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1、1.1 均匀传输线方程及其解1.2 传输线阻抗与状态参量1.3 无耗传输线的状态分析1.4 传输线的传输功率、效率与损耗1.5 阻抗匹配1.6 史密斯圆图及其应用1.7 同轴线的特性阻抗习 题,第1章 均匀传输线理论,第 1章 均匀传输线理论,微波传输线是用以传输微波信息和能量的各种形式的传输系统的总称,它的作用是引导电磁波沿一定方向传输,因此又称为导波系统,其所导引的电磁波被称为导行波。一般将截面尺寸、形状、媒质分布、材料及边界条件均不变的导波系统称为规则导波系统,又称为均匀传输线。把导行波传播的方向称为纵向,垂直于导波传播的方向称为横向。无纵向电磁场分量的电磁波称为横电磁波，即TEM波。另
2、外,传输线本身的不连续性可以构成各种形式的微波无源元器件,这些元器件和均匀传输线、有源元器件及天线一起构成微波系统。,微波传输线大致可以分为三种类型。第一类是双导体传输线,它由两根或两根以上平行导体构成,因其传输的电磁波是横电磁波（TEM波）或准TEM波,故又称为TEM波传输线,主要包括平行双线、同轴线、带状线和微带线等,如图 1-1(a)所示。第二类是均匀填充介质的金属波导管,因电磁波在管内传播,故称为波导,主要包括矩形波导、圆波导、脊形波导和椭圆波导等,如图 1-1(b)所示。第三类是介质传输线,因电磁波沿传输线表面传播,故称为表面波波导,主要包括介质波导、镜像线和单根表面波传输线等,如图
3、 1-1(c)所示。,图 1-1 各种微波传输线(a)双导体传输线；(b)波导;(c)介质传输线,对均匀传输线的分析方法通常有两种:一种是场分析法,即从麦克斯韦尔方程出发,求出满足边界条件的波动解,得出传输线上电场和磁场的表达式,进而分析传输特性;第二种是等效电路法,即从传输线方程出发,求出满足边界条件的电压、电流波动方程的解,得出沿线等效电压、电流的表达式,进而分析传输特性。前一种方法较为严格,但数学上比较繁琐,后一种方法实质是在一定的条件下“化场为路”,有足够的精度,数学上较为简便,因此被广泛采用。,1.1 均匀传输线方程及其解,1.均匀传输线方程 由均匀传输线组成的导波系统都可等效为如图
4、 1-2（a）所示的均匀平行双导线系统。其中传输线的始端接微波信号源（简称信源）,终端接负载,选取传输线的纵向坐标为z,坐标原点选在终端处,波沿负z方向传播。在均匀传输线上任意一点z处,取一微分线元z（z）,该线元可视为集总参数电路,其上有电阻Rz、电感Lz、电容Cz和漏电导Gz(其中R,L,C,G分别为单位长电阻、单位长电感、单位长电容和单位长漏电导),得到的等效电路如图 1-2（b）所示,则整个传输线可看作由无限多个上述等效电路的级联而成。有耗和无耗传输线的等效电路分别如图 1-2（c）、（d）所示。,图 1-2 均匀传输线及其等效电路(a)均匀平行双导线系统;(b)均匀平行双导线的等效电
5、路;(c)有耗传输线的等效电路;(d)无耗传输线的等效电路,这就是均匀传输线方程，也称电报方程。对于时谐电压和电流,可用复振幅表示为 u(z,t)=ReU(z)e jt i(z,t)=ReI(z)e jt,(1-1-4),式中,Z=R+jL,Y=G+jC,分别称为传输线单位长串联阻抗和单位长并联导纳。,(1-1-5),将上式代入（1-1-3）式,即可得时谐传输线方程,2.均匀传输线方程的解 将式（1-1-5）第1式两边微分并将第 2 式代入,得,同理可得,令 2=ZY=(R+jL)(G+jC),则上两式可写为 显然电压和电流均满足一维波动方程。电压的通解为,U(z)=U+(z)+U-(z)=A
6、1e+z+A2e z(1-1-7a),(1-1-6),式中,A1,A2为待定系数,由边界条件确定。,利用式（1-1-5）,可得电流的通解为,(1-1-7b,式中,令=+j,则可得传输线上的电压和电流的瞬时值表达式为,(1-1-8),由上式可见,传输线上电压和电流以波的形式传播,在任一点的电压或电流均由沿-z方向传播的行波（称为入射波）和沿+z方向传播的行波（称为反射波）叠加而成。现在来确定待定系数,由图 1-2（a）可知,传输线的边界条件通常有以下三种:已知终端电压Ul和终端电流Il;已知始端电压Ui和始端电流Ii;已知信源电动势Eg和内阻Zg以及负载阻抗Zl。,3.传输线的工作特性参数 1)
7、特性阻抗Z0 将传输线上导行波的电压与电流之比定义为传输线的特性阻抗,用Z0来表示,其倒数称为特性导纳,用Y0来表示。由定义得由式（1-1-6）及（1-1-7）得特性阻抗的一般表达式为,(1-1-13),可见特性阻抗Z0通常是个复数,且与工作频率有关。它由传输线自身分布参数决定而与负载及信源无关,故称为特性阻抗。对于均匀无耗传输线,R=G=0,传输线的特性阻抗为 此时,特性阻抗Z0为实数,且与频率无关。,(1-1-14),可见,损耗很小时的特性阻抗近似为实数。对于直径为d、间距为D的平行双导线传输线,其特性阻抗为,式中,r为导线周围填充介质的相对介电常数。常用的平行双导线传输线的特性阻抗有25
8、0,400和600三种。,(1-1-15),(1-1-16),当损耗很小,即满足RL、GC时，有,对于内、外导体半径分别为a、b的无耗同轴线,其特性阻抗为,(1-1-17),式中,r为同轴线内、外导体间填充介质的相对介电常数。常用的同轴线的特性阻抗有50 和75两种。,2)传播常数 传播常数 是描述传输线上导行波沿导波系统传播过程中衰减和相移的参数,通常为复数,由前面分析可知,(1-1-18),式中,为衰减常数,单位为dB/m(有时也用Np/m,1Np/m=8.86 dB/m);为相移常数,单位为rad/m。,对于无耗传输线,R=G=0,则=0,此时=j,=。对于损耗很小的传输线,即满足RL、
9、GC时,有,于是小损耗传输线的衰减常数和相移常数分别为,(1-1-19),3)相速p与波长 传输线上的相速定义为电压、电流入射波（或反射波）等相位面沿传输方向的传播速度,用p来表示。由式（1-1-8）得等相位面的运动方程为 tz=const（常数）上式两边对t微分，有,(1-1-21),传输线上的波长 与自由空间的波长 0有以下关系:=对于均匀无耗传输线来说,由于与成线性关系,故导行波的相速与频率无关,也称为无色散波。当传输线有损耗时,不再与成线性关系,使相速p与频率有关,这就称为色散特性。在微波技术中,常可把传输线看作是无损耗的,因此,下面着重介绍均匀无耗传输线。式中,Z0为无耗传输线的特性
10、阻抗,为相移常数。,(1-1-22),1.2 传输线阻抗与状态参量,1.输入阻抗 由上一节可知,对无耗均匀传输线,线上各点电压U(z)、电流I(z)与终端电压Ul、终端电流Il的关系如下,(1-2-1),式中,Z0为无耗传输线的特性阻抗;为相移常数。,定义传输线上任意一点z处的输入电压和输入电流之比为该点的输入阻抗,记作 Zin(z),即由式（1-2-1）得,(1-2-2),(1-2-3),式中,Zl为终端负载阻抗。,上式表明:均匀无耗传输线上任意一点的输入阻抗与观察点的位置、传输线的特性阻抗、终端负载阻抗及工作频率有关,且一般为复数,故不宜直接测量。另外,无耗传输线上任意相距/2处的阻抗相同
11、,一般称之为/2重复性。,例1-1一根特性阻抗为50、长度为0.1875m的无耗均匀传输线,其工作频率为200MHz,终端接有负载Zl=40+j30(),试求其输入阻抗。解:由工作频率f=200MHz得相移常数=2f/c=4/3。将Zl=40+j30(),Z0=50,z=l=0.1875及值代入式（1-2-3），有,可见,若终端负载为复数,传输线上任意点处输入阻抗一般也为复数,但若传输线的长度合适,则其输入阻抗可变换为实数,这也称为传输线的阻抗变换特性。,2.反射系数 定义传输线上任意一点z处的反射波电压（或电流）与入射波电压（或电流）之比为电压（或电流）反射系数,即,(1-2-4),由式（1
12、-1-7）知,u(z)=-i(z),因此只需讨论其中之一即可。通常将电压反射系数简称为反射系数,并记作(z)。由式（1-1-7）及（1-1-10）并考虑到=j,有,(1-2-5),(z)=|l|e j(l-2z),(1-2-6),于是有Zin(z)=Z0(1-2-8)式中,Z0为传输线特性阻抗。式(1-2-8)还可以写成(z)=(1-2-9)由此可见,当传输线特性阻抗一定时,输入阻抗与反射系数有一一对应的关系,因此,输入阻抗Zin(z)可通过反射系数(z)的测量来确定。,这与式（1-2-5）得到的结果完全一致。显然,当Zl=Z0时,l=0,即负载终端无反射,此时传输线上反射系数处处为零,一般称
13、之为负载匹配。而当ZlZ0时,负载端就会产生一反射波,向信源方向传播,若信源阻抗与传输线特性阻抗不相等时,则它将再次被反射。,当z=0时,(0)=l,则终端负载阻抗Zl与终端反射系数l的关系为,(1-2-10),对于无耗传输线,沿线各点的电压和电流的振幅不同,以/2周期变化。为了描述传输线上驻波的大小,我们引入一个新的参量电压驻波比。定义传输线上波腹点电压振幅与波节点电压振幅之比为电压驻波比,用表示：,电压驻波比有时也称为电压驻波系数,简称驻波系数,其倒数称为行波系数,用K表示。于是有,(1-2-11),(1-2-12),4.驻波比,由于传输线上电压是由入射波电压和反射波电压叠加而成的,因此电
14、压最大值位于入射波和反射波相位相同处,而最小值位于入射波和反射波相位相反处,即有|U|max=|U+|+|U-|U|min=|U+|-|U-|将式（1-2-13）代入式（1-2-11）,并利用式（1-2-4），得,(1-2-13),(1-2-14),由此可知,当|l|=0 即传输线上无反射时,驻波比=1;而当|l|=1即传输线上全反射时,驻波比,因此驻波比的取值范围为1。可见，驻波比和反射系数一样可用来描述传输线的工作状态。,于是,|l|可用表示为,(1-2-15),例1-2一根75均匀无耗传输线,终端接有负载Zl=Rl+jXl,欲使线上电压驻波比为3,则负载的实部Rl和虚部Xl应满足什么关系
15、？解:由驻波比=3,可得终端反射系数的模值应为,于是由式（1-2-10）得,将Zl=Rl+jXl,Z0=75代入上式,整理得负载的实部Rl和虚部Xl应满足的关系式为(Rl-125)2+X21=1002即负载的实部Rl和虚部Xl应在圆心为（125,0）、半径为100的圆上,上半圆对应负载为感抗,而下半圆对应负载为容抗。,1.3 无耗传输线的状态分析,1.行波状态行波状态就是无反射的传输状态,此时反射系数l=0,而负载阻抗等于传输线的特性阻抗,即Zl=Z0,也可称此时的负载为匹配负载。处于行波状态的传输线上只存在一个由信源传向负载的单向行波,此时传输线上任意一点的反射系数(z)=0,将之代入式（1
16、-2-7）就可得行波状态下传输线上的电压和电流,(1-3-1),设A1=|A1|ej0,考虑到时间因子ejt,则传输线上电压、电流瞬时表达式为 u(z,t)=|A1|cos(t+z+0)i(z,t)=cos(t+z+0),(1-3-2),此时传输线上任意一点z处的输入阻抗为,Zin(z)=Z0,综上所述,对无耗传输线的行波状态有以下结论:沿线电压和电流振幅不变,驻波比=1;电压和电流在任意点上都同相;传输线上各点阻抗均等于传输线特性阻抗。,2.纯驻波状态 纯驻波状态就是全反射状态,也即终端反射系数|l|=1。在此状态下,由式（1-2-10），负载阻抗必须满足,(1-3-3),由于无耗传输线的特
17、性阻抗Z0为实数,因此要满足式（1-3-3）,负载阻抗必须为短路（Zl=0）、开路（Zl）或纯电抗（Zl=jXl）三种情况之一。在上述三种情况下,传输线上入射波在终端将全部被反射,沿线入射波和反射波叠加都形成纯驻波分布,唯一的差异在于驻波的分布位置不同。下面以终端短路为例分析纯驻波状态。,终端负载短路时,即负载阻抗Zl=0,终端反射系数l=-1,而驻波系数,此时,传输线上任意点z处的反射系数为(z)=-e j2z,将之代入式（1-2-7）并经整理得,(1-3-4),设A1=|A1|ej0,考虑到时间因子e jt,则传输线上电压、电流瞬时表达式为 u(z,t)=2|A1|cos(t+0+)sin
18、z i(z,t)=cos(t+0)cosz,此时传输线上任意一点z处的输入阻抗为,(1-3-5),Zin(z)=jZ0tanz,(1-3-6),图 1-3 给出了终端短路时沿线电压、电流瞬时变化的幅度分布以及阻抗变化的情形。对无耗传输线终端短路情形有以下结论:沿线各点电压和电流振幅按余弦变化,电压和电流相位差 90,功率为无功功率,即无能量传输;在z=n/2(n=0,1,2,)处电压为零,电流的振幅值最大且等于2|A1|/Z0,称这些位置为电压波节点,在z=(2n+1)/4(n=0,1,2,)处电压的振幅值最大且等于2|A1|,而电流为零,称这些位置为电压波腹点;,图 1-3 终端短路线中的纯
19、驻波状态,传输线上各点阻抗为纯电抗,在电压波节点处Zin=0,相当于串联谐振,在电压波腹点处|Zin|,相当于并联谐振,在0z/4内,Zin=jX相当于一个纯电感,在/4z/2内,Zin=-jX相当于一个纯电容，从终端起每隔/4阻抗性质就变换一次,这种特性称为/4阻抗变换性。根据同样的分析,终端开路时传输线上的电压和电流也呈纯驻波分布,因此也只能存储能量而不能传输能量。在z=n/2(n=0,1,2,)处为电压波腹点,而在z=(2n+1)/4(n=0,1,2,)处为电压波节点。实际上终端开口的传输线并不是开路传输线,因为在开口处会有辐射,所以理想的终端开路线是在终端开口处接上/4短路线来实现的。
20、图1-4给出了终端开路时的驻波分布特性。O位置为终端开路处,OO为/4短路线。,图 1-4 无耗终端开路线的驻波特性,当均匀无耗传输线端接纯电抗负载Zl=jX时,因负载不能消耗能量,仍将产生全反射,入射波和反射波振幅相等,但此时终端既不是波腹也不是波节,沿线电压、电流仍按纯驻波分布。由前面分析得小于/4的短路线相当于一纯电感,因此当终端负载为Zl=jXl的纯电感时,可用长度小于/4的短路线lsl来代替。由式（1-3-6）得,(1-3-8),(1-3-7),同理可得,当终端负载为Zl=-jXC的纯电容时,可用长度小于/4的开路线loc来代替（或用长度为大于/4小于/2的短路线来代替）,其中:,图
21、 1-5 给出了终端接电抗时驻波分布及短路线的等效。总之,处于纯驻波工作状态的无耗传输线,沿线各点电压、电流在时间和空间上相差均为/2,故它们不能用于微波功率的传输,但因其输入阻抗的纯电抗特性,在微波技术中却有着非常广泛的应用。,3.行驻波状态 当微波传输线终端接任意复数阻抗负载时,由信号源入射的电磁波功率一部分被终端负载吸收,另一部分则被反射,因此传输线上既有行波又有纯驻波,构成混合波状态,故称之为行驻波状态。,图 1-5 终端接电抗时驻波分布,图 1-6 给出了行驻波条件下传输线上电压、电流的分布。,设A1=|A1|e j0,则传输线上电压、电流的模值为|U(z)|=|A1|1+|l|2+
22、2|l|cos(l-2z)1/2|I(z)|=1+|l|2-2|l|cos(l-2z)1/2 传输线上任意点输入阻抗为复数,其表达式为,(1-3-11),(1-3-12),图 1-6 行驻波条件下传输线上电压、电流的分布,讨论:当cos(l-2z)=1时,电压幅度最大,而电流幅度最小,此处称为电压的波腹点,对应位置为,可见，电压波腹点和波节点相距/4,且两点阻抗有如下关系:,RmaxRmin=Z02,实际上,无耗传输线上距离为4的任意两点处阻抗的乘积均等于传输线特性阻抗的平方,这种特性称之为/4阻抗变换性。,将上式对Z0求导,并令其为零,经整理可得 402+302-Z02=0即Z0=50。这就
23、是说,当特性阻抗Z0=50时终端反射系数最小,从而驻波比也为最小。,由于终端为容性负载,故离终端的第一个电压波节点位置为,终端负载一定时,传输线特性阻抗与驻波系数的关系曲线如图 1-7 所示。其中负载阻抗Zl=40-j30()。由图可见，当Z0=50时驻波比最小,与前面的计算相吻合。,此时终端反射系数及驻波比分别为,图 1-7 特性阻抗与驻波系数的关系曲线,1.4 传输线的传输功率、效率和损耗,(1-4-2),其中,Pin(z)为入射波功率,为反射波功率。,假设Z0为实数,l=|1|e jl，由电路理论可知，传输线上任一点z处的传输功率为,图1-8 功率传输示意图,实际上，入射波功率、反射波功
24、率和传输功率可直接由下式计算：,(1-4-3),(1-4-4),(1-4-5),终端负载在 z=0处,故负载吸收功率为,(1-4-8),设传输线总长为l,将z=l代入式（1-4-2）,则始端入射功率为,(1-4-6),由此可得传输线的传输效率为,(1-4-7),当负载与传输线阻抗匹配时,即|l|=0,此时传输效率最高,其值为 max=e-2l(1-4-9)可见,传输效率取决于传输线的损耗和终端匹配情况。,工程上，功率值常用分贝来表示，这需要选择一个功率单位作为参考，常用的参考单位有1 mW和1 W。如果用1mW作参考，则分贝表示为,P(dBm)=10 lg P(mW),如1mW=0dBm,10
25、mW=10dBm,1W=30dBm,0.1mW=-10dBm。如果用1W作参考，则分贝表示为,P(dBW)=10lgP(W),如1W=0dBW,10 W=10dBW,0.1 W=-10 dBW。,2.回波损耗和插入损耗 传输线的损耗可分为回波损耗和反射损耗。回波损耗定义为入射波功率与反射波功率之比,即,(1-4-10),(1-4-11),由式（1-4-4）得,若负载匹配,则|l|=0,Lr-,表示无反射波功率。插入损耗定义入射波功率与传输功率之比，以分贝来表示为,(1-4-13),对于无耗线,=0,Lr与z无关,即,（1-4-12）,由式（1-4-5）得：,（1-4-14）,它包括：输入和输出
26、失配损耗和其他电路损耗（导体损耗、介质损耗、辐射损耗）。若不考虑其他损耗即，则,（1-4-15）,式中，为传输线上驻波系数。此时，由于插入损耗仅取决于失配情况，故又称为失配损耗。,总之，回波损耗和插入损耗虽然都与反射信号即反射系数有关，但回波损耗取决于反射信号本身的损耗，|l|越大，则|r|越小；而插入损耗|Li|则表示反射信号引起的负载功率的减小，|l|越大，则|Li|也越大。图1-9是回波损耗|Lr|和插入损耗|Li|随反射系数的变化曲线。,图 1-9|Lr|、|Li|随反射系数的变化曲线,例 1-4现有同轴型三路功率分配器，如图1-10所示，设该功分器在2.5GHz-5.5GHz频率范围
27、内其输入端的输入驻波比均小于等于1.5，插入损耗为，设输入功率被平均地分配到各个输出端口，试计算（1）输入端的回波损耗（用分贝表示）；（2）每个输出端口得到输出功率与输入端总输入功率的比值（用百分比表示）。解（1）由于驻波比为1.5，因而反射系数的大小为,故输入端的回波损耗为,于是，,可见，由于输入失配，有4%的功率返回到输入端口。,图1-10 三路功率分配示意图,（2）设传输功率为，由于插入损耗为，故,有,该功率均匀分配到三个端口，则每个输出端口得到输出功率与输入端口总输入功率的比值应为,因此有,可见，输入功分器的功率分可分为反射功率，输出功率和损耗功率三部分。,1.5 阻抗匹配,1.传输线
28、的三种匹配状态 1)负载阻抗匹配 负载阻抗匹配是负载阻抗等于传输线的特性阻抗的情形,此时传输线上只有从信源到负载的入射波,而无反射波。匹配负载完全吸收了由信源入射来的微波功率;而不匹配负载则将一部分功率反射回去,在传输线上出现驻波。当反射波较大时,波腹电场要比行波电场大得多,容易发生击穿,这就限制了传输线能最大传输的功率,因此要采取措施进行负载阻抗匹配。负载阻抗匹配一般采用阻抗匹配器。,2)源阻抗匹配 电源的内阻等于传输线的特性阻抗时,电源和传输线是匹配的,这种电源称之为匹配源。对匹配源来说,它给传输线的入射功率是不随负载变化的,负载有反射时,反射回来的反射波被电源吸收。可以用阻抗变换器把不匹
29、配源变成匹配源,但常用的方法是加一个去耦衰减器或隔离器,它们的作用是吸收反射波。,3)共轭阻抗匹配 设信源电压为Eg,信源内阻抗Zg=Rg+jXg,传输线的特性阻抗为Z0,总长为l,终端负载为Zl,如图 1-11（a）所示,则始端输入阻抗Zin为,由图 1-11(b)可知,负载得到的功率为,(1-5-1),(1-5-2),图1-11 无耗传输线信源的共扼匹配,要使负载得到的功率最大,首先要求 Xin=-Xg(1-5-3)此时负载得到的功率为 可见当 时P取最大值,此时应满足 Rg=Rin(1-5-5),(1-5-4),因此,对于不匹配电源,当负载阻抗折合到电源参考面上的输入阻抗为电源内阻抗的共
30、轭值时,即当 时,负载能得到最大功率值。通常将这种匹配称为共轭匹配。此时，负载得到的最大功率为,综合式（1-5-3）和（1-5-5）得,(1-5-6),(1-5-7),2.阻抗匹配的方法 对一个由信源、传输线和负载阻抗组成的传输系统(如图 1-11（a）所示),希望信号源在输出最大功率的同时，负载全部吸收,以实现高效稳定的传输。因此一方面应用阻抗匹配器使信源输出端达到共轭匹配,另一方面应用阻抗匹配器使负载与传输线特性阻抗相匹配,如图 1-12 所示。由于信源端一般用隔离器或去耦衰减器以实现信源端匹配,因此我们着重讨论负载匹配的方法。阻抗匹配方法从频率上划分为窄带匹配和宽带匹配，从实现手段上划分
31、为串联/4阻抗变换器法、支节调配器法。下面就来分别讨论两种阻抗匹配方法。,图 1-12 传输线阻抗匹配方法示意图,1)/4阻抗变换器法 当负载阻抗为纯电阻Rl且其值与传输线特性阻抗Z0不相等时,可在两者之间加接一节长度为/4、特性阻抗为Z01的传输线来实现负载和传输线间的匹配,如图 1-11（a）所示。,图 1-13/4阻抗变换器,由无耗传输线输入阻抗公式得,(1-5-8),因此当传输线的特性阻抗时,输入端的输入阻抗Zin=Z0,从而实现了负载和传输线间的阻抗匹配。由于传输线的特性阻抗为实数,所以/4阻抗变换器只适合于匹配电阻性负载;若负载是复阻抗,则需先在负载与变换器之间加一段传输线,使变换
32、器的终端为纯电阻,然后用/4阻抗变换器实现负载匹配,如图 1-11（b）所示。由于/4阻抗变换器的长度取决于波长,因此严格说它只能在中心频率点才能匹配,当频偏时匹配特性变差,所以说该匹配法是窄带的。,2)支节调配器法（1）串联单支节调配器 设传输线和调配支节的特性阻抗均为Z0,负载阻抗为Zl,长度为l2的串联单支节调配器串联于离主传输线负载距离l1处,如图 1-12 所示。设终端反射系数为|l|ejl,传输线的工作波长为,驻波系数为,由无耗传输线状态分析可知,离负载第一个电压波腹点位置及该点阻抗分别为,(1-5-9),图 1-14 串联单支节调配器,令l1=l1-lmax1,并设参考面AA处输
33、入阻抗为Zin1,则有,终端短路的串联支节输入阻抗为,则总的输入阻抗为,(1-5-10),(1-5-12),Zin2=jZ0 tan(l2),(1-5-11),要使其与传输线特性阻抗匹配,应有 R1=Z0 X1+Z0 tan(l2)=0(1-5-13)经推导可得(取其中一组解),(1-5-14a),其中,Zl由式（1-5-9）决定。式(1-5-14a)还可写成,其中,为工作波长。而AA距实际负载的位置l1为 l1=l1+lmax1(1-5-15)由式（1-5-14）及（1-5-15）就可求得串联支节的位置及长度。,(1-5-14b),例 1-5设无耗传输线的特性阻抗为50,工作频率为300MH
34、z,终端接有负载Zl=25+j75(),试求串联短路匹配支节离负载的距离l1及短路支节的长度l2。解:由工作频率f=300MHz,得工作波长=1m。终端反射系数,驻波系数,第一波腹点位置,调配支节位置,调配支节的长度,或,（2）并联调配器 设传输线和调配支节的特性导纳均为Y0,负载导纳为Yl,长度为l2的单支节调配器并联于离主传输线负载l1处,如图1-15所示。设终端反射系数为|l|e jl,传输线的工作波长为,驻波系数为,由无耗传输线状态分析可知，离负载第一个电压波节点位置及该点导纳分别为,图 1-15 并联单支节调配器,(1-5-17),令,并设参考面AA处的输入导纳为Yin1,则有,终端
35、短路的并联支节输入导纳为,(1-5-18),则总的输入导纳为,(1-5-19),G1=Y0 B1 tan(l2)-Y0=0,由此可得其中一组解为,(1-5-20),要使其与传输线特性导纳匹配,应有,(1-5-21a),其中,Yl由式（1-5-17）决定。式(1-5-21a)还可写成,而AA距实际负载的位置l1为 l1=l 1+lmin1,(1-5-22),另一组解为,(1-5-21b),1.6 史密斯圆图及其应用,1.阻抗圆图由公式(1-2-8)传输线上任意一点的反射函数(z)可表达为,（1-6-1）,其中，为归一化输入阻抗。为一复数，它可以表示为极坐标形式，也可以表示成直角坐标形式。当表示为
36、极坐标形式时，对于无耗线，有,（1-6-2）,图1-16 反射系数极坐标表示,图1-17 反射系数圆图,对于任一个确定的负载阻抗的归一化值，都能在圆图中找到一个与之相对应的点，这一点从极坐标关系来看，也就代表了。它是传输线终端接这一负载时计算的起点。当将(z)表示成直角坐标形式时，有,(1-6-3),传输线上任意一点归一化阻抗为：,(1-6-4),令，则可得以下方程：,(1-6-5),这两个方程是以归一化电阻和归一化电抗为参数的两组圆方程。方程(1-6-5)的第1式为归一化电阻圆(resistance circle)，见图1-18(a)；第2式为归一化电抗圆(reactance circle)
37、，见图1-18(b)。,图 1-18 归一化等电阻和电抗圆(a)归一化电阻圆；(b)归一化电抗圆,电阻圆的圆心在实轴(横轴)(1/(1+r),0)处，半径为1/(1+r)，r愈大圆的半径愈小。当r=0时，圆心在(0,0)点，半径为1；当r时，圆心在(1，0)点，半径为零。电抗圆的圆心在(1,1/x)处，半径为1/x。由于x可正可负，因此全簇分为两组，一组在实轴的上方，另一组在下方。当x=0时，圆与实轴相重合；当x时，圆缩为点(1，0)。将上述的反射系数圆图、归一化电阻圆图和归一化电抗圆图画在一起，就构成了完整的阻抗圆图，也称为史密斯圆图。在实际使用中，一般不需要知道反射系数的情况，故不少圆图中
38、并不画出反射系数圆图。,由上述阻抗圆图的构成可以知道：在阻抗圆图的上半圆内的电抗x0呈感性，下半圆内的电抗x0呈容性。实轴上的点代表纯电阻点，左半轴上的点为电压波节点，其上的刻度既代表rmin又代表行波系数K，右半轴上的点为电压波腹点，其上的刻度既代表rmax又代表驻波比。圆图旋转一周为/2。,|=1的圆周上的点代表纯电抗点。实轴左端点为短路点，右端点为开路点，中心点处有，是匹配点。在传输线上由负载向电源方向移动时，在圆图上应顺时针旋转；反之，由电源向负载方向移动时，应逆时针旋转。,2导纳圆图根据归一化导纳与反射系数之间的关系可以画出另一张圆图，称作导纳圆图。实际上，由无耗传输线的的阻抗变换特
39、性，将整个阻抗圆图旋转即得到导纳圆图。因此，一张圆图理解为阻抗圆图还是理解为导纳圆图，视具体解决问题方便而定。比如，处理并联情况时用导纳圆图较为方便，而处理沿线变化的阻抗问题时使用阻抗圆图较为方便。现在来说明阻抗圆图如何变为导纳圆图。,由归一化阻抗和导纳的表达式,(1-6-6),(1-6-7),式（1-6-7）中，g是归一化电导，b是归一化电纳。将归一化阻抗表示式中的，则，也就是，阻抗圆图变为导纳圆图。由于，所以让反射系数圆在圆图上旋转180，本来在阻抗圆图上位于A点的归一化阻抗，经过变换，则A点移到B点，B点代表归一化导纳在导纳圆图上的位置如图1-19所示。,图1-19 作 变换在圆图上的表
40、示,由于，即当x=0时g=1/r，当r=0时b=1/x，所以阻抗圆图与导纳圆图有如下对应关系：当实施-变换后，匹配点不变，r=1的电阻圆变为g=1的电导圆，纯电阻线变为纯电导线；x=1的电抗圆弧变为b=1的电纳圆弧，开路点变为短路点，短路点变为开路点；上半圆内的电纳b0呈容性；下半圆内的电纳b0呈感性。阻抗圆图与导纳圆图的重要点、线、面的对应关系如图1-20和图1-21所示。,图 1-20 阻抗圆图上的重要点、线、面,图 1-21 导纳圆图上的重要点、线、面,例1-6 已知传输线的特性阻抗Z0=50，如图1-22所示。假设传输线的负载阻抗为Zl=25+j25，求离负载z=0.2处的等效阻抗。,
41、图 1-22 Smith圆图示例一,解：先求出归一化负载阻抗，在圆图上找出与此相对应的点P1,以圆图中心点O为中心，以OP1为半径，顺时针(向电源方向)旋转0.2到达P2点，查出P2点的归一化阻抗为2-j1.04，将其乘以特性阻抗即可得到z=0.2处的等效阻抗为100-j52。,例 1-7 在特性阻抗Z0=50的无耗传输线上测得驻波比=5，电压最小点出现在z=/3处，如图1-23所求负载阻抗。,图 1-23 Smith圆图示例二,解：电压波节点处等效阻抗为一纯电阻 此点落在圆图的左半实轴上，从rmin=0.2点沿等(=5)的圆反时针(向负载方向)转/3，得到归一化负载为,故负载阻抗为,用圆图进
42、行支节匹配也是十分方便的，下面举例来说明。,例1-8设负载阻抗为Zl=100+j50接入特性阻抗为Z0=50的传输线上，如图1-24所示，要用支节调配法实现负载与传输线匹配，试用Smith圆图求支节的长度l及离负载的距离d。,图 1-24 Smith圆图示例三,解：归一化负载阻抗，它在圆图上的位于P1点，相应的归一化导纳为，在圆图上的位于过匹配点O与OP1相对称的位置点P2上，其对应的向电源方向的电长度为0.463，负载反射系数l=0.4+j0.2=0.4470.464。将点P2沿等|l|圆顺时针旋转与g=1的电导圆交于两点A，B：A点的导纳为，对应的电长度为0.159，B点的导纳为，对应的电
43、长度为0.338。,支节离负载的距离为,短路支节的长度：短路支节对应的归一化导纳为和，分别与和中的虚部相抵消。由于短路支节负载为短路，对应导纳圆图的右端点，将短路点顺时针旋转至单位圆与b=-1及b=1的交点，旋转的长度分别为,例 1-9 图1-25为某天线输入阻抗特性随频率变化在圆图上的表示。其中编号3的频率为f=1.728GHz，实测阻抗为Zin=49.1-0.8。显然，在工程上认为该点为匹配点(相对于50)。总之，史密斯圆图直观地描述了无耗传输线各种特性参数的关系，许多专用测试设备也采用了它，在微波电路设计、天线特性测量等方面有着广泛的应用。,图 1-25 某天线输入阻抗的实测曲线,图 1
44、-26 同轴线结构图,1.7 同轴线的特性阻抗,同轴线是一种典型的双导体传输系统,它由内、外同轴的两导体柱构成,中间为支撑介质,如图 1-26所示。其中,内、外半径分别为a和b,填充介质的磁导率和介电常数分别为和。同轴线是微波技术中最常见的TEM模传输线,分为硬、软两种结构。硬同轴线是以圆柱形铜棒作内导体,同心的铜管作外导体,内、外导体间用介质支撑,这种同轴线也称为同轴波导。软同轴线的内导体一般采用多股铜丝,外导体是铜丝网,在内、外导体间用介质填充,外导体网外有一层橡胶保护壳,这种同轴线又称为同轴电缆。,由电磁场理论分析得到同轴线的单位长分布电容和单位长分布电感分别为,由式（1-1-14）得其
45、特性阻抗为 设同轴线的外导体接地,内导体上的传输电压为U(z),取传播方向为+z,传播常数为,则同轴线上电压为,(1-7-1),(1-7-2),(1-7-3),同轴线上电流为,(1-7-4),(1-7-5),而传输功率为,1.耐压最高时的阻抗特性 设外导体接地,内导体接上的电压为Um,则内导体表面的电场为 为达到耐压最大,设Ea取介质的极限击穿电场,即Ea=Emax,故,(1-7-6),求Umax取极值,即令,可得x=2.72。这时固定外导体半径的同轴线达到最大电压。此时同轴线的特性阻抗为,(1-7-7),(1-7-8),2.传输功率最大时的特性阻抗 限制传输功率的因素也是内导体的表面电场,由
46、式（1-6-5）及（1-6-7）得,式中,x=b/a。要使Pmax取最大值,则Pmax应满足,(1-6-9),(1-7-10),于是可得 x=b/a=1.65,相应的特性阻抗为,(1-7-11),当同轴线中填充空气时,相应于传输功率最大时的特性阻抗为30。,3.衰减最小时的特性阻抗 同轴线的损耗由导体损耗和介质损耗引起,由于导体损耗远比介质损耗大,这里我们只讨论导体损耗的情形。设同轴线单位长电阻为R,而导体的表面电阻为Rs,两者之间的关系为,(1-7-12),由式（1-1-20）得导体损耗而引入的衰减系数c为,(1-7-13),将式（1-7-12）和式（1-7-2）代入上式得,要使衰减系数 c
47、 最小,则应满足,(1-7-14),(1-7-15),于是可得xlnx x=0,即x=b/a=3.59,此时特性阻抗为,(1-6-16),当同轴线中填充空气时,相应于衰减最小时的特性阻抗为76.7。,可见在不同的使用要求下,同轴线应有不同的特性阻抗。实际使用的同轴线的特性阻抗一般有50和75两种。50的同轴线兼顾了耐压、功率容量和衰减的要求,是一种通用型同轴传输线;75的同轴线是衰减最小的同轴线,它主要用于远距离传输。工程上，相同特性阻抗的同轴线也有不同的规格(如75-5,75-9)，一般来说，电缆越粗其衰减越小。,以上分析是假设同轴线工作在TEM模式。实际上要使同轴线工作于TEM模式,则同轴
48、线的内、外半径还应满足以下条件:min(b+a)(1-6-17)其中,min为最短工作波长。由上述分析可见,在决定同轴线的内、外直径时,必须同时考虑使用要求和工作模式。,习 题,1.1设一特性阻抗为的均匀传输线终端接负载，求负载反射系数，在离负载及处的输入阻抗及反射系数分别为多少？1.2 求内外导体直径分别为0.25cm和0.75cm的空气同轴线的特性阻抗；若在两导体间填充介电常数 的介质，求其特性阻抗 及时的波长。1.3 设特性阻抗为Z0的无耗传输线的驻波比为，第一个电压波节点离负载的距离为lminl，试证明此时终端负载应为：,1.4 有一特性阻抗Z0=50的无耗均匀传输线,导体间的媒质参数
49、r=2.25,r=1,终端接有Rl=1的负载。当f=100MHz时,其线长度为/4。试求：传输线实际长度。负载终端反射系数。输入端反射系数。输入端阻抗。1.5 试证明无耗传输线上任意相距/4的两点处的阻抗的乘积等于传输线特性阻抗的平方。,1.6 设某一均匀无耗传输线特性阻抗为Z0=50,终端接有未知负载Zl。现在传输线上测得电压最大值和最小值分别为100 mV和20mV,第一个电压波节的位置离负载lmin1=/3,试求该负载阻抗Zl。1.7 求无耗传输线上回波损耗为3dB和10dB时的驻波比。1.8 设某传输系统如图所示,画出AB段及BC段沿线各点电压、电流和阻抗的振幅分布图,并求出电压的最大
50、值和最小值。（图中R=900),题 1.8 图,1.9 特性阻抗为Z0=100,长度为/8的均匀无耗传输线,终端接有负载Zl=(200+j300),始端接有电压为500 V0、内阻Rg=100的电源。求:传输线始端的电压。负载吸收的平均功率。终端的电压。1.10 特性阻抗为Z0=150的均匀无耗传输线,终端接有负载Zl=250+j100,用/4阻抗变换器实现阻抗匹配(如图所示),试求/4阻抗变换器的特性阻抗Z01及离终端距离。,题 1.10 图,1.11 设特性阻抗为Z0=50的均匀无耗传输线,终端接有负载阻抗Zl=100+j75为复阻抗时,可用以下方法实现/4阻抗变换器匹配:即在终端或在/4
