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1、Leslie修正模型在南京市人口预测中的应用The Application of the Modified Leslie Model in Predicting the Population Change of Nanjing王伯文 陈思齐 楼嘉钰 指导老师：王刚Directed By: Gang Wang南京外国语学校Nanjing Foreign Language School2012年8月August. 2012摘要本文是针对南京市人口进行的研究。本文基于著名的Leslie矩阵对南京市人口的变化进行了研究，并且根据南京市的人口情况对Leslie矩阵进行修正，考虑迁移人口所带来的影响，并且
2、通过灰色预测模型来预测迁移人口的变化。另外，本文还基于Leslie矩阵进行更进一步的人口方面的研究，比如人口总体变化趋势以及人口老龄化带来的影响等。关键词：南京市人口 Leslie矩阵 灰色预测模型 人口老龄化 AbstractThis paper lays its focus on the population in Nanjing. This entire study of demographic change is founded on the famous Leslie Matrix, a well-accepted method we modified in consideratio
3、n of regional factors including rural-to-urban migration, whose future fluctuation is predicted by using the gray forecast model. Based on all above, this paper makes further prediction on the main trend of population change and the impact of the aging population. Key Words:population of Nanjing; Le
4、slie Matrix; gray forecast model; aging 目录摘要2一、引言4二、模型的建立5（一）关于模型的几点假设5（二）符号说明5（三）模型的具体建立5 第一部分：封闭系统5 第二部分：迁移人口7三、模型的修正10四、对模型的进一步研究12（一）对于人口总体变化趋势的研究12（二）对于人口老龄化的研究13五、结论16参考文献17附录17一、引言人口是影响一个国家或地区综合发展的重要因素。其中，人口质量和人口数量是构成人口的两个基本要素，而后者更是直接支配着一个国家或地区的经济社会发展和资源利用。因此，为了合理地制定某地区的经济社会发展决策，准确预测其人口变化成为了先
5、决条件。南京市作为长江三角洲地区的一线城市，在经济快速发展的同时也承受着来自人口过快增长而带来的资源、环境的压力。因此，人口的预测与控制对于南京市十分重要。而相比于整个中国的人口预测来说，南京市的人口预测则显得更为复杂：相较于我国庞大的总人口数，我国的流动人口数量几乎可以忽略不计；而南京正处于高速发展的黄金时期，流动人口的比例较大，因此迁移人口已成为了预测南京地区人口时一个不可忽视的因素。对于这样一个开放的系统而言，人口预测的难度大大增加。自马尔萨斯以来，人口预测的方法已经经过了几百年的发展，也出现了不少各具特点的预测方法，其中包括马尔萨斯增长模型，logistic人口模型，GM(1,1)灰色
6、预测模型，Leslie人口模型，回归分析预测法等。本文在采用Leslie矩阵作为预测人口的基本方法的同时，对Leslie矩阵进行了修正，加入了迁移人口对人口总数的影响。而且，在借助Leslie矩阵对人口进行的预测的基础上，本文对南京市人口进行了进一步分析，对人口总体变化趋势和人口老龄化的问题做出了讨论。二、模型的建立（一）关于模型的几点假设： （1） 不考虑自然灾害、战争等对模型的影响； （2） 认为90岁为年龄上限 （二）符号说明：: 在时间段t第i年龄组的人数：在时间段t第i年龄组人数的死亡率：在时间段t第i年龄组人数的存活率（）：在时间段t第i年龄组女性的人数占总人数的比例：在时间段t第
7、i年龄组的女性的生育率（三）模型的具体建立该模型分为两部分，一是作为封闭系统的南京市自身的人口变化，二是迁移人口带来的影响。为了叙述方便起见，本文将两种因素分开考虑，然后对其进行合成，以得到最终结果。第一部分：先考虑南京市作为封闭的系统。根据以上列出的参数，有如下递推方程：（i=0,1,2.n, t=0,1,2.)用来表示每年新出生的婴儿，故存在如下关系：这里表示的是女性的育龄区间。故有 （为婴儿死亡率）因此得到差分方程组：（i=0,1,2.t=0,1,2.)令为修正生育率并且考虑人口转移向量则由上述方程知其中， 为Leslie矩阵，由于各年龄组女性的生育率和各年龄组的存活率在短期内可以近似认
8、为是一个固定值，故可将Leslie矩阵简化为 由此得到故有取2000年作为起始点，将年龄组分为1岁1组，共有91组。取育龄区间为15-49岁使用matlab软件计算Leslie矩阵的迭代，我们得到:第二部分：考虑迁移人口的影响由于南京是典型的开放系统，故迁移人口带来的影响十分巨大。但是由于对于流动人口的数据并不是十分完整，本文使用GM(1,1)灰色预测模型对流动人口的数据进行预测。GM(1,1)模型适用于部分信息已知，部分信息未知的灰色系统进行预测，尤其适合预测小样本，增长速度较快的数据。该模型的一般形式为：设非负的原始数据序列为，经一次累加得，其中。设满足一阶常微分方程，其中a为发展灰数，u
9、为内生控制灰数。易于看出，此方程满足条件当时的解为 若对时间取离散值，则得到。将离散的形式写成矩阵表达式则得到，这里，对此表达式进行最小二乘估计则得到 。把估计值和带入时间响应方程再进行累减还原，当k=1，2.n-1时，可得原始序列的拟合值，当时则可得到预报值。（规定）根据2000年-2008年人口流动的数据，并且根据matlab软件的程序，得到拟合图像 为了检验灰色预测模型的预测结果，采取对关联度、后验差比值、小概率误差、相对误差的检验。得到如下数据 r=0.6069 c=0.3466 p=1 q=0.0075. 其中r为关联度，c为后验差比值，p为小概率误差，q为相对误差。等级相对误差q方
10、差比C小误差概论PI级0.010.95II级0.050.500.80III级0.100.650.200.800.6,说明预测较为成功)因此用这个灰色预测模型预测的结果较为准确。将一二部分合成，得到最终的人口预测情况：具体数据如下：年份人口总数（万人）2001633.92002650.82003668.42004668.92005706.22006726.52007747.82008770.02009793.32010817.72011843.32012870.12013898.12014927.52015958.32016990.520171024.320181059.620191096.72
11、0201133.5用其中部分数据（2001-2012年预测数据）来检验预测效果：2001年末（万人）628.392002年末（万人）641.992003年末（万人）654.482004年末（万人）668.182005年末（万人）689.802006年末（万人）719.062007年末（万人）741.302008年末（万人）758.892009年末（万人）771.312010年末（万人）800.762011年末（万人）810.912012年末（万人）816.10经过Matlab软件运算，得到关联度r=0.8183 后验差比值c= 1.1448*.由此可见，该模型的预测效果较为准确。三、 模型的修
12、正 在使用Leslie模型进行预测时，我们并没有考虑女性生育率的变化所带来的影响，因此预测结果有提升的空间。事实上，根据第五次和第六次人口普查的数据，南京市女性生育率发生了较大的变化，具体数据如下表所示：生育率15-19岁20-24岁25-29岁30-34岁35-39岁40-44岁45-49岁2000年1.596380.6320.884.711.080.472010年1.1827.7276.9935.7911.073.540.57 能够比较明显地看出，随着经济社会的发展，女性生育年龄在不断推迟，晚婚晚育现象较为明显。因此，我们对女性生育率的变化做线性估计： 设15-19岁，20-24岁，25-
13、29岁，30-34岁，35-39岁，40-44岁，45-49岁的修正生育率分别为,则根据所得数据做出的线性估计为 将这组数据带入，得到新的人口估计：年份人口总数（万人）2001614.62002640.712003666.822004692.102005716.552006740.102007763.142008786.122009808.302010829.492011849.662012868.352013890.582014901.942015920.752016963.162017997.7220181023.9020191062.020201096.90 相比之前的人口预测，这组预测
14、尽管在短期预测中的效果不如第一组数据（短期内人口受生育率的影响较小）。但对于较为长远的人口估计，这组修正过的数据要更胜一筹，因为前一组数据的人口增长的速度在2015年以后有加快的倾向，这与实际情况（人口区域稳定）不太相符，故修正后的模型在人口的长期预测中还是存在一定优势的。四：对模型的进一步研究（一）对于人口总体变化趋势的研究 对于基于Leslie矩阵建立的模型，可以对该模型长期的变化趋势做一点研究。由于南京市人口的主要部分是属于封闭系统的人口，故对于长期变化趋势的研究只考虑封闭系统的人口。（影响流动人口因素非常多，难以对其长期变化做出较为准确的预测）。考虑原始的人口方程。考虑矩阵L的特征方程
15、 若记，则可变形为。对进行分析，易知在时为连续函数，并且有， 故由介值定理可知有且仅有一个正实数,使得，记它为,则由Perron-Frobenius定理知,其中为Leslie矩阵的谱半径。另外，由Perron-Frobenius定理的推论可知，此系统在第k年的人口变化正比于 这是因为该模型中的Leslie矩阵是不可约的本原矩阵。这个结论也可以从另一个角度证明：将在矩阵L的特征空间中分解得到，其中为标量，为矩阵L的特征向量。故有,由此可见系统的第t年的变化正比于 因此得到：当时，当时，当时， 由此可见，当1时，越接近1，该人口系统越稳定。而通过带入本文中Leslie矩阵的数值并使用Matlab进
16、行运算，得到,可见从长期来看，南京市人口状况较为稳定。（二）对于人口老龄化的研究 人口老龄化是指总人口中因年轻人口数量减少、年长人口数量增加而导致的老年人口比例相应增长的过程。根据联合国新标准，65岁以上的人口比率超过总人口的7%，就被称为“老龄化社会”。在中国，该部分人口在2005年就达到了7.6%。而截至08年底，全国65岁及以上人口达10956万人，占全国总人口8.3%。从以上数据中不难发现，自实施计划生育以来，中国的老龄化问题日趋严重。时至今日，老龄化问题已与性别比例失衡、成为困扰中国人口发展的三个重大隐患之一。人口老龄化将会给地区发展造成重大阻碍。除了人口老龄化导致的劳动人口减少、国
17、内市场规模缩小、中青年负担增加等问题，老龄化还将给现今的养老保障体系带来巨大挑战，因此将严重制约地区的经济社会发展。因而，对于位于东南沿海发达地区的南京市而言，为了给经济发展提供持续有力的劳动力支援、创造广阔的市场需求，缓解老龄化问题带的危机成为了人口发展的当务之急。基于Leslie模型，我们对2001-2050年南京市的老龄人口（65岁以上）做了预测： 而老龄人口所占比例如下所示： 根据预测情况，在50年内南京市老龄人口主要呈上升趋势。预计在2015年老龄人口比例将达到13.17%，而全国同期这个比例预计将达到9.8%，南京市比全国高出了3.37个百分点。预计在2040年南京市老龄人口比例将
18、达到32.37%，而全国同期预计比例将达到20.50%，南京市比全国将高出了11.87个百分点。在2046年左右南京市老龄人口将达到160万的高峰，所占人口比例将达到37%，并趋于稳定。这充分体现南京市人口老龄化速度快，程度大。与之相比的是少年人口（0-15岁）人口比例不断下降： 预计在2014年老龄人口总数将超过少年人口总数，人口结构极为不合理。 于此同时另一个凸显的问题是人口高龄化的严重。一般来说，60-69岁属于低龄老年人口，70-79岁属于中龄老年人口，80岁以上属于高龄老年人口，而高龄老年人口基本属于无法自理的人群，因而高龄人口对社会的负担也更加严重。而南京市的高龄人口增长十分迅速，
19、经过预测，我们得到如下数据： 由此可见南京市的高龄人口上升趋势十分明显，预计在2050年将达到43万。人口老龄化带来的另一重要影响是抚养比的上升。记人口总数，劳动人口总数,一般认为劳动人口为年龄在15-60岁之间的人口。故取，则社会抚养比定义为。根据Leslie模型并用Matlab进行运算，得到：可见南京市的抚养比在不断上升，从2042年开始甚至超过了1，体现出严重的社会负担和日益恶化的人口结构。从以上的分析可以看出，人口老龄化在南京尤为严重，急需有效的政策来缓解老龄人口带来的压力。五、结论 本文在使用Leslie矩阵作为基础的情况下，根据南京地区的具体情况对该模型进行了修正，使之括纳了城人口
20、乡迁移等地区性因素。通过修正，本文建立了一个更加切合的人口模型，对于南京市的未来人口变化进行了预测，并且使用灰色预测模型对迁移人口进行了预测。另外，修正的模型还考虑了女性生育率的变化，使得模型的预测更加准确。在此基础上，本文对南京市人口变化进行了进一步的研究，讨论了人口的总体变化趋势和人口老龄化的问题。通过预测，我们发现未来40年内南京市的人口老龄化现象将呈现愈发严重的态势，这很可能将导致劳动人口相对减少、社会负担加重、人口结构不合理等一系列社会问题。因此，有关部门应及时做好监控，制定合理的人口策略。 但是，客观而言，本文对于人口的研究还存在一些缺陷，比如没有考虑死亡率随时间的变化，灰色预测模
21、型对于长期的预测并不十分准确等，同时对于人口结构的分析和讨论还有所欠缺。参考文献1 黄建元 .基于Leslie方程预测的江苏省人口老龄化特征分析. 南京师大学报 2010年5月 2王德鑫 温涛 .基于高斯-泊松-莱斯利模型的中国人口预测与控制. 大学数学 2012年4月3 陈文权 赵兹 李德胜 .Leslie修正模型在人口预测中的应用. 世界科技研究与发展 2008年4月4 石培基 胡科 .等维灰数递补模型在人口预测中的应用. 统计与决策 2008年第4期5 杨丽霞 杨桂山 苑韶峰 .数学模型在人口预测中的应用-以江苏省为例. 长江流域资源与环境 2006年5月6 马莉 .Matlab数学实验
22、与建模. 清华大学出版社 2010年1月7 Mark M. Meerschaert. 数学建模方法与分析 机械工业出版社 2009年1月附录（1） 预测总人口的Matlab程序：X0=xlsread(population.xlsx);L=xlsread(data.xlsx);for k=1:20 X=Lk*X0; Y=sum(X); hold on;endsyms a b;C=a b;A=160085 144934 175223 176346 211428 225411 231863 224663 202741;B=cumsum(A);n=length(A);for i=1:n-1 C(i)=
23、(B(i)+B(i+1)/2;endD=A;D(1)=;D=D;E=-C; ones(1,n-1);C=inv(E*E)*E*D;C=C;a=C(1);b=C(2);F=;F(1)=A(1);for i=2:20 F(i)=(A(1)-b/a)/exp(a*(i-1)+b/a;endG=; G(1)=A(1);for i=2:20 G(i)=F(i)-F(i-1);end for i=1:20 P=sum(G(1:i); K=Y+P; T(i)=K; plot(i,K,.)enddisp(T)(2) 检验灰色预测模型的Matlab程序：x0=160085 144934 175223 17634
24、6 211428 225411 231863 224663 202741;x1=G(1:9);e0=x0-x1;max1=max(abs(e0);r=1;for k=2:n r=r+0.5*max1/(abs(e0(k)+0.5*max1);endr=r/n;q=e0/x0;s1=var(x0);s2=var(e0);c=s2/s1;len=length(e0);p=0;for i=1:len if (abs(e0(i)0.6745*s1) p=p+1; endendp=p/len;disp(r)disp(c)disp(p)disp(q)（3） 计算Leslie矩阵谱半径的Matlab程序：L
25、=xlsread(data.xlsx);p=poly(L);r=roots(p);r0=max(abs(r);disp(r0)（4） 预测老龄人口的Matlab程序：X0=xlsread(population.xlsx);L=xlsread(data.xlsx);for k=1:50 X=Lk*X0; Y=sum(X(81:91); M(k)=Y; N=sum(X); N1=Y/N; A(k)=N1; plot(k,Y,.); hold on;end(6) 计算社会抚养比的Matlab程序：X0=xlsread(population.xlsx);L=xlsread(data.xlsx);for k=1:50 X=Lk*X0; Y=sum(X); R=sum(X(16:61); S=(Y-R)/R; M(k)=S; plot(k,S,.); hold on;enddisp(M)
