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1、,对于二阶常系数齐次线性差分方程,(2),根据通解的结构定理，为了求出其通解，只需求出 它的两个线性无关的特解，然后作它们的线性组合，即得通解.,显然,原方程(2)可以改写成,(3),由此我们可以看出,可用指数函数 来尝试求,看是否可以找到适当的常数,使 满足方程(2).,令,代人方程(2),得,一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解,又因,即得,(4),称它为齐次方程的特征方程,特征方程的根简称为特 征根,由此可见,为齐次方程(2)的特解的充要 条件为 是特征方程(4)的根.,和二阶常系数齐次线性微分方程一样,根据特征根 的三种不同情况,可分别确定出齐次方程(2)的通解.,1.若特征方程(4)
2、有两个不相等的实根 与,此 时 与;是齐次方程(2)的两个特解,且线性无关.于是齐次差分方程(2)的通解为,(为任意常数),2.若特征方程(4)有两个相等的实根 此时得齐次差分方程(2)的一个特解,为求出另一个与 线性无关的特解,不妨令(不为常数),将它代人齐次差分方程(2)得,由于,故,将之改写为,即,由于 是特征方程(4)的二重根,因此 且,于是得出,显然 是可选取的函数中的最简单的一个,于是 可得差分方程(2)的另一个解为,从而差分方程(2)的通解为,(为任意常数),3.若特征方程(4)有一对共轭复根,这时,可以验证差分方程(2)有两个线性无关的解:,其中,从而差 分方程(2)的通解为,
3、(为任意常数),从上面的讨论看出，求解二阶常系数齐次线性差分 方程的步骤和求解二阶常系数齐次线性微分方程的步 骤完全类似，我们将它总结如下:,第一步 写出差分方程(2)的特征方程,(4),第二步 求特征方程(4)的二个根,第三步 根据特征方程(4)的两个根的不同情形，写 出差分方程(2)的通解.,(可见教材 的表),例1 求差分方程 的通解.,解 特征方程,有两个不相等的实根 从而原方程的通 解为,(为任意常数),例2 求差分方程 的通解.,解 原方程可改写成如下形式,它有两个相等的实根 所以原方程的通解 为,(为任意常数),其特征方程为,例3 求差分方程 的满足初始条 件 的特解.,解,特征
4、方程为,先求所给二阶常系数齐次线性差分方程的通解，,特征方程的根为,于是,故原方程的通解为,(为任意常数),由初始条件 得,故所求特解为,二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解,对于二阶常系数非齐次线性差分方程,(1),根据通解的结构定理,求差分方程(1)的通解,归结为 求对应的齐次方程,的通解和非齐次方程(1)本身的一个特解.由于二阶常 系数齐次线性差分方程通解的求法前面已得到解决,所以这里只需讨论求二阶常系数非齐次线性差分方程,的一个特解 的方法.,在实际经济应用中,方程(1)的右端 f(x)的常见类型 是,(为常数,0 且 1)两种类型.,(表示 n 次多项式)及,下面我们介绍用待定系数
5、法求 f(x)为上述两种情形 时 的求法.,此时,方程(1)为,可改写为,设 是它的解,代人上式,即得,由于 是一个已知的多项式,因此 应该也是一个,多项式.由于齐次方程(2)的特征方程为,因此,(1)若 1 不是特征方程的根,即 1+a+b 0,那么说,明 应是一个 n 次多项式,于是令,把它代入方程,比较两边同次幂的系数,便可求出,从而求得,(2)若 1 是特征方程的单根,即 1+a+b 0,且 2+a 0,那么 是一个 n 次多项式,即说明 应是一个 n+1 次多项式,于是令,将之代人方程,比较两边同次幂的系数,便可确定出,从而求得,(3)如果 1 是特征方程的二重根,即有 1+a+b=
6、0,且 2+a=0,那么 应是一个 n 次多项式,即说明 应是一个 n+2 次多项式,于是令,把它代人方程,比较两边同次幂的系数,便可确定,从而可求得,综上所述,可得如下结论:,的特解,其中 是与 同次(n 次)的待定多项式,而 k 的取值如下确定:,(1)若 1 不是特征方程的根,是 k=0;(2)若 1 是特征方程的单根,是 k=1;(3)若 1 是特征方程的二重根,是 k=2.,例4 求差分方程 的通解.,解(1)先求对应的齐次方程,的通解,特征方程为,特征方程的根为 于是,(2)再求原方程的一个特解,由于 1 不是特征方程的根,于是令,代人原方程得,解得 于是,(3)原方程的通解为,(
7、为任意常数),例6 求差分方程 的一个特解.,解 所给差分方程对应的齐次方程的特征方程为,由于 1 是特征方程的二重根,于是令特解为,代人原方程得,解出 a=4.于是,(为常数且 0,1),此时,方程(1)成为,引入变换,令 则原方程化为,即,这是右端为一个 n 次多项式的情况.,按前面所讨论的方法,即可求出 从而,例6 求差分方程 的通解.,解(1)先求对应的齐次方程,的通解 其特征方程为 特征方程的根,为 故,(2)再求原方程的一个特解 由于 故令 代人原方程得,下面先求这个方程的一个特解,由于该方程所对应的齐次方程的特征方程为,其根为 因为 1 是特征方程的单根,于,是令,将它代人方程 并比较同次幂,的系数,得 于是,因此,(3)原方程的通解为,(为任意常数),本节结束,
