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1、2023/3/8,1,第三章 多元正态分布均值向量和协差阵的检验,2023/3/8,2,第三章 多元正态分布均值向量和 协差阵的检验,第一节 均值向量的检验第二节 协差阵的检验,2023/3/8,3,补充：,到底什么是假设检验？,让我们先看一个例子,2023/3/8,4,生产流水线上罐装可乐不断地封装，然后装箱外运。怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢？,把每一罐都打开倒入量杯,看看容量是否合于标准？,罐装可乐的容量按标准应在350毫升和360毫升之间。,2023/3/8,5,每隔一定时间，抽查若干罐。如每隔1小时，抽查35罐，得35个容量的值X1，X35，根据这些值来判断生产是否正常。这就产
2、生两种可能（假设）：,通常的办法是进行抽样检查,生产正常？生产不正常？,2023/3/8,6,这就需要根据X1,X35的样本信息，检验上述的两个假设哪个正确：H0：称H0为原假设（或零假设）它的对立假设是：H1：称H1为备选假设（或对立假设）。,生产正常,生产不正常,2023/3/8,7,那么，如何判断原假设H0 是否成立呢？由于 是正态分布的期望值，它的估计量是样本均值，因此可以根据 与 的差距 来判断H0 是否成立。当 时，可以认为H0是成立的；当 时，应认为H0不成立，即生产已不正常。,2023/3/8,8,怎么来确定？合理的界限在何处？应由什么原则来确定？,小概率原则：小概率事件在一次
3、试验中基本上不会发生。,2023/3/8,9,下面我们用一例说明这个原则。这里有两个盒子，各装有100个球。,小概率事件在一次试验中基本上不会发生。,1个,一盒中有99个红球和1个白球,另一盒中装有99个白球和1个红球。,2023/3/8,10,？,现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子里是白球99个还是红球99个？我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球。现在我们从中随机摸出一个球，发现是此时应该如何判断这个假设是否成立呢？,？,2023/3/8,11,假设其中真有99个白球，摸出红球的概率只有，这是小概率事件。,小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不使人怀疑所作假设的正确性，因此可以认为这
4、个盒子应该不是装有99个白球的那个盒子。这个例子中所使用的推理方法，称为“带概率性质的反证法”，或“概率反证法”。,1/100,2023/3/8,12,在假设检验中，称这个小概率为显著性水平，用 表示。的选择要根据实际情况而定。常取,假设检验所以可行，其理论背景即为“小概率原理”。,假设检验的理论依据：,2023/3/8,13,现在回到我们前面罐装可乐的例中：在提出原假设H0后，如何作出接受和拒绝H0的结论呢？罐装可乐的容量按标准应在350毫升和360毫升之间。一批可乐出厂前进行抽样检查，现抽查了n罐，测得容量为X1,X2,Xn，问这一批可乐的容量是否合格？,可乐的假设检验,2023/3/8,
5、14,提出假设:假定 已知，构造检验统计量z：对给定的显著性水平，可以在N(0,1)表中查到分位点的值，使,由原来观察大小，转变为观察 的大小。,2023/3/8,15,也就是说，“”是一个小概率事件。故我们可以取拒绝域为：如果由样本值算得该统计量的实测值落入区域，则拒绝H0；否则，不能拒绝H0。,拒绝域,如果H0 是对的，那么衡量差异大小的某个统计量落入红色区域(拒绝域)是个小概率事件。也就是说，H0 成立下的小概率事件发生了，那么就认为H0不可信而否定它。否则，我们就不能否定H0（只好接受它）。,接受域,拒绝域,从小概率的角度看：,2023/3/8,16,其基本思想和步骤均可归纳为：第一，
6、提出待检验的假设H0和H1；第二，给出检验的统计量及其服从的分布；第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域；第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。,2023/3/8,17,第一节 均值向量的检验,单一变量检验的回顾及HotellingT2分布一个正态总体均值向量的检验两个正态总体均值向量的检验多个正态总体均值向量的检验,2023/3/8,18,单一变量假设检验的内容：提出假设构造检验统计量（总体方差已知时）判断：根据显著水平 确定临界值，当 落在拒绝域，接受备择假设，否则接受原假设。,一、单变量假设检验及H
7、otelling T2分布,2023/3/8,19,当 未知时，用（3.2）作为 的估计量，构造检验统计量：（3.3）判断，根据显著水平，确定临界值，当，落入拒绝域，接受备择假设；否则接受原假设。,2023/3/8,20,（3.3）式可以表示为（3.4）定义3.1 设，且 与 相互独立，则称统计量 的分布为非中心HotellingT2分布，记为。当 时，称 服从（中心）HotellingT2 分布。记为。,威沙特分布(Wishart),2023/3/8,21,注意：F分布和t 分布有如下关系：,设X和Y是相互独立的服从卡方分布的随机变量，自由度分别为f 1，f 2，则称随机变量 设X是标准正态
8、变量，Y是自由度为v的卡方变量，且X和Y相互独立，则称随机变量,2023/3/8,22,若，且 与 相互独立，令，则 这表明，将HotellingT2统计量乘上一个适当的常数后，便成为F统计量，从而可利用F分布来进行推断。实践中，常用上式给出的F统计量来代替HotellingT2统计量进行推断。,（3.5）,因此：HotellingT2与F分布的关系：,2023/3/8,23,在一元正态总体的情况下，若一元统计中样本方差 是 的估计，有,注意：Wishart分布（一元 分布的推广）,2023/3/8,24,定义2.10 设 且相互独立，则由 组成的随机矩阵：其中，若 且相互独立，则样本离差阵,
9、2023/3/8,25,二、一个正态总体均值向量的检验,设 是来自p维正态总体 的样本，且，。,2023/3/8,26,（一）协差阵 已知时均值向量的检验 假设 成立，检验统计量为（3.6）给定检验水平，查 分布表找出临界值，判断：若，则接受备择假设；否则接受原假设。,2,c,0,2023/3/8,27,注意：其中，利用的是p维随机向量二次型的结论之一：设，则，其中。,2023/3/8,28,（二）协差阵 未知时均值向量的检验 假设 成立，检验统计量为 其中，给定检验水平，查F 分布表，可确定出临界值.判断：若，则接受备择假设，否则接受原假设。,(3.7),x,0,2023/3/8,29,例题
10、：,2023/3/8,30,样本离差阵,2023/3/8,31,三、两个正态总体均值向量的检验,（一）当协差阵相等时，两个正态总体均值向量的检验设，为来自p 维正态总体 的容量为n的样本；，为来自p维正态总体 的容量为 的样本。两组样本相互独立，且。,2023/3/8,32,1.针对有共同已知协差阵的情形 假设 成立，检验统计量为（3.8）给定显著水平，查 分布表确定临界值。判断：若，则接受备择假设；否则接受原假设。,两组样本独立,2023/3/8,33,2针对有共同的未知协差阵的情形提出假设：构造检验统计量（3.9）给定显著性水平，查F 分布表 确定临界值。判断：若，则接受备择假设；否则接受
11、原假设。,2023/3/8,34,例题：,2023/3/8,35,2023/3/8,36,2023/3/8,37,（二）协差阵不等时，两个正态总体均值向量的检验（两总体协差阵未知）。设，为来自p 维正态总体 的容量为n的样本；，为来自p维正态总体 的容量为 的样本。两组样本相互独立,且，,2023/3/8,38,1针对n=m 的情形 令 构造检验统计量为（3.10）,2023/3/8,39,令 构造检验统计量为,2针对nm 的情形(假设nm 且两总体协差阵相差不大时),2023/3/8,40,第三节 协差阵的检验,一个正态总体协差阵的检验多个协差阵相等检验,2023/3/8,41,一、一个正态
12、总体协差阵的检验,设 来自p 维正态总体 的样本，未知，且。提出假设用似然比方法可构造出检验统计量为：（3.16）其中,2023/3/8,42,给定检验水平，因为直接由 分布计算临界值 很困难，所以通常采用的近似分布。在原假设成立时，当n较大时，其对数 极限分布是 分布。因此当，由样本值计算出值，若 即，则拒绝原假设，否则接受原假设。,2023/3/8,43,注意，考虑检验假设 因为，所以存在，使得 令则因此，检验 等价于检验 此时构造检验统计量为 其中,2023/3/8,44,5、世上最美好的事是：我已经长大，父母还未老;我有能力报答，父母仍然健康。6、没什么可怕的，大家都一样，在试探中不断
13、前行。7、时间就像一张网，你撒在哪里，你的收获就在哪里。纽扣第一颗就扣错了，可你扣到最后一颗才发现。有些事一开始就是错的，可只有到最后才不得不承认。8、世上的事，只要肯用心去学，没有一件是太晚的。要始终保持敬畏之心，对阳光，对美，对痛楚。9、别再去抱怨身边人善变，多懂一些道理，明白一些事理，毕竟每个人都是越活越现实。10、山有封顶，还有彼岸，慢慢长途，终有回转，余味苦涩，终有回甘。11、人生就像是一个马尔可夫链，你的未来取决于你当下正在做的事，而无关于过去做完的事。12、女人，要么有美貌，要么有智慧，如果两者你都不占绝对优势，那你就选择善良。13、时间，抓住了就是黄金，虚度了就是流水。理想，努
14、力了才叫梦想，放弃了那只是妄想。努力，虽然未必会收获，但放弃，就一定一无所获。14、一个人的知识，通过学习可以得到;一个人的成长，就必须通过磨练。若是自己没有尽力，就没有资格批评别人不用心。开口抱怨很容易，但是闭嘴努力的人更加值得尊敬。15、如果没有人为你遮风挡雨，那就学会自己披荆斩棘，面对一切，用倔强的骄傲，活出无人能及的精彩。5、人生每天都要笑，生活的下一秒发生什么，我们谁也不知道。所以，放下心里的纠结，放下脑中的烦恼，放下生活的不愉快，活在当下。人生喜怒哀乐，百般形态，不如在心里全部淡然处之，轻轻一笑，让心更自在，生命更恒久。积极者相信只有推动自己才能推动世界，只要推动自己就能推动世界。
15、6、人性本善，纯如清溪流水凝露莹烁。欲望与情绪如风沙袭扰，把原本如天空旷蔚蓝的心蒙蔽。但我知道，每个人的心灵深处，不管乌云密布还是阴淤苍茫，但依然有一道彩虹，亮丽于心中某处。7、每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！8、不要活在别人眼中，更不要活在别人嘴中。世界不会因为你的抱怨不满而为你改变，你能做到的只有改变你自己！9、欲戴王冠，必承其重。哪有什么好命天赐，不都是一路披荆斩棘才换来的。10、放手如拔牙。牙被拔掉的那一刻，你会觉得解脱。但舌头总会不由自主地往那个空空的牙洞里舔，一天数次。不痛了不
16、代表你能完全无视，留下的那个空缺永远都在，偶尔甚至会异常挂念。适应是需要时间的，但牙总是要拔，因为太痛，所以终归还是要放手，随它去。11、这个世界其实很公平，你想要比别人强，你就必须去做别人不想做的事，你想要过更好的生活，你就必须去承受更多的困难，承受别人不能承受的压力。12、逆境给人宝贵的磨炼机会。只有经得起环境考验的人，才能算是真正的强者。自古以来的伟人，大多是抱着不屈不挠的精神，从逆境中挣扎奋斗过来的。13、不同的人生，有不同的幸福。去发现你所拥有幸运，少抱怨上苍的不公，把握属于自己的幸福。你，我，我们大家都可以经历幸福的人生。14、给自己一份坚强，擦干眼泪；给自己一份自信，不卑不亢；给
17、自己一份洒脱，悠然前行。轻轻品，静静藏。为了看阳光，我来到这世上；为了与阳光同行，我笑对忧伤。15、总不能流血就喊痛，怕黑就开灯，想念就联系，疲惫就放空，被孤立就讨好，脆弱就想家，不要被现在而蒙蔽双眼，终究是要长大，最漆黑的那段路终要自己走完。5、从来不跌倒不算光彩，每次跌倒后能再站起来，才是最大的荣耀。6、这个世界到处充满着不公平，我们能做的不仅仅是接受，还要试着做一些反抗。7、一个最困苦、最卑贱、最为命运所屈辱的人，只要还抱有希望，便无所怨惧。8、有些人，因为陪你走的时间长了，你便淡然了，其实是他们给你撑起了生命的天空；有些人，分开了，就忘了吧，残缺是一种大美。9、照自己的意思去理解自己，不要小看自己，被别人的意见引入歧途。10、没人能让我输，除非我不想赢！11、花开不是为了花落，而是为了开的更加灿烂。12、随随便便浪费的时间，再也不能赢回来。13、不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。14、当你决定坚持一件事情，全世界都会为你让路。15、只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。,
