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1、1,式中d=r sin 称为力F对转轴Z的力臂.,如图刚体绕 O z 轴旋转,力 作用在刚体横截面上点 P 且在此平面内,为由点O 到力的作用点 P 的径矢.力 对转轴的力矩.,一、力矩,4.2 力矩 转动定律 转动惯量,物体为什么会转动？,一个力作用在物体上一定能使物体由静止到转动吗？,(1),力矩大小:,力矩是矢量.,力矩方向:右手法则-拇指伸直,四指由r弯向F,这时拇指的指向就力矩的方向.,力矩的单位:Nm.,当力矩沿Z轴正向时为正,反之为负.,/15,要使一个刚体由静止到转动必须要有力矩的作用!,2,4.2 力矩 转动定律 转动惯量,(1),(i)当作用力通过转轴时,其力矩为零.如右图
2、.,(ii)若力 不在转动平面内,应把力分解为平行 和垂直于转轴方向的两个分量.如右下图.,其中 对转轴的力矩为零.因为F/不能使物体绕Z转动.,注意,式中是分力F与 r的夹角,而不是力F与r的夹角.,故 对转轴的力矩为,(2),/15,3,4.2 力矩 转动定律 转动惯量,(iv)刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消.,如右图所示.,由于刚体内质点间相互作用的内力是作用力和反作用力,因此,刚体内各质元间的作用力对转轴的合力矩为零.,(3),(v)合力为零时,其合力矩不一定为零.如下图.,(iii)合力矩等于各分力矩的矢量和,/15,4,例1 有一大型水坝高110 m、长1000m，水深100
3、m水面与大坝表面垂直,如图所示.求作用在大坝上的力,以及这个力对通过大坝基点 Q 且与 x 轴平行的力矩.,解(i)求作用在大坝上的作用力:设水深 h，坝长L.,4.2 力矩 转动定律 转动惯量,在坝面上取面积元,作用在此面积元上的力为,令大气压为，则面积元dA处的压强为,因此面积元上的受力为,上式积分,可得整个大坝作受的作用力为,/15,5,对通过点 Q 的轴的力矩,4.2 力矩 转动定律 转动惯量,(ii)求作用在大坝上的力矩,/15,6,二、转动定律,1.单个质点 m 与转轴刚性连接,4.2 力矩 转动定律 转动惯量,力矩是使刚体转动状态发生变化的原因,使刚体产生角加速度.,力是使物体运
4、动状态发生变化的原因,使物体产生加速度,且有 F=ma,那么力矩与角加速度之间有什么数量的关系呢?,如图质点m绕转轴Z作定轴转动.,转动平面上的任意力F可分解为切向和法向的分力.,可见,质点绕定轴转动时,角加速度与力矩成M正比,与mr2成反比.,与 a=F/m,相比较,可见,mr2反映了刚体转动的惯性大小.,/15,7,2.质量连续分布的刚体,质量元受外力，内力,外力矩,内力矩,4.2 力矩 转动定律 转动惯量,在刚体内任意取一质元m.,在切线方向应用牛顿定律得,上式两边乘以rj,得,对刚体上所有质元示和,则由(4)式得,/15,因为合内力矩等于零.,8,刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力
5、矩成正比,与刚体的转动惯量成反比.,(7)式称为刚体做定轴转动时的转动定律:,定义转动惯量,(5),4.2 力矩 转动定律 转动惯量,对分立质点系,转动惯量的大小表示刚体转动时转动状态发生变化的难易程度.,与之相对应的是质量表示物体运动状态发生变化的难易程度.,不同的刚体,转动惯量不同,同一个刚体对不同的转轴其转动惯量也是不同的.,转动惯量 J 的物理意义：转动惯性大小的量度.,/15,9,三、转动惯量的计算,1.质量离散分布刚体的转动惯量,2.质量连续分布刚体的转动惯量,式中r是质量元dm到转轴的垂直距离.,4.2 力矩 转动定律 转动惯量,式中ri是质点mi到转轴的垂直距离.,(8),(9
6、),书上P110 表4-2 列举了几种常见刚体转动时的转动惯量.,下面举二例验证之.,/15,10,解(i)转轴O1O1通过中心,建立坐标系如右图,设棒的线密度为，,例1 一 质量为m、长为 的均匀细长棒，求:(i)通过棒中心并与棒垂直 的轴的转动惯量;(ii)通过棒端点并与棒垂直的轴的转动惯量.,(ii)转轴O2O2通过端点并垂直于棒,如右下图,4.2 力矩 转动定律 转动惯量,取一距离转轴 O1O1 为r 处的质量元dm,质量元dm对转轴OO的转动惯量为,计算结果与书上P110 表4-2 的结果一致.,/15,11,例2 一 质量为m、半径为R 的均匀圆盘,求通过圆盘中心并与圆盘垂直的OO
7、 轴的转动惯量.,4.2 力矩 转动定律 转动惯量,在距离转轴 OO 为r 处取一质量元dm,质量元dm对转轴OO的转动惯量为,计算结果与书上P110 表4-2 的结果一致.,/15,整个圆盘对转轴OO的转动惯量为,如何计算通过任意转轴的转动惯量?,12,4.2 力矩 转动定律 转动惯量,/15,J1是绕通过质心的转轴的转动惯量,J2是绕通过端点的转轴的转动惯量,是两个转轴之间的距离.,四、平行轴定理,(10),如图所示,质量为m的刚体,如果对其质心轴的转动惯量为JC，,则可以证明,对任一与该轴平行,相距为d的转轴O的转动惯量为,例如,对均匀圆盘,对通过质心C的转动惯量为,对通过圆盘边缘并垂直
8、圆盘的转轴的转动惯量为,通过平行轴定理,可以方便地计算通过任意转轴的转动惯量.,13,例2(P111)质量为mA的物体 A 静止在光滑水平面上,和一质量不计的绳索相连接,绳索跨过一半径为 R、质量为mC的圆柱形滑轮 C,并系在另一质量为mB的物体 B 上.滑轮与绳索间没有滑动,且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计.问：(1)两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？(2)物体 B 从静止落下距离y时,其速率是多少？,4.2 力矩 转动定律 转动惯量,物体A、B 作平动，滑轮作转动.,解(1)当考虑滑轮质量时,跨过滑轮两端 的绳索上张力是不相等的.,对A、B、C分别列牛顿定律及转动定
9、律方程,对系统作隔离受力分析,并建立坐标系如图.,对物体A,对物体B,对圆盘C,转动与平动的联系,/15,14,4.2 力矩 转动定律 转动惯量,对物体A,对物体B,对圆盘C,转动与平动的联系,将上述四个方程联立求解得，,由此可见,如令mC=0,则可得,即当不考虑圆盘质量时,跨过圆盘两端的绳索的张力是相等的.,/15,15,(2)B由静止出发作匀加速直线运动,下落的速率,4.2 力矩 转动定律 转动惯量,得,即,/15,力的作用使物体的运动状态发生变化,产生加速度,即 F=ma;,描述质点平动的物理量有位移、速度、加速度、动量、冲量和动能等.,遵守动量定理:,和动量守恒定律:,对于刚体的转动,力矩的时间累积效应是什么?遵守什么规律?,16,作业:p142 习题 4-1;4-2;4-3;4-9;4-10;4-13;4-18,
