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1、如何求恒成立问题中参数的范围湖南省衡东县欧阳遇中学 廖鹏飞恒成立问题是中学数学的一类很重要的题型，它是函数、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点,很好地考查了分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想方法. 其中往往是以求某一个参数的范围为命题方向，解答这类问题常常有如下几种常用技巧和思路：1. 判别式法例1若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围解：当时，显然对一切实数恒成立；当时，要使不等式对一切实数恒成立，须有，即解得综上， 的取值范围是注：不等式对任意实数恒成立或；不等式对任意实数恒成立或2. 构造函数法一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解.例2.对于一切 |m| 2，不等式
2、恒成立，求实数x的取值范围. 解：设，当时，不符合题意. 当时，要使在上恒成立，则： . 故二次函数型问题，结合抛物线图像.例3. 对于| x | 2，不等式恒成立，求实数m的取值范围 解：设. 当时，0，符合题意. 当时，图像对称轴为，0在上 恒成立，解得： 当时，0在上恒成立 ,即，解得：. 综上， 注：若已知条件中的变量有两个，其中有一个变量的范围已知，若该变量为一次，则可以采用一次函数法，若为二次，则可以采用二次函数法，注意分类讨论思想的应用.3. 直接利用图象判断例4. 当x(1,2)时，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范围.xyo12y1=(x-1)2y2=logax
3、分析：本题若直接求解，则较为繁难，若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为对数函数的图象，借助图形可直观、简捷求解解：设y1=(x-1)2,y2=logax，则在同一坐标系内y1 、y2的图象如右图所示，要使对一切x(1,2),y11,并且只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值.故loga21,a1, 1a2.注：对于f(x)g(x)）型问题，一般先利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理。4. 分离参数法例5. 若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围解：， 对一切恒成立. 令，函数在区间上是增函数， 故对一切恒成立，即所求实数的取值范围为注：先把所求的参数分离出来，得到含参数的表达式，借用重要结论：“不等式恒成立；不等式恒成立”，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使问题获解.
