时，四棱锥VABCD的体积V的最小值是0PABCD的体积V的取值范围是）故选A二、填空题：（本大题共7小题，前4题每空3分，后3题每空4分，共36分）9一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为，体积为【考点
13、】简单空间图形的三视图【分析】根据正四棱锥的俯视图，可得到正四棱锥的直观图，然后根据正视图的定义得到正四棱锥的正视图，然后求面积体积即可【解答】解：由正四棱锥的俯视图，可得到正四棱锥的直观图如图：则该正四棱锥的正视图为三角形PEF，（E，F分别为ADBC的中点）正四棱锥的所有棱长均为2，PB=PC=2，EF=AB=2，PF=，PO=该正四棱锥的正视图的面积为2=；正四棱锥的体积为22=故答案为：，10向量，若，则tanx=1；若与的夹角为，则x=【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用向量共线的坐标表示可得，结合x的范围求得x，则tanx可求；由向量数量积求夹角公式可得，再结合x的范围求得x【
14、解答】解：，由，得，即，0x，则x+，tanx=1，由与的夹角为，得cos=，0x，则，x=故答案为：1；11记公差d不为0的等差数列an的前n项和为Sn，S3=9，a3，a5，a8成等比数列，则公差d=1；数列an的前n项和为Sn=【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】由a3，a5，a8成等比数列，即有a52=a3a8，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，再由等差数列的求和公式，即可得到所求【解答】解：a3，a5，a8成等比数列，即有a52=a3a8，即为（a1+4d）2=（a1+2d）（a1+7d），化简可得2d2=a1d，（d0），即有a1=2d，又S3=9，可得3
15、a1+d=9，即a1+d=3，解方程可得a1=2，d=1，Sn=na1+n（n1）d=2n+n（n1）=故答案为：1，12如图在三棱锥SABC中，SA=SB=SC，且，M、N分别是AB和SC的中点则异面直线SM与BN所成的角的余弦值为，直线SM与面SAC所成角大小为【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角【分析】连接MC，取MC中点为Q，连接NQ，BQ，则NQ和SM平行，QNB（或其补角）即为SM和BN所成的角，利用余弦定理可得结论；由题意，ASM为直线SM与面SAC所成角，即可求解【解答】解：连接MC，取MC中点为Q，连接NQ，BQ则NQ和SM平行，QNB（或其补角）即为SM和BN所
16、成的角设SA=SB=SC=a，则AB=BC=CA=a因为，ABC是正三角形，M、N、Q是中点所以：NQ=SM=a，MC=a，QB=a，NB=acosQNB=，异面直线SM与BN所成角的余弦值为，由题意，ASM为直线SM与面SAC所成角，SA=SB，ASB=，ASM=故答案为，13设函数f（x）=，若f（f（a）=3，则a=【考点】分段函数的应用；函数的值；函数的零点与方程根的关系【分析】利用分段函数，通过a的范围，列出方程求解即可【解答】解：函数f（x）=，若f（f（a）=3，当a1时，可得：f（2a2+1）=3，可得log2（2a2）=3，解得a=2当a1时，可得：f（log2（1a）=3，
17、log2（1a）1时，可得，解得a3568895log2（1a）1时，可得log2（1log2（1a）=3，即1log2（1a）=8，log2（1a）=7，1a=，可得a=故答案为：2或14设x，y，满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a1，b2）的最大值为5，则的最小值为【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数可得a+b=5，然后利用基本不等式求得的最小值【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，联立，解得A（1，1）由z=ax+by（a0，b0），得y=x+，由图可知，zmax=a+b=5
18、可得a1+b2=2=（）（a1+b2）=（5+（5+2）=当且仅当4a=b+2，并且a+b=5即a=，b=时上式等号成立的最小值为故答案为：15若关于x的不等式x2+|xa|2至少有一个正数解，则实数a的取值范围是【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】原不等式为：2x2|xa|，我们在同一坐标系画出y=2x2（y0，x0）和 y=|x|两个图象，利用数形结合思想，易得实数a的取值范围【解答】解：不等式为：2x2|xa|，且 02x2在同一坐标系画出y=2x2（y0，x0）和 y=|x|两个函数图象，将绝对值函数 y=|x|向左移动，当右支经过 （0，2）点，a=2；将绝对值函数 y=|x|向
19、右移动让左支与抛物线y=2x2（y0，x0）相切时，由，可得 x2x+a2=0，再由=0 解得a=数形结合可得，实数a的取值范围是（2，）故答案为：（2，）3568895三、解答题16已知ABC中角A，B，C对边分别为a，b，c，且满足（）求A的值；（）若，求ABC的面积【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinA=cosA+1，从而解得sin（A）=根据A为三角形内角，即可求得A的值（）由已知及（）可求C，设ABC外接圆半径为R，由正弦定理可得：ba=2R（）=，即可解得R，可求a，b，利用三角形面积公式即可得解【解答】解：（）ABC中，
20、角A、B、C的对应边分别为a、b、c，且满足2asin（C+）=b+c，2asinCcos+2acosCsin=asinC+acosC=b+c，sinAsinC+sinAcosC=sinB+sinC，sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，sinAsinC=cosAsinC+sinC，由sinC0，可得： sinA=cosA+1，2sin（A）=1，sin（A）=，A=（）设ABC外接圆半径为R，由正弦定理可得：ba=2R（sinBsinA）=2R（）=，R=1，可得：a=，b=，C=BA=，sinC=，SABC=absinC=17已知数列an是首项为
21、2的等差数列，其前n项和Sn满足4Sn=anan+1数列bn是以为首项的等比数列，且b1b2b3=（）求数列an，bn的通项公式；（）设数列bn的前n项和为Tn，若对任意nN*不等式恒成立，求的取值范围【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用“裂项求和”可得，利用等比数列的前n项和公式可得Tn，利用数列的单调性即可得出【解答】解：（）设等差数列an的公差为d，由题意得， 4a1=a1（a1+d），解得d=2，an=2n，由，从而公比，（）由（）知，又，对任意nN*，等价于，对nN*递增，即的取值范围为（，31
22、8在ABC中，AB=4，AC=4，BAC=45，以AC的中线BD为折痕，将ABD沿BD折起，如图所示，构成二面角ABDC，在面BCD内作CECD，且 （）求证：CE平面ABD；（）如果二面角ABDC的大小为90，求二面角BACE的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（）推导出BDAC，BDCD，从而CEBD，由此能证明CE平面ABD （）推导出AD面BDC，ADCE，CEAC，设AE中点为G，则FGCE，由CEAC，得FGAC，BFG为二面角BACE的平面角，由此能求出二面角BACE的余弦值【解答】证明：（）由，得BC=4，ABC为等腰直角三角形，D为AC的中点，B
23、DAC，以AC的中线BD为折痕翻折后仍有BDCDCECD，CEBD，又CE平面ABD，BD平面ABD，CE平面ABD 解：（）二面角ABDC的大小为90，面ABD面BDC，又面ABD面BDC=BD，ADBD，AD面BDC，ADCE，又CECD，ADCD=D，CE面ACD，CEAC由题意，RtADC中，AC=4设BC中点为F，AB=BC=4，BFAC，且，设AE中点为G，则FGCE，由CEAC，得FGAC，BFG为二面角BACE的平面角，连结BG，在BCE中，在RtDCE中，在RtADE中，在ABE中，在BFG中，二面角BACE的余弦值为19已知函数f（x）=x|xa|+bx（）当a=2，且f（
24、x）是R上的增函数，求实数b的取值范围；（）当b=2，且对任意a（2，4），关于x的程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围【考点】根的存在性及根的个数判断；函数单调性的性质【分析】（）去绝对值号得，f（x）在R上递增等价于这两段函数分别递增，从而解得；（），tf（a）=2ta，讨论a以确定函数的单调区间，从而求实数t的取值范围【解答】解：（），因为f（x）连续，所以f（x）在R上递增等价于这两段函数分别递增，所以，解得，b2；（），tf（a）=2ta，当2a4时，a，f（x）在（，）上递增，在（，a）上递减，在（a，+）上递增，所以f极大（x）=f（）=a+1，f极小（
25、x）=f（a）=2a，所以对2a4恒成立，解得：0t1，当2a2时，a，f（x）在（，）上递增，在（，）上递减，在（，+）上递增，所以f极大（x）=f（）=a+1，f极小（x）=f（）=a1，所以a12taa+1对2a2恒成立，解得：0t1，综上所述，0t120各项为正的数列an满足，（1）取=an+1，求证：数列是等比数列，并求其公比；（2）取=2时令，记数列bn的前n项和为Sn，数列bn的前n项之积为Tn，求证：对任意正整数n，2n+1Tn+Sn为定值【考点】数列递推式；数列的求和【分析】（1）把由=an+1代入，整理后求解方程求得结合an0可得为常数，结论得证；（2）把=2代入数列递推式，得到2an+1=an（an+2），变形得到，然后分别利用累积法和裂项相消法求得Tn，Sn，代入2n+1Tn+Sn证得答案【解答】证明：（1）由=an+1，得，两边同除可得：，解得an0，为常数，故数列是等比数列，公比为1；（2）当=2时，得2an+1=an（an+2），又，故2n+1Tn+Sn=2为定值2016年11月6日第19页（共19页）
