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1、国土面积问题摘要：在进行国土面积测量时,先要实地测量,然后绘制成地图,再用投影等方式算出面积,现在绘制成地图后只需要根据专业软件用和卫星遥感测试技术等比照,就能算出面积。本论文就此问题对于国土面积的测量方法以及所给的数据进行处理及利用数学建模理念和MATLAB软件国土面积问题进行了分析和评论。关键字：面积 测量 积分 差值 1.MATLAB的用途MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）之意。除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。 MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学,工程中常用的形式十分相似,
2、故用MATLAB来解算问题要比用C,FORTRAN等语言完相同的事情简捷得多. 当前流行的MATLAB 5.3/Simulink 3.0包括拥有数百个内部函数的主包和三十几种工具包(Toolbox).工具包又可以分为功能性工具包和学科工具包.功能工具包用来扩充MATLAB的符号计算,可视化建模仿真,文字处理及实时控制等功能.学科工具包是专业性比较强的工具包,控制工具包,信号处理工具包,通信工具包等都属于此类. 开放性使MATLAB广受用户欢迎.除内部函数外,所有MATLAB主包文件和各种工具包都是可读可修改的文件,用户通过对源程序的修改或加入自己编写程序构造新的专用工具包.MATLAB是数值计
3、算的先锋，它以矩阵作为基本数据单位，在应用线性代数、数理统计、自动控制、数字信号处理、动态系统仿真方面已经成为首选工具，同时也是科研工作人员和大学生、研究生进行科学研究的得力工具。MATLAB在输入方面也很方便，可以使用内部的Editor或者其他任何字符处理器，同时它还可以与Word6.0/7.0结合在一起，在Word的页面里直接调用MATLAB的大部分功能，使Word具有特殊的计算能力。2.问题的提出为了算出瑞士的国土面积，首先对瑞士地图作如下测量：以由西向东方向为轴，由南到北方向为轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在轴上的区间适当地划分为若干段，在每个分点的方向测出南边界点和
4、北边界点的坐标和，这样就得到了表中的数据（单位mm）。根据地图的比例我们知道18mm相当于40km，试由测量数据计算瑞士国土的近似面积，与它的精确值41288km比较。 表 瑞士地图测量数据7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 61.0 68.5 76.5 80.5 91.044 45 47 50 50 3 8 30 30 34 36 34 41 45 4644 59 70 72 93 100 110 110 110 117 118 116 118 11896 101 104 106.5 111.5 118 123.5 136.5 142 14
5、6 150 157 158 43 37 33 28 32 65 55 54 52 50 66 66 68121 124 121 121 121 122 116 83 81 82 86 85 683.模型假设题中所给数据是真实可用的。假设国土面积在一定时期没有变化，各种因素对此题无影响。可以进行实地测量。4.问题重述先进行对瑞士地图的测量，然后进行比例的换算得到实际的近似值。通过建立坐标，由西向东方向为轴，由南到北方向为轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在轴上的区间适当地划分为若干段，在每个分点的方向测出南边界点和北边界点的坐标和，通过得到的数据来进行分析和评论。符号说明X 横轴Y
6、纵轴Y1 Y2坐标点S地图面积S实际面积S_er 计算与精确值之间的误差5.问题的分析与模型的建立解这道题使用的方法就是用x轴上每个采样点上的y2与y1之差乘以对应于该采样点的宽度，相当于积分。 表 瑞士地图测量数据7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 61.0 68.5 76.5 80.5 91.044 45 47 50 50 3 8 30 30 34 36 34 41 45 4644 59 70 72 93 100 110 110 110 117 118 116 118 11896 101 104 106.5 111.5 118 123.5
7、 136.5 142 146 150 157 158 43 37 33 28 32 65 55 54 52 50 66 66 68121 124 121 121 121 122 116 83 81 82 86 85 68如数据问题得知，从最西边界点到最东边界点在轴上的区间适当地划分为若干段，在每个分点的方向测出南边界点和北边界点的坐标和。6.模型求解 程序如下% 数据输入x = 7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 61.0 68.5 76.5 80.5 91.0 96 101 104 106.5 111.5 118 123.5 136.5 1
8、42 146 150 157 158 ;y1 = 44 45 47 50 50 38 30 30 34 36 34 41 45 46 43 37 33 28 32 65 55 54 52 50 66 66 68;y2 = 44 59 70 72 93 100 110 110 110 117 118 116 118 118 121 124 121 121 121 122 116 83 81 82 86 85 68;% 计算地图面积，用s表示s=0;for i=2:(length(x)-1) s = s + ( (x(i+1)-x(i) + (x(i)-x(i-1) )/2 * (y2(i)-y1
9、(i);ends= s + ( y2(1)-y1(1) ) * (x(2)-x(1)/2 + ( y2(27)-y1(27) ) * (x(27)-x(26)/2% 换算成实际面积，用S表示S = s * ( 40/18 )2% 计算与精确值之间的误差，用S_er表示S_er = S 41288输出结果：S = 42414S_er = 1125.6即瑞士国土的近似面积与它的精确值相差1125.6km2。7.应用与推广一个国家的国土分为很多部分组成，河流、水利是很重要的一部分。数学模型是解决水资源问题极其重要的手段和方法，无论在防洪、水资源开发利用、水土保持、水环境保护等领域，还是水利规划、工程
10、设计、水资源管理、科研等方面，数学模型都发挥着重要的作用，尤其是解决水科学领域中的泥沙问题，更是发挥着不可替代的作用。泥沙问题涉及土壤的侵蚀和沙化已成为一个全球性的难题，与解决当前人类面临的人口、资源、环境三大问题息息相关，许多国家在江河治理、防洪减灾、改善生态环境和水资源开发利用等方面都面临着如何解决泥沙问题的挑战。我国是世界上土壤侵蚀和泥沙问题最为严重的国家之一。目前水土流失面积达356万平方公里，占国土面积的37，每年侵蚀量达50亿吨。全国还有需要治理的水土流失面积有200多万平方公里。严重的水土流失导致河道淤积、水库淤积和影响防洪安全、饮用水安全、航运安全、发电安全和生态安全等一系列严
11、重的问题。据水利部直接管理的二十座水库80年代观测资料表明，多数水库运行不足20年，总淤积量已达77.85亿m3以上，占原设计库容的18.6。为了研究解决土壤侵蚀和泥沙问题，世界各国在研究方法和手段上不断创新，70年代以来，由于工程建设的需要，泥沙模型试验大量开展。80年代以来，随着泥沙基本理论研究、泥沙观测和实验的不断深入与广泛的工程应用，以及现代的计算方法与计算机技术的高速发展，全球泥沙数学模型已逐渐成为研究和解决泥沙问题的最重要手段之一。我国解决泥沙问题的技术和手段在世界上处于领先地位。在泥沙数学模型方面，从二十世纪七十年代葛洲坝淤积计算开始，在解决长江三峡泥沙问题、黄河下游河道淤积等实
12、际问题中，我国的泥沙数学模型得到了较快发展，许多方面处于国际领先。但鉴于泥沙问题与模拟技术的复杂性，数学模型仍然有很多问题有待研究和解决。如边界阻力问题、紊动粘性系数、泥沙扩散系数、底部泥沙挟沙力、侵蚀参数等。尤其重要的是，如何使已有泥沙数学模型尽快向标准化、可视化和商业化发展，进一步实现对模型进行开放性检验等。8.参考文献数学建模及典型案例分析 作者：李志林 出版社： 化学工业出版社数学建模 作者：杨启帆 等编著 出版社： 浙江大学出版社数学建模优秀案例精选 作者：汪国强 华南理工大学出版社精通MATLAB 6.5版教程 作者：张志涌 出版社：北京航空航天大学出版社9.附录数值积分numer
13、ical integration 求定积分的近似值的数值方法。即用被积函数的有限个抽样值的离散或加权平均近似值代替定积分的 值。求某函数的定积分时，在多数情况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来， 因此能够借助微积分学的牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的机会是不多的。另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数 的定积分，也不能用不定积分方法求解。由于以上原因，数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题。对微积分学作出杰出贡献的数学大师，如I.牛 顿、L.欧拉、C.F.高斯等人也在数值积分这个领域作出了各自的贡献，并奠定了它的理论基础。构造数值积分公式
14、最通常的方法是用积分区间上的n 次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式。特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式与抛物线公式就是最基本的 近似公式。但它们的精度较差。龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对梯形公式的近似值进行加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简 练、计算结果准确、使用方便、稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用龙贝格求积公式。当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相 同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分。数值积分还是微分方程数值解法的重要依据。许多重要公式都可以用数值积分方程导出。辽宁工程技术大学数 学 建 模 课 程 成 绩 评 定 表学 期0809学年1学期姓 名专 业班 级课程名称数学建模论文题目国土面积问题评定标准评定指标分值得分知识创新性20理论正确性20内容难易性15结合实际性10知识掌握程度15书写规范性10工作量10总成绩100评语:任课教师时 间08年9 月 24 日备 注
