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1、2023/3/8,鲁棒控制理论,第二章 信号和系统的范数,2023/3/8,描述一个控制系统性能的方法之一是用某些我们感兴趣的信号的大小来表示。本章考察几种定义信号大小的方法（即信号的几种范数）介绍系统传递函数的范数给出两个非常有用的表，概括了输入-输出范数关系。,2023/3/8,2.1 信号的范数,范数的4条性质1、2、3、4、,考察从（-，）映射到R的信号。假定它们是连续分段的，当然在t0可以是0（即该信号从t=0时刻开始）。,三角不等式,2023/3/8,几种范数的定义,1-范数定义2-范数定义,-范数定义功率信号*u的平均功率pow(u),信号的时间累积量,信号所携的总能量,信号的最
2、大幅值,2023/3/8,范数之间的关系问题：一种范数有限是否意味着其他范数也有限？,*如果，那么 u是一功率信号，且证明：假定u的2-范数有限，则当，上面的不等式右边趋于0,2023/3/8,*如果 u是一功率信号且，那么证明：因成立，令，得到所求。,2023/3/8,如果，且，那么因而有证明：,2023/3/8,集合包含关系(Venn图),2023/3/8,例1它的1-范数有限：它的2-范数无限，因为 1/t 的积分在区间 0,1 是发散的同理，也不是功率信号又因 u1 是无界的，因此|u1|是无限的,2023/3/8,例2它的1-范数存在它的2-范数存在它的-范数不存在,2023/3/8
3、,例3它的1-范数不存在它的2-范数不存在它的-范数存在,2023/3/8,2.2 系统的范数,考察线性时不变的、因果的、有限维系统，其输入输出模型令 表示传递函数，即G的Laplace变换。系统的性质：因果性(Causal):现在系统的输出y由过去的输入决定的 t0，G(t)=0有限维：是实有理函数稳定性正则性,2023/3/8,稳定的如果 在闭右半平面（Re s0）解析，或在Re s0无极点正则的 Proper如果 是有限的（分母的阶次大于等于分子的阶次）严格正则的 Strictly Proper如果（分母的阶次大于分子的阶次）双正则的 Bi-proper如果 和 两个都是正则的（分母阶次
4、等于分子介词）,2023/3/8,Parseval定理设，记则传递函数的范数1-范数,传递函数 的范数,2023/3/8,2-范数-范数,2023/3/8,传递函数范数的存在性问题：什么时候这两个范数是有限的？,引理1：的2-范数是有限的，当且仅当 是严格正则的，且无极点在虚轴上；的-范数是有限的，当且仅当 是正则的，且无极点在虚轴上。,2023/3/8,证明：假定 是严格正则的，无极点在虚轴上，那么其Bode幅频特性图在高频下降。不难看出，对于充分大的正数K和充分小的正数T，的Bode图必定高于 的Bode图，即但 的2-范数有限，且其2-范数等于，因此 有有限的2-范数。其余的证明与此类似
5、。,看看更详细证明,下一部分内容,2023/3/8,引理1的更详细证明,关于2-范数充分性：若 严格正则，且无极点在虚轴上，则若取令K充分大，T充分小（曲线充分平坦），则必有,充分性得证。,2023/3/8,必要性：（反证法）若 存在虚轴上的极点，则在极点处则若 不是严格正则，则若 是双正则的，若 不是正则的，必要性得证。关于-范数，类似可得证。,2023/3/8,如何计算2-范数,按定义 假设 是严格正则的，且无极点在虚轴上（因而它的2-范数有限），有最后的积分是沿虚轴向上，然后沿包围左半平面的无穷大半圆的回路积分。因为 是严格正则的，故沿无穷大半圆的积分等于0。根据留数定理，等于 在它的左
6、半平面极点上的留数的和。,2023/3/8,例4已知 在左半平面的极点是在这一极点上的留数等于因此,2023/3/8,如何计算-范数,计算-范数需要搜索。设一系列稠密的频率点 的估计值为另一方法是通过解方程找到 的最大值的位置。因为 是有理的，这个导数可以用公式算出，然后就只需计算导出的多项式的根。,2023/3/8,例5考察观察其Bode幅频特性图：当，它是递增的（高通），反之，它是递减的（低通）。于是,2023/3/8,2.3 输入-输出关系,问题：如果我们知道输入信号的大小，那么输出会是多大？考察一个线性系统，输入为，输出为，传递函数为，假定它是稳定的和严格正则的。结果概括在表2.1和表
7、2.2中,2023/3/8,表2.1 对两种输入的输出范数和pow,2023/3/8,表2.2系统增益,2023/3/8,两表的典型应用及意义,假定在控制系统的分析或设计中除了其他因素外，要求干扰的影响减弱。设被控系统有一干扰输入u，它对对象输出y的影响是相当小的。令G是从u到y的脉冲响应。我们总是要求被控系统是稳定的，因而传递函数 是稳定的。通常情况下它也是严格正则的（或至少是正则的）。这两个表告诉我们在各种意义下u对y的影响有多大。例如，如果u是一个固定频率的正弦信号（可能来自于60Hz的功率源），那么表2.1的第二列给出了三种意义下y的相对大小。更一般的情况是干扰信号预先未知，因此表2.2更有意义。,2023/3/8,定理：设 稳定，且严格正则，则对于所有2-范数存在的u，有(1)(2)证明：(1)由，且(Parseval定理)，有即,表2.2的（1，1）项,表2.2的（1，2）项,2023/3/8,下面证明 是最小上界选择，使不失一般性，设。选择，满足则当,充分小的正数，使得,2023/3/8,证明：(2)由或,Cauchy-Schwarz不等式,Parseval定理,2023/3/8,下面证明 是最小上界选择则有则 所以,
