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1、滑雪场定价问题摘 要 本文讨论了影响商品定价的因素，建立需求与供求模型，解决了滑雪场四种交款方式的定价问题。 首先，利用经济学原理分析了影响商品定价时应考虑的各种因素，引入经济学中的需求函数和供求函数，以最大利润为目标，用微分法求出最大利润时的价格，由此得到商品定价时的最优价格。然后，利用商品定价模型，并结合相关数据，得到四种交款方式达在到最大利润时的最优价格（如下表），并做效益(实施措施后每周新增收入)分析。交款方式20次卡年卡俱乐部组团自带雪具交款价格（元）1974.638808075每周新增收入760221740740042172.7611389.4 由此可以看到，销售20次卡的每周新增
2、收入最大，故滑雪场在推行四种措施的同时，应加大对20次卡的宣传，使利润进一步增大。关键词： 商品定价；供求关系；最优价格 一、 问题重述企业为了获得更大的效益，应对商品合理的定价。表面看定得越高越赚钱，可是购买者太少会影响总收入。反过来定得太低时单位商品的利润太低也会使总收入降低。题目要求我们给出确定一个商品价格时所应考虑的各种因素并讨论其间的关系，同时要求最好不要建立产销平衡假设。此外，题目要求给出一个滑雪场的各种交款方式的价格并做效益分析。已知：该滑雪场离市区50公里，因此价格比较高。游客在柜台交款的价格是滑雪每人每天120元（由于离市区较远，来的游客主要是滑一天的）。为了更多地招揽顾客，
3、雪场又想设计几种其他收费方式：1）销售20次卡。顾客一次性购买后，使用时每人每次打一个孔，打满20个孔的卡就作废了，没用完也不再退款；2）年卡。在一年期间内只要滑雪场开放，可随时来滑雪。不计次数和时间，不再收取其他费用，只限固定一人使用，雪场为其提供各种方便条件，购买时需交纳一定费用。每年的雪季长大约是4个月；3）俱乐部组团可享受优惠价格。滑雪场对每个俱乐部指定其中一人为经纪人，该俱乐部组织人员来滑雪时，滑雪场与经纪人结算，然后经纪人再向俱乐部人员收取一定费用。显然，经纪人是会有一定收入的，但滑雪者所交的费用又要比在柜台交时的少；4)自带雪具者由于只用雪场的缆车与雪道，应该享受较低价格。按雪季
4、中平日来客人600人/天，周末来客人2000人/天来估计（不特殊考虑新年和春节）。二、 问题分析2.1对影响产品定价因素的分析产品定价问题，是企业市场营销所面临的一个重要问题。能否为产品确定一个合理的价格，不仅直接关系到需求量的大小和利润的高低，而且直接影响顾客的选购行为。因此，要对确定一个商品价格时所应考虑的各种因素进行分析，才能使企业实现利润的最大化。影响价格的各项因素可以分为两类：一类是生产经营方面的因素，包括成本费用、销售数量、资金周转等；一类是需求竞争方面的因素，包括需求价格弹性，同类产品竞争状况，产品生产周期等。但以下因素是影响价格制定的主要因素：2.1.1成本费用成本费用是产品价
5、格的主要构成部分，直接影响价格水平的高低。很明显成本费用得到补偿是企业获利的前提，通常情况下平均成本费用（即总成本费用与总产量之比）也就成为定价的最低界限。由于成本费用由固定成本费用、变动成本费用两部分构成，前者不随产品种类及数量的变化而变化（如折旧、管理人员、工资等），后者则相反（包括原材料、燃料、部分营销费用等），因而定价时应考虑到它们对价格的不同影响，在特殊情况下产品价格可以低于平均成本费用；但必须高于平均变动成本费用。2.1.2销售数量价格的制定，应当实现价格与销售量的最佳组合，以利于实现最高盈利。由于固定成本费用不随销售量（产量）的变化而变化，变动成本费用则会随销售量的变化而变化（并
6、不是等比变动），因此，在一定数量界限范围内，销量越大，单位成本越低；反之则单位成本越高。在一般情况下，价格会影响销售量的变动，价格高，销售量下降，反之则会增加；而利润总额=销售量（单位商品价格-平均成本费用），所以盈利状况并不只是取决于单位商品价格的高低，而是取决于价格与销售数量之间不同的组合。由于变动成本费用的影响，当销售量达到一定界点时，每再增加一个单位产品的销售量，成本的增加额即边际成本高于此时界点之前单位产品的增加额，边际收入的增加额则会相应减少，所以，并不是销售量无限增大对企业最有利。2.1.3资金周转高价会带来高利，但会延缓资金周转而至损失一部分利益；低价促销会加速资金周转，但却会
7、丧失一部分本可以得到的利益。而加速资金周转是企业的长远利益所在，定价则关系到眼前利益。所以，正确的抉择只能是合理定价，通过选择较低的机会成本在确定定价方案。所谓机会成本，是指利用一定资源获得某种收入时放弃另一种收入。机会成本低意味着放弃的收入低于获取的收入。在面临高价取厚利，低价促周转这两种抉择时，通过比较机会成本来定价，可给企业带来更多盈利。2.1.4需求价格弹性需求价格弹性指需求对价格变动，其大小以表示（取绝对值）。说明两者等比例变化，表明价格变动对销售收入影响不大，定价时即可选择预期盈利率价格或通行的市场价格，但这类产品极少。，说明需求弹性大，价格的变动会引起需求量较大幅度的变化，因此，
8、定价应取薄利多销政策为宜；如需提价，则应谨防销量锐减。说明需求弹性小，价格变动对需求影响不大，定价时则可适当取高价以增加盈利；如果低价，则薄利未必多销。市场供求状况。价格与供求互相影响、相互决定、互为因果。因此，定价必须考虑供求规律的要求。一般要求是：供不应求的产品，价格可以定的高些；反之，则可定的低些。这不仅是企业经营的需要，也有利于促进生产与消费的合理统一，调节生产与消费的矛盾。2.2对四种交款方式的分析滑雪场属于服务性行业，顾客向滑雪场支付一定的费用，滑雪场向顾客提供雪道、滑雪装备等配套设施，相当于商品的买卖与交换。因此，可以利用商品定价的理论来确定门票的价格。某种商品的需求量，是指消费
9、者在一定时期内准备、愿意而且有能力购买的这种商品的数量，在其他条件（例如消费者的偏好、收入等因素）不变的条件下，商品需求量是价格的减函数，这个函数的图像叫做该函数的需求曲线。一般说来，价格升高时需求量下降，因此需求曲线是下降曲线。某种商品的供给量，是指一定时期内生产者愿意并且有能力供应的这种商品的数量。在其他条件（例如成本、技术等因素）不变的条件下，商品的供给量是价格的增函数，它的图像叫做该商品的供给曲线。一般情况下，价格升高时供给量增加，因此供给曲线是上升曲线。企业是以获得最大效益为目的。企业的利润等于销售收入与生产支出之差，可以以此关系建立数学模型并求解。为得到需求函数与供求函数的具体函数
10、表达式，可以对滑雪场平日定价、和采取四种放收款方式后的游客人数进行合理假设，由此来确定参数，对于滑雪场的实际情况而言，只要有掌握历年滑雪人数的数据，并利用本文的计算方法，即可得到符合该滑雪场情况的交款方案。三、模型假设（1）假设每个俱乐部人数按定值考虑；（2）假设滑雪场可变成本站每张票价的30%；（3）假设滑雪场可容纳足够多的游客；（4）假设滑雪场造雪及维修等固定成本与游客人数无关；（5）假设平日来客人600人/天，周末来客人2000人/天为采取四种措施前的客流量，推出措施后会吸引更多游客。四、符号说明商品的需求函数商品的供求函数销售商品的总收入生产商品的总支出企业总利润雪场定价和每周俱乐部组
11、团滑雪次数的关系函数商品一般价格四种交款方式的价格（）企业确定产品的最优价格滑雪场对每个游客的滑雪成本企业生产每件产品的成本时间商品的初始价格价格的调整速度雪场未推出优惠政策时，自带雪具人数所占的比例推出优惠政策后，价格上升一个单位时，每周吸引游客数目推出优惠政策后，价格上升一个单位时，每周从原来人中吸引游客数目滑雪场预计购买年卡的人每年滑雪的次数每个俱乐部的平均人数雪场定格和每周俱乐部组团滑雪次数的关系函数，也是一次需求函数雪场定格和每周俱乐部组团滑雪次数的关系函数的常数项雪场定格和每周俱乐部组团滑雪次数的关系函数的系数项五、模型建立及求解5.1商品定价模型的建立利用利润与收入支出之间的关系
12、建立一个普遍意义上的价格、成本和供求关系之间的关系模型。为获得更普遍的关系，需要假设需求函数和供求函数的具体表达式。在经济学中存在着如下关系：企业利润=销售收入-生产成本设需求与供求函数均为最简单的线性函数,则有：需求函数为： （1） 供求函数为： （2） 总收入为： （3） 总支出为： （4）则企业获得的利润表示为： （5）将（1）（4）式代入（5）式得： （6）上式为得到的价格和各个影响因素之间的普遍关系式。 5.2模型的求解企业的目标是求得利润的最大值，因此可采用微分方法求解。使利润达到最大的最优价格,可以由得到，即有： （7）在数量经济学中称为边际收入（价格变动一个单位时收入的改变量）
13、，称为边际支出（价格变动一个单位时支出的改变量）。式(7)表明，最大利润在边际收入等于边际支出时达到。将（6）式微分得最优价格为： （8）对所得的式子进行如下分析：可理解为产品免费供应时社会的需求量，称“绝对需求量”；表示价格上涨一个单位时销售量下降的幅度（当然也是价格下跌一个单位时销售量上升的幅度），它反映市场需求对价格的敏感程度；可理解为产品免费供应时，厂家的商品生产量；表示价格上涨一个单位时生产量上升的幅度（当然也是价格下跌一个单位时生产量下降的幅度），它反映产品生产对价格的敏感程度。在实际工作中，可由价格和生产和销售的统计数据用拟合方法来确定。结果表示，最优价格是两部分之差，一部分是与
14、绝对需求量成正比，与市场需求对价格的敏感系数成反比，另一部分是与成本和产品生产对价格的敏感系数的乘积成反比，与市场需求对价格的敏感系数成正比。5.3滑雪场四种交款方式的确定滑雪场定价问题是对前面所建立的商品定价模型的推广应用。沿用商品定价模型中各个物理量的意义，对滑雪场的各种收费方式的定价问题进行具体分析。只要求得各种交款方式利润的最大值，即可使滑雪场的利润达到最大，即求得各种收费方式的局部最优解即可看做滑雪场定价的全局最优解。滑雪场计划设计的几种收费方案的目的是为了招揽更多的顾客，获得更大的经济效益。由于滑雪场造雪等固定成本一定，而设备的折旧，雪道的维护费用等可变成本虽与游客数量有关，但通过
15、实际调查发现，现实中的滑雪场会另行收取如雪具出租、滑雪服租借、利用滑雪场各种设施等费用，因此只需计算滑雪场的门票收入当作总利润。为得到滑雪场需求函数，结合供求关系，对滑雪场平日雪场定价与游客人数存在的关系进行假设：表1 平日雪场定价与游客人数的统计关系定价（元）110115120125130人次900720600530480通过MATLAB拟合（见附录1）得到需求函数为：图1 票价与平日滑雪人数的拟合曲线滑雪场周末雪场定价与游客人数存在的对应关系如表2：表2 周末雪场定价与游客人数的统计关系定价（元）110115120125130人次31002400200017501650通过MATLAB拟合
16、（见附录2）得到需求函数为：图2 票价与周末滑雪人数的拟合曲线将滑雪场平日与周末游客人数进行加总，得到滑雪场每周雪场定价与游客人数存在的对应关系如表3：表3 每周雪场定价与游客人数的统计关系定价（元）110115120125130人次107008400700061505700通过MATLAB拟合（见附录5）得到需求函数为： （9）假设滑雪场定价与每周吸引的以俱乐部组团形式的俱乐部滑雪次数存在对应关系如表4：表4 每周雪场定价与俱乐部滑雪次数的统计关系定价（元）110115120125130人次7560504440通过MATLAB拟合（见附录5）得到需求函数为： （10） 无论推出哪种政策，这一
17、地区的滑雪总人数是一定的。即认为对于需求函数中价格为0时，雪场免费开放时，对游客的吸引数量是一定的。下面本文对各种收费方式别进行分析、建立模型及求解。5.3.1销售20卡对于20次卡，滑雪场相当于降低价格吸引游客，增加收益。设20次卡的票价为，则游客每用一次20次卡相当于花费元。由于这种变相的降价将吸引更多的游客，这一部分游客分为两部分：一是来自原来未实施政策时那部分的游客；二是被吸引来新增加的游客。考虑每周的情况，当每周得客流量达到11000人时，即： 解得 = 1974.6 得雪场每周的收入为：最优价格结果元。滑雪场每周净利润（扣除30%的可变成本后）为元。5.3.2销售年卡滑雪场推出年卡
18、，在一年期间内只要滑雪场开放，游客可随时来滑雪，并且不计次数和时间，不再收取其他费用，雪场还为顾客提供各种方便条件如住宿、餐饮、娱乐等服务。这些措施将促使消费者购买这种年卡。滑雪场在推出这种措施时，一定要对购买年卡的人可能的年滑雪次数进行调查预计。设滑雪场通过调查得出购买年卡的游客每年雪季平均滑雪次。年卡的价格定为元，则游客每滑一次雪的价格是元，同样按每周来考虑，在7000人基础上吸引更多游客：考虑每周的情况，当每周年卡客流量达到6000人次时，即： 4个月共120天，如果滑雪爱好者平均每三天滑一次时，应取。解得最优价格 得雪场每周的收入为：最优价格结果元。滑雪场每周净利润（扣除30%的可变成
19、本后）为元。5.3.3俱乐部组团滑雪场在为俱乐部推出优惠措施的时候，必须对本地区俱乐部组织人来滑雪的总次数有相应的统计资料。即平均每日或每周有多少游客是以俱乐部形式参加滑雪的。在票价是120元时，自然有俱乐部组团前来滑雪。当滑雪场推出优惠政策时，以俱乐部形式滑雪的人数会增加，这也是通过降价的形式吸引游客。考虑雪场推出优惠政策后每天增加的收入。设俱乐部组团形式滑雪的每人票价是，每个俱乐部平均人数是，则存在雪场所定价格和每周俱乐部组团滑雪次数的关系函数：由题目中所给的数据知，120元时雪场所定价格和每周俱乐部组团滑雪次数的关系函数为：推出政策后，滑雪场增加的俱乐部的滑雪次数是，从而增加的滑雪人数是
20、，这使得增加的收入为。票价是120元时来滑雪的俱乐部，由于现在降价，将使得滑雪场收入又减少一部分，减少的部分是。综上所述，实施优惠政策后，滑雪场每周增加的收入为： （14）利用微分方法对（14）式两边求导得最优价格为：最优价格元时。取对周收入进行估计，得每周增加的收入（扣除30%的可变成本）为元。5.3.4自带雪具这种收费方式只会吸引自带雪具的滑雪者。一般情况下，一个地区参加滑雪运动的人数是一定的，而拥有雪具的人数也是一定的。这项措施会使拥有雪具的人数增加滑雪的次数。设未推出优惠政策时自带雪具的人数比例为。由题目中给出的精确数据得到价格和自带雪具人数的需求函数为：取分别为0.05，0.1，0.
21、15，0.2，0.25得票价和自带雪具的人数关系见表5。表5 票价和自带雪具的人数关系定价（元）1101151201251303532302825706460565010596908475140128120112100175160150140125利用表5中所对应的人数进行需求函数的MATLAB拟合（见附录3）得：将所得结果代入最优价格表达式,得此时最优价格为91.25元。此时日均增加盈利为396.67元。同理，将分别与对应的人数拟合（见附录4），得需求函数分别为：分别将所得结果代入最优价格表达式，得到最优价格均为91.25元，日均增加盈利分别为793.34元，1109.01元，1586.68
22、元，1983.35元。5.3.5结果分析利用合理假设的数据，通过以上分析，可以得到滑雪场采用这几种措施后每年增加的总的收入为元。从实际价格的确定来看， 20次卡的价格应该定为1974元；年卡的价格应为3880元（其中包括购买年卡时的价格）；俱乐部组团的价格应为每人每次80元，这个价格为滑雪场向经纪人所要的价格，经纪人向俱乐部成员所要的价格会多余这个价格；自带雪具的游客定价应为每人每次75元。由于价格和人数的关系是假设出的，因此和滑雪场真实的人数统计有一定出入，故所得的结果和真实的滑雪场定价有一定的误差。由市场调查可知：雪季林海滑雪场门市价格260元/全天，20次卡售价人民币2980元。这相当与
23、滑一次雪的价格是149元，是原来门市价格的五七折。计算结果是滑一天80元，是门市价格的六七折。对于年卡，实际市场情况下根据门市价格的不同，年卡的价位一般在3000到10000元左右，价位定在3000到4000左右且其中包含购买年卡本身的价钱；对于俱乐部组团的情况，定价是80元，这与一般的组团价格相当，对于经纪人来说，可以从那30元的差价中获得收入；对于自带雪具者的定价，滑雪市场上一般都采用门市价格的五到八折，我们得到的结果是大约90元，是门市价格的七五折。北京普通门市票,20次卡票,年卡票,由经纪人组团,自带雪具的平均价格分别为100元 , 80元 , 70元 , 75元 , 80元。通过以上
24、将计算所得的结果与这些实际的价格比较，可以发现价格的比例符合实际关系。六、模型评价6.1商品定价模型的评价建立的商品定价模型，解决了商业生活中企业对商品的定价问题。对于模型中的需求函数和供求函数，企业可以通过市场调查和企业所掌握的销售及生产与价格统计数据获得，模型具有一定的普遍意义以及推广价值。模型采用简单的微分方法进行求解，结果形式简单，很容易将其推广。此外，模型未考虑除价格外其他客观因素对需求及生产的影响，增大了误差。6.2滑雪场定价模型的评价滑雪场定价问题是对商品定价模型的推广应用。充分利用商品定价模型中的需求函数和利润公式对滑雪场的各种收费方式进行讨论，求得了局部的最优解。由于这四种收
25、费方式并无太大联系，可以认为局部最优解即为整体最优解。也就是说我们所建立的模型就是使滑雪场效益最大的方案。滑雪场可以同时推出这几种方案，就可以得到最大的效益。在解决这个问题时，未把滑雪场的成本考虑在内。但是由于一般的滑雪场的门票价格只包含游客滑雪的价格，不包含出租滑雪器具，滑雪服，衣物保管等与人数有关的可变费用，而雪场造雪，管理等费用又是固定的，与滑雪的人数无关。因此，该模型模型是合理的。七、模型改进与推广7.1商品定价模型的改进和推广模型只确定了商品的最优价格，对确定价格后市场的变化对价格影响未作进一步考虑。因此可建立市场动态均衡价格模型和具有价格预期的市场模型对此后的情况进行考虑，将模型进
26、行补充。首先，应用市场动态均衡价格模型进行讨论。沿用前面需求函数和供求函数的表达式。当供给量和需求量相等时，求得均衡价格。一般情况下，当市场上某种商品的供求量大于需求量时，价格就下跌；当供求量小于需求量时，价格就上涨。价格在市场上的价格是随时间变化的，价格是时间的函数。根据供求关系变化影响价格变化的分析，可以假设时刻价格的变化率与时刻的超额需求量成正比，即设：解得：；其中。由知，这表明，实际价格最终会趋向于均衡价格。其次，应用具有价格预期的市场模型进行讨论。在市场动态均衡价格模型中，和均只取决于现期价格的函数。但是有时买者和卖者不仅将其市场行为建立在现期价格的基础上。因为价格趋势可能使买者和卖
27、者对未来价格做出某些预期，而这些价格预期又会影响其供求决策。在连续时间情况下，价格趋势信息基本上可有两个导数（价格是否上升）和（价格）得到。此时仅讨论供求函数的线性形式，设需求函数和供给函数分别为：其中参数是从原来的市场动态均衡价格模型中带来的，而是新的参数。它们体现的买者与卖者的价格预期。例如，若，价格上升将导致增加。这也许表明，买者预期价格会持续上升，因此，消费者宁可在价格相对较低时增加其购买。而若，表示买者的价格预期与前面正相反，所以他宁愿销减目前的购买而等待价格降低时再购买。参数使得买者的行为也取决于的变化率。因此，新的参数和将价格投机这一因素纳入模型。从卖者的角度看，参数和也有类似的
28、含义。假定在每一时刻，市场是出清的，则具有价格预期的市场模型为：通过以上两个模型的分析，使商品定价模型更加完善。可以将它推广到任意的商品定价问题上。7.2雪场定价模型的改进和推广在整个模型建立过程中，均是以局部最优代替整体最优，在模型的改进方面我们可以直接考虑各种定价的相互影响。同时我们的滑雪场定价问题模型，对市场经济中各种商品的销售，均有一定的指导意义。参考文献1 张从军，李辉，刘玉华等，常见经济问题的数学解析，南京:东南大学出版社，2004年9月第一版；2 洪毅，贺德化，昌志华等，经济数学模型（第二版），广州：华南理工大学出版社，2002年12月第一版；3 姜启源，谢金星，叶俊等，数学模型
29、（第三版），北京：高等教育出版社，2003年8月第一版；4 赵东方，数学模型与计算.北京：科学出版社，2007年第一版；5 谢明文，微积分教程。成都：西南财经大学出版社，2002年第三版。附 录附录1 ：平日雪场定价与游客人数的拟合程序：x=110 115 120 125 130;y=900 720 600 530 480;a0=40000,-1,391;a,resnorm=lsqcurvefit(nihe,a0,x,y);o=nihe(a,x);plot(x,y,O,x,o,-*)xlabel(年份);ylabel(滑雪人数)grid on附录2： 周末雪场定价与游客人数的拟合程序：x=11
30、0 115 120 125 130;y=3100 2400 2000 1750 1650;a0=30000,-5,700;a,resnorm=lsqcurvefit(nihe,a0,x,y);o=nihe(a,x);plot(x,y,O,x,o,-*)xlabel(年份);ylabel(滑雪人数)grid on附录3： 平日雪场自带雪具者定价与游客人数的拟合程序（）：x=110 115 120 125 130;y=75 60 50 44 40;a0=1500,-1,39;a,resnorm=lsqcurvefit(nihe,a0,x,y);x1=110:150;o=nihe(a,x1);plo
31、t(x,y,O,x1,o,-)xlabel(年份);ylabel(滑雪人数)grid on附录4 ：平日雪场自带雪具者定价与游客人数的拟合程序（）： p=110:5:130; f=70 64 60 56 50; polyfit(p,f,1)ans = -0.9600 175.2000 p=110:5:130; f=105 96 90 84 75; polyfit(p,f,1)ans = -1.4400 262.8000 p=110:5:130; f=140 128 120 112 100; polyfit(p,f,1)ans = -1.9200 350.4000 p=110:5:130; f=
32、175 160 150 140 125; polyfit(p,f,1)ans = -2.4000 438.0000附录5 ： 周末雪场定价与俱乐部滑雪次数的拟合程序： p=110:5:130; f=65 60 50 46 40; polyfit(p,f,1)ans = -1.2800 205.8000附录6 ：周末雪场自带雪具者定价与游客人数的拟合程序（）： p=110:5:130; f=118 110 100 90 85; polyfit(p,f,1)ans = -1.7200 307.0000附录7 ： 每周雪场定价与游客人数的拟合程序： p=110:5:130; f=8220 7600 7000 6400 5900; polyfit(p,f,1)ans = 1.0e+004 * -0.0117 2.1040附录8 ： 票价和每周自带雪具的人数的拟合 p=110:5:130; f=411 380 350 320 295 ; polyfit(p,f,1)ans = 1.0e+003 * -0.0058 1.0520
