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1、二次函数在闭区间上的最值问题,练习：已知函数f(x)=x2 2x 3（1）若x2，0，求函数f(x)的最值；（2）若x 2，4，求函数f(x)的最值；（3）若x，求函数f(x)的最值；,（4）若x，求函数f(x)的最值；,练习：已知函数f(x)=x22x 3.（1）若x 2，0,求函数f(x)的最值；,解：画出函数在定义域内的图像如图,对称轴为直线x=1由图知，y=f(x)在 2，0 上为减函数,故x=-2时有最大值f(-2)=5 x=0时有最小值f(0)=-3,例1、已知函数f(x)=x2 2x 3.（1）若x 2，0，求函数f(x)的最值；,（2）若x 2，4，求函数f(x)的最值；,解：
2、画出函数在定义域内的图像如图,对称轴为直线x=1由图知，y=f(x)在 2，4 上为增函数,故x=4时有最大值f(4)=5 x=2时有最小值f(2)=-3,例1、已知函数f(x)=x2 2x 3.（1）若x 2，0，求函数f(x)的最值；（2）若x 2，4，求函数f(x)的最值；,（3）若x,求函数f(x)的最值；,解：画出函数在定义域内的图像如图,对称轴为直线x=1,由图知，,x=时有最大值 x=1时有最小值f(1)=-4,例1、已知函数f(x)=x2 2x 3（1）若x2，0，求函数f(x)的最值；（2）若x 2，4，求函数f(x)的最值；（3）若x，求函数f(x)的最值；,（4）若x，求
3、函数f(x)的最值；,解：画出函数在定义域内的图像如图,对称轴为直线x=1,由图知，,x=时有最大值 x=1时有最小值f(1)=-4,例1、已知函数f(x)=x2 2x 3,（4）x,（1）x2，0,（2）x 2，4,（3）x,思考：通过以上几题，你发现二次函数在区间m，n上的最值通常在哪里取到？,总结：求二次函数f(x)=ax2+bx+c在m，n上 上的最值或值域的一般方法是：,（2）当x0m，n时，f(m)、f(n)、f(x0）中的较大者是最大值,较小者是最小值；,（1）检查x0=是否属于 m，n；,（3）当x0 m，n时，f(m)、f(n)中的较大 者是最大值，较小者是最小值.,考点二二
4、次函数的图象与性质(高频考点),练习求函数y=x2+2x+3 在x-2,2时的最值？,二次函数在闭区间上的最值问题 动轴定区间、动区间定轴,B,思考：如何 求函数y=x2-2x-3在xk,k+2时的最值?,解析:,因为函数 y=x2-2x-3=(x-1)2-4的对称 轴为 x=1 固定不变,要求函数的最值,即要看区间k,k+2与对称轴 x=1的位 置,则从以下几个方面解决如图:,例:求函数y=x2-2x-3在xk,k+2时的最值,当k+21即k-1时,f(x)min=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3=k2+2k-3,f(x)max=f(k)=k2-2k-3,当 k 1 k+2 时
5、即-1 k 1时,f(x)min=f(1)=-4,当f(k)f(k+2)时，即k2-2k-3 k2+2k-3 即-1k0时,f(x)max=f(k)=k2-2k-3,当f(k)f(k+2)时，即k2-2k-3 k2+2k-3 即0 k1时,f(x)max=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3=k2+2k-3,当k 1 时,f(x)max=f(k+2)=k2+2k-3,f(x)min=f(k)=k2-2k-3,例:求函数y=x2-2x-3在xk,k+2时的最值,当k-1时,当-1k 0时,f(x)max=f(k)=k2-2k-3,当0 k1时,f(x)max=f(k+2)=k2+2k-3
6、,f(x)min=f(1)=-4,f(x)min=f(1)=-4,f(x)min=f(k+2)=k2+2k-3,f(x)max=f(k)=k2-2k-3,当k 1 时,f(x)max=f(k+2)=k2+2k-3,f(x)min=f(k)=k2-2k-3,例:求函数y=x2-2x-3在xk,k+2时的最值,评注：例1属于“轴定区间动”的问题，看作动区间沿x轴移动的过程中，函数最值的变化，即动区间在定轴的左、右两侧及包含定轴的变化，要注意开口方向及端点情况。,练习：若x，求函数 y=x2+ax+3的最小值：,练习：若x，求函数 y=x2+ax+3的最小值：,练习：若x，求函数 y=x2+ax+3
7、的最小值：,例2：若x，求函数 y=x2+ax+3的最小值：,当 即a 2时,解：,例3：若x，求函数 y=x2+ax+3的最小值：,(2)当 即-2 a2时,y的最小值为f()=,例2：若x，求函数 y=x2+ax+3的最小值：,(3)当 即a-2时,函数在-1,1上是减函数,练习：若x，求函数 y=x2+ax+3的最小值：,当a-2时,f(x)min=f(1)=4+a,当-2a2时,当a2时,f(x)min=f(-1)=4-a,练习：若x，求函数 y=x2+ax+3的最小值：,评注：此题属于“轴动区间定”的问题，看作对称轴沿x轴移动的过程中,函数最值的变化,即对称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定区间上变化情况,要注意开口方向及端点情况。,练习:已知x2+2x+a4在x 0，2上恒成立，求a的值。,解:令f(x)=x2+2x+a它的对称轴为x=1，,f(x)在0，2上单调递增，,f(x)的最小值为f(0)=a，即a 4,课堂小结,1.闭区间上的二次函数的最值问题求 法 2.含参数的二次函数最值问题：轴动区间定 轴定区间动,核心：区间与对称轴的相对位置,注意数形结合和分类讨论,1.已知y=x2+ax+3，x1,1，求y的最大值,练一练,已知函数 当 时，求函数的最大值.,2、,
