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1、第12章,应力状态分析和强度理论,12-1 应力状态概念 一 一点的应力状态 1 一点的应力状态概念.,2 一点的应力状态的表示方法(1)空间应力状态:9个分量6个独立.(2)平面应力状态:4个分量3个独立.(3)单向应力状态:1个分量.,一点的应力状态:一个点各个方向面上的应力情况,面的概念:过一点哪个方向面上的的应力.,点的概念:指明是哪点的应力,二 主平面和主应力 主平面:单元体上无剪应力作用的方向面.主应力:主平面上的正应力.约定 1 2 3 主方向:主平面外法线方向.或平行于主应力的方向.,三 应力状态分类 按主应力不为零个数划分为:简单应力状态:单向应力状态1个主应力不为零.复杂应
2、力状态:二向应力状态2个主应力不为零.三向应力状态3个主应力不为零.,12-2 二向和三向应力状态实例,圆形薄壁容器(tD/20)其内压为p,筒底总压力,为二向应力状态=1=2,12-3 二向应力状态分析解析法1 斜截面上的应力,FN=0,dA+xy dAcossin-xdAcoscos+yx dAsincos-y dAsin sin=0,FT=0,dA-xy dAcoscos-xdAcossin+yx dAsin sin+y dAsin cos=0,FT=0,dA-xy dAcoscos-xdAcossin+yx dAsin sin+y dAsin cos=0,FN=0,dA+xy dAco
3、ssin-xdAcoscos+yx dAsincos-y dAsin sin=0,2 主平面和主应力,代入斜截面公式,求得主应力,令,取主方位角 0和0+/2,直接判定法:把单元体对称分为四个象限,剪应力箭头所指交线象限内的主方位角对应的主应力为极大值,另一个为极小值.,主方位角和主应力的对应关系的判定方法直接判定法,3 极大极小剪应力及其所在平面,取极大极小剪应力所在平面方位角1和1+/2,令,代入斜截面公式,求得极大极小剪应力,4 讨论(1),(2),(3),*12.4 二向应力状态分析图解法 1 应力圆(莫尔圆),二式平方,称为应力圆方程,也称为莫尔圆.其中,为变量.,相加得,2 应力圆
4、的画法,确定x平面及其应力大小所在位置D 按比例量取OA=x,AD=xy,确定D点.,(2)确定y平面及其应力大小所在位置D 按比例量取OB=y,BD=yx,确定D点.,(3)确定圆心位置,画应力圆 连接DD交轴于C,以为 CD半径画应力圆.,D(xxy),D(yyx),C,A,B,O,E(),F,圆心座标,半径,1,2,已知:x=80MPa,y=-40MPa,xy=-60MPa,yx=60MPa.求:(1)画出单元体;(2)主应力;(3)主方向.,解:(1)画出单元体,(2)解析法,0=22.50或者 112.50,主单元体图示,(3)图解法作应力圆图示量得1=105MPa,3=-65MPa
5、,0=22.50或者 112.50,任意形状的薄平板（厚度为常数）周边受法向压力q（N/m2)。试证明其内部任一点均处于均匀受压状态。,解：取三角形单元图示,12.5 三向应力状态*一 应力圆方程,设斜面法线n的三个方向余弦为l,m,n且 l2+m2+n2=1(1),FX=0,pxdA-1ldA=0 FY=0,pydA 2mdA=0FZ=0,pzdA 3ndA=0,px=1l py=2 m pz=3 n,又有,总应力,(1)(2)(3)联立求解得到应力圆方程,作应力圆图示,*二 应力圆,1 三个圆周交于一点,交点座标就是斜截面上的应力.,2 三个应力圆的区域(1)l2(1-2)(1-3)0第一
6、个应力圆方程半径大于和它同心的圆周(绿色).,(2)m2(2-3)(2-1)0第二个应力圆方程半径小于和它同心的圆周(红色).,(3)n2(3-1)(3-2)0第三个应力圆方程半径大于和它同心的圆周(黄色).,3 最大最小正应力,4 主剪应力,三个圆周围成的区域中任一点D 表示任意斜截面上的应力.,*12.6平面应变状态分析一 平面应变状态分析,在xoy座标下应变为x y xy 旋转角度在xoy座标下应变为,比较转轴公式,比较斜截面应力公式,三套公式类似,二 主应变和主应变方向 主应变,主应变方向,三 应变的实测 实测中xy不易测定,可先测定三个选定方向的线应变计算,联立解出x y xy,实测
7、中常用的有 直角应变花和等应变花,12.7 广义胡克定律 1 广义胡克定律,=,+,棱边改变线应变,角度改变剪应变,以上六式称为广义胡克定律,形状改变,其中,求:梁上的载荷F.,解:K点为纯剪切应 力应力状态,已知:No.27a工字钢简支梁,在中性层的K 点与轴线成 方向贴有应变片.,K点为纯剪切应力应力状态,根据广义胡克定律,4 体积应变,变形前体积 V=dxdydz,变形后体积 V1=(1+1)(1+2)(1+3)dxdydz(1+1+2+3)dxdydz,称为体积应变,令,-体积弹性模量,-平均应力,单位体积改变,直径D40mm的铝圆柱，放置在一厚度为2mm的钢套筒内，二者之间无间歇。圆
8、柱受压力F40kN.若铝的弹性模量E270GPa,钢的弹性模量E1200GPa,泊松比0.35。试求圆筒内的周向应力。,解：圆筒的平均直径,圆筒的直径增加,铝圆柱为三向压应力状态,铝圆柱的径向应变,铝圆柱的直径增加,解得：,钢筒的周向应力为,简单应力状态比能,三向应力状态比能,*12.8 复杂应力状态的变形比能,体积改变比能,形状改变比能,例 导出各向同性线性材料常数E,G,之间的关系.解:纯剪切时 1=2=0 3=-变形比能,三向应力状态比能,两式相等,12.10 强度理论概述,一 材料的破坏形式,(1)塑性屈服,(2)脆性断裂,如:拉伸低碳钢,压缩铸铁.,如:拉伸铸铁,扭转铸铁.,二 应力
9、状态对材料破坏形式的影响,(1)拉伸带切口的低碳钢,发生脆性断裂的原因:切口尖端材料处于三向拉应力状态.,(2)压缩加围压的大理石,发生塑性屈服的原因:材料处于三向压应力状态.,应力状态的改变会影响会影响同一种材料的破坏形式.,结论:,极限应力u和u是直接由实验测得,而建立的强度条件.不考虑材料破坏的原因.,(1)提出假说 例如:常用的四个强度理论就基于如下假说 a 材料的某一破坏是由某一特定因素引起的.b 无论是简单应力状态还是复杂应力状态下,某种类型的破坏 是由同一因素引起的.于是可以用简单应力状态下的结果建 立复杂应力状态下的强度条件.,(2)建立强度准则,(3)实践检验,三 强度条件的
10、建立,1 简单应力条件下的强度条件,2 复杂应力条件下的强度条件,12.9 常用的四个强度理论,实用范围:脆性材料,如铸铁,陶瓷,工具钢等.,1 最大拉应力理论(第一强度理论),强度条件,引起材料破坏的主要因素:,实用范围:脆性材料,如合金,铸铁,石料等.脆性材料在二向压缩和二向拉伸情况下此理论误差较大.,2 最大伸长线应变理论(第二强度理论)引起材料破坏的主要因素:max=1=u,简单应力状态下,复杂应力状态下,强度条件,实用范围:塑性材料,如A3,45钢,銅,铝等.,引起材料破坏的主要因素:,简单应力状态下,复杂应力状态下,强度条件,3 最大剪应力理论(第三强度理论),实用范围:塑性材料,
11、如A3,45钢,銅,铝等.,4 形状改变比能理论(第四强度理论)引起材料破坏的主要因素:,简单应力状态下,复杂应力状态下,强度条件,1=s 2=0 3=0,5 相当应力,其中 i=1、2、3、4,试按强度理论建立纯剪切应力状态的强度条件,并寻求许用剪应力与许用拉应力之间的关系.,解:纯剪切实为二向拉压应力状态:1=2=0 3=-,脆性材料,第一强度理论,第二强度理论 1-(2+3),取=0.25,=(0.8-1.0),+=(1+),1=,第三强度理论,=0.5,第四强度理论,0.6=0.6,=(0.5-0.6),塑性材料,1-3+=2,12.7(c)12.8(b)(d)12.912.1112.1412.17(应为),作业,
