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1、,欢迎大家！,3.4基本不等式（一）,2002年第24届国际数学家大会在北京举行,2002年国际数学家大会会标,这是在北京召开的第届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计。,颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。,a,b,1、正方形ABCD的面积S=,、四个直角三角形的面积和S=,、S与S有什么样的不等关系？,探究：,SS,问：那么它们有相等的情况吗？,赵爽弦图,即,猜想：一般地，对于任意实数a、b，有,当且仅当a=b时，等号成立。,思考：你能给出不等式 的证明吗？,证明：（作差法）,什么时候等号成立呢？,重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有 当且仅当a
2、=b时，等号成立,代数意义为:,两数的平方和不小于它们积的2倍.,适用范围：,a,bR,问题一,问题一,替换后得到：,即：,即：,你能证明这个不等式成立吗？,问题二,证明不等式：,要证：,只要证：,要证，只要证,要证，只要证,式显然成立.当且仅当a=b时，中的等号成立.,分析法：执果索因,你还能用其他方法证明此不等式成立吗？,思考：利用不等式性质推导 的证明吗？,证明：（作差法）,我们得到不等式：,当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.,基本不等式,在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；,代数意义为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
3、,适用范围：,a0,b0,不等式,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,问题三,RtACDRtDCB，,A,B,C,D,E,a,b,O,如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.,如何用a,b表示CD?CD=_,如何用a,b表示OD?OD=_,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,问题三,如何用a,b表示CD?CD=_,如何用a,b表示OD?OD=_,OD与CD的大小关系怎样?OD_CD,如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.,
4、几何意义：半径不小于半弦长。,A,D,B,E,O,C,a,b,a=b,a=b,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,两数的平方和不小于它们积的2倍,a,bR,a0,b0,填表比较：,特别注意：两个不等式的适用范围及“=”成立条件,解释：x0,解释：a1,b1,若不成立，你能给出不等式成立的条件吗？,4、判断正误：,剖析公式应用,a、b是两个正数.,当且仅当a=b时“”号成立,1.注意成立的条件,2.变形用,知识点一：基本不等式应用,解：,解：,小试牛刀：,解：,底数大于1的对数函数在其定义域内是单调递增函数,知识点二：（用基本不等式证明不等式）,证：,渐露锋芒：,证：,解：,解：,一题多解：,超越自我：,证：,（1）（2）(当且仅当a=b时，等号成立),小结评价,你会了吗？,1.本节课主要学习了两个不等式的证明与初步应用。,2.两个重要的不等式：,3.注意成立的条件,a、b是两个正数.,当且仅当a=b时“”号成立,我们积累了知识,于枯燥中见奇,于迷茫之中得豁朗。懂得灵活运用公式乐在成功之中，就能领略到公式平静的美。,基本不等式,对于任意实数a、b，有a2+b22ab，a,bR当且仅当a=b时，等号成立 证明：,当且仅当a=b时，等号成立（略）代数意义：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 几何意义：圆的半径不小于半弦,学生板演,
