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1、摘要 本文介绍了一种基于多相分解滤波器实现的Zoom-FFT算法，该算法是在复调制Zoom-FFT算法的基础上，采用多相分解的滤波器代替低通滤波器来实现对局部频谱细化的算法，并且利用多抽取频率系统的网络结构的等效的变换来减少运算量。通过分析表明：这种基于多相分解的局部频谱细化算法不仅保留了常规复调制的Zoom-FFT算法选带细化灵活的优点，而且还很大程度减少了运算量。本论文首先介绍了常规复调制Zoom-FFT算法，然后在复调制的基础上推导了基于多相分解的Zoom-FFT算法，最后讨论了实现方法，并和其他一些Zoom-FFT算法进行了比较，同时给出了仿真结果。 关键词： 频率分辨率 Zoom-F
2、FT 复调制 多相分解滤波器 Abstract This paper introduces a polyphase decomposition filter based on the Zoom-FFT algorithm implementation of the algorithm in the complex modulation of Zoom-FFT algorithm based on the polyphase decomposition of the filter instead of using low-pass filter to achieve the fine local
3、 spectrum of the algorithm, and taking advantage of multi-frequency network structure of the equivalent transformation to reduce computation.The analysis shows: The polyphase decomposition of the local spectrum based thinning algorithm not only retains the conventional complex modulation Zoom-FFT al
4、gorithm with a refinement of flexible benefits option, but also significantly reduces the computational complexity.This paper first describes the conventional complex modulation Zoom-FFT algorithm, and then on the basis of the complex modulation derived polyphase decomposition based Zoom-FFT algorit
5、hm, and finally discusses the implementation method, and some other Zoom-FFT algorithm are compared,while the simulation results. Key Words: frequency resolution zoom-FFT complex modulationpolyphase decomposition filter 目 录第1章 引言1第2章 基于复调制的局部频谱细化算法32.1 复调制zoom-FFT算法实现过程概述及原理图32.2 复调制频移32.3 低通数字滤波42.
6、3.1 数字滤波器的设计42.3.2 低通数字滤波62.4 抽取72.5 复FFT调制72.6 频率调整82.7 基于复调制的局部频谱细化算法综述8第3章 基于多相分解的局部频谱细化算法93.1 多相分解的提出93.2 多相分解滤波器的推导93.3.1 一个定理113.3.2 定理在FFT整序中的应用113.3.3 整序流程图133.4 基于多相分解滤波器zoom-FFT算法实现原理图及改进方案14第4章 基于多相分解的局部频谱细化算法的评估16第5章 基于多相分解的zoom-FFT 算法在MATLAB下的仿真185.1基于复调制的zoom-FFT算法在MATLAB下的仿真195.2基于多相分
7、解的zoom-FFT算法在MATLAB下的仿真245.3 基于多相分解的zoom-FFT算法在不同细化倍数时的结果285.4 结论29结束语31参考文献32致谢33外文资料原文34外文资料译文45第1章 引言在对工程信号的分析中，研究信号的幅值、相位、能量、功率等特征随频率变化的规律，也就是我们最常用的频谱分析法。快速傅里叶变换（FFT）算法是实现离散傅里叶变换（DFT）的一种高效算法，可以快速实现时域到频域的变换。在数字化系统的频谱分析中最重要的和最基础的信号处理，研究和提高FFT算法技术有广泛的使用性和应用价值性。常规的频谱分析是直接采用FFT算法，但是我们往往会碰到比较密集的谱线，而且我
8、们一般只关心一个很窄的频段附近的信号，这就要求有较高的频率分辨率。频率分辨率表示两个频率分量的最小间隔，用表示：=/N，同时N点FFT的乘法运算量为。要提高分辨率，有两种方法：（1）降低采样频率，这样会使频率分析范围缩小，就不能很好地反映出真实信号的特性；（2）增加采样的点数，这样会使得计算机的储存量和计算量成指数增加，同时由于实际软件、硬件的限制，这样做并不现实。因此以上2种方法提高频率分辨率的能力有限而且灵活性差。为了解决只对一个窄频带的范围进行细致观测和要求高分辨率的问题，提出了一种集高的频率分辨率和快速性于一体的先进性的FFT分析技术是局部频率细化技术（又称为zoom技术），其基本思想
9、是对信号频谱中的某一频段局部放大，也即是在某一频率附近局部增加谱线密度，实现可选择的频段分析。70年代以来，已经提出并采用了多种高分辨率FFT算法，具有代表性的算法是：Chirp-z变换法、Yip级联zoom-FFT法、复调制zoom-FFT法、相位补偿法zoom-FFT法等。Chirp-z变换是Lawrence Rabiner在1975年对语音信号进行分析时提出来的，它可以将z平面的单位圆变成一个螺旋线逐渐地从单位原点到单位圆内。信号谱分析可以在z平面上的螺旋线上实现，可以开始于任意一点，结束于另一任意点; 相位补偿法的基本原理: 它是基于N为组合数的快速傅氏变换算法的.为提高频率分辨率,应
10、延长信号记录时间T,若以D为细化因子,则记录信号时间为DT,相应的采样数据为DN.把这个DN输入序列分解成D个子序列,每个子序列由N个采样组成,并且由相距D个取样间隔的那些取样结合在一起 ;复调制zoom-FFT法基本原理是对离散数字信号先做复调制，通过低通滤波后对信号进行重采样提高频率分辨率。上述算法各有长处和不足，其中复调制zoom-FFT法能够对任意给定频率附近的频谱进行细化，且实现方法简单，在工程中得到广泛应用，同时也是目前使用最为广泛的局部频谱细化算法，但是，滤波器的阶数多精度的影响比较大，在高精度要求下复调制zoom-FFT算法中需要对信号高性能的低通滤波器，花费了绝大多数运算量。
11、为此，我们采用多相滤波器方法来实现高性能的低通滤波器，并且利用多抽取系统网络结构等效变换来减少运算量。分析表明：这种基于多相分解滤波器实现的复调制zoom-FFT算法不但保留了复调制zoom-FFT算法选带灵活的特点，而且大大减少了运算量，其运算量仅约为原来的复调制zoom-FFT的算法的，是细化的倍数。基于多相分解的局部频谱细化算法核心问题是将复调制zoom-FFT算法中的低通滤波器使用多相分解的形式来完成对复调制以后的信号进行滤波；重点是对基于多相分解的局部频谱细化算法的推导过程清楚掌握，并且在matlab上完成仿真。本文首先推导了基于多相分解滤波器的zoom-FFT算法，然后讨论该算法的
12、实现方法，并与一些常用的zoom-FFT算法进行比较，最后给出仿真结果。第2章 基于复调制的局部频谱细化算法2.1 复调制zoom-FFT算法实现过程概述及原理图 复调制细化频谱分析方法采用：频移（复调制）低通数字滤波重采样FFT及谱分析频率调整这个过程。 设模拟信号为x(t)，经过滤波和A/D转换以后，得到离散数字信号x(n),为采样频率。为需要细化的频带的中心频率，为细化倍数，N为FFT分析点数。具体实现原理图如图2-1所示. 图2-1 基于复调制zoom-FFT的原理图2.2 复调制频移所谓复调制频移就是将频域坐标向左右移动，使得被观测频段的起点位置在零频位置。模拟信号经过抗混叠滤波和A
13、/D转换以后，得到采样后的离散数字信号，其离散傅里叶变换为： （2.1）N点输入数据直接进行离散傅里叶变换可以得到N根谱线，其中。如果只对其中指定的一组频率谱线研究细化，就是zoom-FFT算法。对离散信号乘上，完成复调制。复调制信号为： （2.2）其中。要使得更加具有普遍性，可以假设为一个整数。复调制信号经过离散傅里叶变换得到频谱为： (2.3)由计算得到=可以表明，复调制使得的频率成分移到了零频点，也就是说的第条谱线移到了零点频谱的地方。由复调制频移过程分析可以知道中心频率是由我们自己决定的，可以根据自己的意愿选择中心频率，因此复调制具有选带灵活的特点。为了得到细化频谱，我们必须对复调制后
14、的频谱进行抽群。如果直接抽取的话，那么频谱会发生频率混叠生，因此在抽取之前必须对信号进行低通滤波，滤出我们所希望的频段，再对信号抽取。2.3 低通数字滤波2.3.1 数字滤波器的设计数字滤波器采用FIR数字滤波器。有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器在保证幅度特性满足技术要求的同时，很容易做成严格的线性相位特性；FIR单位抽样响应是有限长的，因而滤波器一定是稳定的；而且只要经过一定的延时，任何非因果有限长的序列都可以变成因果的有限长序列，因而总能够用因果系统来实现；最后，FIR单位滤波器由于单位冲击响应是有限长的，可以用快速傅里叶变换（FFT）算法来实现，从而可以大大提高运算效率。FIR滤波
15、器的设计任务是选择有限长的单位冲激响应，使得传输函数满足技术要求。我们最常用的FIR滤波器的设计方法是窗函数法。窗函数设计法也称为傅里叶级数法，同时窗函数设计法也是FIR数字滤波器设计中最简单的方法。FIR滤波器的设计问题，就是要使得设计的FIR滤波器的频率响应去逼近所要求的理想的滤波器频率响应。从单位取样响应序列来看，就是使得设计的滤波器的逼近理想的滤波器单位取样响应。由于理想的选频滤波器的频率响应是逐段恒定的，且在频带边界有不连续的点，因此一定是无限长的序列，且是非因果的，故不能采用 来设计所要求的FIR滤波器。实际上要设计FIR滤波器，其必然是有限长的，且因果可以实现的，所以要用有限长的
16、来逼近无限长的，最有效的方法是截断，或者说用一个有限长的窗函数序列来截断，即 (2.4)因此窗函数序列的形状及长度的选择就非常关键。在窗函数法设计中正确选择窗函数可以提高设计的数字滤波器的性能，或者在满足设计要求的情况下，减少FIR数字滤波器的阶数。常用的窗函数有以下几种：矩形窗(Rectangular window)、三角窗(Triangular window)、汉宁窗(Hanning window)、海明窗(Hamming window)、布拉克曼窗(Blackman window)、切比雪夫窗(Chebyshev window)、巴特里特窗(Bartlett window)及凯塞窗(Ka
17、iser window)。各种窗函数性能比较如表2-1所示：窗 函 数第一旁瓣相对于主瓣衰减/dB主 瓣 宽阻带最小衰减/dB矩形窗134/N21三角窗258/N25汉宁窗318/N44海明窗418/N53布拉克曼窗57274凯塞窗可调可调可调切比雪夫窗可调可调可调 表2-1 不同窗函数的性能比较在窗函数设计中我们使用最多的是海明窗。海明窗又称为改进的升余弦窗。对升余弦窗加以改进，可以得到庞瓣更小的效果，窗函数为： (2.5)其频率响应的幅度函数为 (2.6)其结果可将99.963%的能量集中在窗谱的主瓣内，与汉宁窗相比，主瓣宽度同为，但是旁瓣幅度更加小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的1%。 使用定量
18、海明窗设计FIR低通滤波器的实例如图2-2所示： 图2-2 FIR数字低通滤波器设计综上所述我们可以总结出用窗函数法设计FIR滤波器的主要步骤：（1） 给出希望设计的滤波器的频率响应函数；（2） 根据允许的过渡带宽度及阻带衰减，初步选定窗函数及其长度N；（3） 根据技术要求确定待求滤波器的单位取样响应， (2.7) （4）将与窗函数相乘得到FIR数字滤波器的单位取样响应， (2.8) （5）按照如下方法计算FIR数字滤波器的频率响应，并验证是否达到所要求的技术指标： (2.9)2.3.2 低通数字滤波 要保证重新采样后的信号不发生频谱混叠，就必须进行抗混叠滤波，低通数字滤波的主要目的是滤除我们
19、不感兴趣的频段，滤出所需要分析的频段信号分析，因此我们必须给滤波器给定限制条件，设频谱细化的倍数为，则低通数字滤波器的截止频率为。如果数字低通滤波器传输函数，此时滤波器的输出为： (2.10)通过离散傅里叶变换的逆变换得到此时的时域信号序列为： (2.11)考虑到的周期性，上式可以改写成： (2.12)2.4 抽取信号被频移和低通滤波后，分析信号频带变窄，可以对信号进行抽取。抽取最关键的问题是要避免频谱发生混叠。由于的频谱限制在以内，可以进行重采样而不造成混叠，抽取的最大比为。记 ，新的采样率，即对原来的采样点每隔D点再抽取一次（采样的时间间隔为D），经过抽取后得到序列。对应N点序列，序列为点
20、，且满足： (2.13)2.5 复FFT调制 下面分析序列的频谱与输入序列的频谱关系。 (2.14)利用和（是数字Dirac函数），由上式可得： (2.15) 即： 当。由上式可以看出序列的点的DFT实际上就是序列N点的DFT在附近的局部细化值。由于我们与观察分析的频段是中心频率附近的频段，根据分析我们就是要分析序列的点DFT得到的条谱线。重采样后的点离散序列做DFT得到条谱线，其分辨率:，其分辨率提高了倍。2.6 频率调整通过FFT变换以后所得到的频谱位于零频附近，我们关心的是中心频率附近的频谱，因此我们需要通过频移将频谱移动到中心频率附近以便更加好分析。由复调制的过程我们知道复调制后将原始
21、频谱频移到了零频附近，因此，我们可以使用同样的方法多重采样的信号做频移，使我们欲观察的频段位于中心频率附近。将上述谱线移动到实际频率处即得到细化后的频段，则有： (2.16)2.7 基于复调制的局部频谱细化算法综述由以上的五个步骤分析可知，经过分析所得到的结果，完全反应出原来数字序列在某一频率范围内频谱特性。与相同点数的直接FFT相比，这一细化方法所获得的分辨率要高倍。因为直接FFT分析时，频率分辨率，重采样后的分辨率为，因此又被称为细化倍数。第3章 基于多相分解的局部频谱细化算法3.1 多相分解的提出 基于多相分解的局部频谱细化算法是在复调制局部频谱细化算法的基础上对其进行改进得出的。由图2
22、-1可以推导出复调制zoom-FFT算法的运算量，复乘次数为：，其中r为低通数字滤波器的阶数。在要求高精度的条件下，滤波器的阶数r不能太小，因此运算量就很大。同时，从图1可以发现，低通滤波器的输出经过了变采样的操作，因此，我们可以利用多抽取率系统中的网络结构的等效变换原理来减少运算量。为了实现系统结构的变换，低通滤波器需要进行多相分解。 3.2 多相分解滤波器的推导一种让人感兴趣的FIR滤波器的实现是基于传输函数的多相分解所得到得并联结构。我们考虑一个长度为9的因果FIR传输函数： (3.1) 上面的式子可以表示成两项之和，一部分包含了所有的偶系数项，另一部分包含了所有的奇系数项，如下所示：
23、(3.2) 使用记号 (3.3) 我们可以把重新写为： (3.4) 我们用类似的方法可以将写为： 其中： (3.5) 对的以上分解就是通常所说的多相分解。在一般的情况下，如果滤波器的阶数为N，分解成L条支路的多相分解的具体形式为： (3.6) 其中， 当时，。的基于式 的分解实现称为多相实现。 多相分解滤波器实现框图如图3-1所示： . . . 图3-1 多相分解滤波器实现框图 在FIR传输函数的多相实现中，各个子滤波器也是一个FIR滤波器，可以使用同原来一样的方法实现。然而，为了得到整个结构的规范实现，所有的滤波器必须共用延时器。图3说明了通过共用延时器得到长度为N的FIR传输函数的规范型多
24、相实现。 3.3 整序 3.3.1 一个定理定理：个逆序数顺次排列，以中心为对称的任意对数的和都等于证明：由二进制表示方法可知，个逆序数顺次排列时，第一个逆序数是位全0的数，最后一个逆序数是位全是1的数，即可以写为： 00.00,10.00,.,11.10,|,00.01,.,01.11,11.11 其中的|表示中心。显然，00.00+11.11=0+=。其它以中心为对称的任意对数的和为。这是因为二进制位全0的数加一个数没有进位现象，全1的数减一个数没有借位现象。其中 为逆序数。证毕。对于个顺序数顺次排列而言，此定理是平凡的。3.3.2 定理在FFT整序中的应用我们知道实现FFT运算的核心是蝶
25、形运算。在按原位计算时，蝶形图的输出正好是自然序列但是输入却不是自然序列，而是表面上是杂乱无序的，实际是有规律的，即倒序的排列方法。倒序的形成原因是FFT不断对序列进行奇偶分组造成的，重新排列了序列的存放顺序，因为它是按码位倒置顺序排列的。例如，的数可以表示成三位二进制数，时域按奇偶分组的过程如图3 所示。第一次分组，按照的0和1按照奇偶分成两组，相当于偶序列，相当于奇序列。第二次分组按照的0和1分成奇偶两组，依次类推形成图3-2 的树状结构。事实上，只要把二进制码位倒置就可以得对应的二进制倒序。如十进制1（二进制001），其倒序为4（二进制100）。在实际运算中，不可能开始就把输入序列按照倒
26、序排列存放，而往往是按照自然顺序存放，然后采用变址运算来实现倒序。 0 000 0 1 0 100 4 0 0 010 2 1 1 110 6 0 001 1 1 0 101 5 0 1 011 3 1 1 111 7 图3-2 倒序形成的树状结构 已知序列,n为顺序数。要重排列为序列， 满足,m为逆序数。显然，当时，序列中的一些元素要发生交换，才能得到新的序列。为了是问题理解简化，令，如果,则有这样就由对求逆序列数，转化为由 求逆序数 。即按逆序数方式重排下面的序列。 0,1,2,3,4,5,6,7,|8,9,10,11,12,13,14,15 整序结果为 0,5,4,12,2,10，6，1
27、4 | 1,9,5,13,3,11,7,15 对一般情况而言，应是重排下面的序列 我们把中心之前的部分称为前部，把中心以后的部分称为后部。如果依次由0到对上式求逆序数是有浪费的，只要对前部求逆序数即可，理由如下：（1） 由前部的顺序数计算出的逆序数大于顺序数，且逆序数大于时，将发生前部的数和后部的数交换，其实就是 前部的奇数与后部的偶数交换，只要前部的数循环求一遍逆序数，就能够保证前部的所有奇数与后部的所有偶数交换完成。（2） 由前部的顺序数计算出的逆序数等于顺序数时，此时保持不动，无交换发生。亦即前部的这个偶数处于的位置正是它的逆序数处于的位置。按照定理后部中与此数中心对称的那个奇数也保持不
28、动。（3） 有前部的顺序数计算出的逆序数大于顺序数、且逆序数小于时，将发生前部的数与前部的数交换，其实就是前部的两个偶数之间的交换。按照定理，后部中与这两个偶数中心对称的那两个奇数也必须得交换。只有在这种情况下，文中提出的定理起作用。 （4） 由前部的顺序数计算出的逆序数小于顺序数时，无交换发生，以防重复交换。与文中的定理无关。3.3.3 整序流程图整序的流程图如图3-3所示： 图3-3 整序流程图 3.4 基于多相分解滤波器zoom-FFT算法实现原理图及改进方案 基于多相分解滤波器的复调制zoom-FFT算法的实现可以用图5的框图来实现。 整序 . . . 输出细化谱线 图3-4 基于多相
29、分解滤波器实现zoom-FFT算法 利用多抽样率系统中网络结构的等效性变换原理，可以就图6所示的系统结构变换成图3-4所示的系统结构，这种变换对系统特性未作任何改变，却大大减少了运算量。因为图3-4中滤波器是对高速的数据流进行处理，处理的结果只有1/的数据被使用，而图3-5中滤波器是在变速后进行处理，数据流只有输入数据流的1/了。根据3-5我们不难算出基于多相分解滤波器实现的zoom-FFT算法的运算量。复数乘法次数为：。与复调制zoom-FFT算法相比较，其主要运算 数据滤波操作的运算量减少到原来的1/。 整 序 . . . 输出细化谱线 图3-5 基于多相分解滤波器实现zoom-FFT算法
30、第4章 基于多相分解的局部频谱细化算法的评估 基于多相分解的滤波器实现的zoom-FFT算法是在基于复调制的zoom-FFT算法的基础上对其的改进得到的，同时目前还有其他局部频谱细化算法。对基于多相分解滤波器的zoom-FFT算法的性能的评估主要是看其运算量。通过对几种常用的zoom-FFT算法的运算量的比较来评价其性能。Zoom-FFT算法的运算量主要是在运算的复乘次数，因此我们对算法的复乘次数来代替运算量。首先我们来分析直接进行FFT变换和N点zoom-FFT算法的运算量。设直接FFT点数N=,细化的倍数，低通滤波器的阶数为M，只考虑三角运算和复乘法运算，则运算量见表4-1： 算法 三角函
31、数 移频计算 滤波计算 FFT计算量 计算量 量 量 N点FFT 0 0 N点 zoom-FF 示例 N=1024 =128 M=500 N点FFT 262144 0 0 1114112 N点 zoom-FFT 2048 131072 512000 5420 表4-1 直接进行FFT和zoom-FFT算法计算量的比较 从表4-1的定量计算结果我们可以看出，zoom-FFT算法与直接FFT变换相比，zoom-FFT算法虽然增加了移频和滤波器计算，但是三角函数计算量要比直接FFT变换的运算量要小得多，使之最后总的运算量zoom-FFT算法的运算量要比直接作FFT变换的运算量小得多。因此可以看出zo
32、om-FFT算法的有效性和高实用性。 接下来我们分析几种常用zoom-FFT算法的运算量，zoom-FFT算法的运算量主要是取决于算法的复生次数。下面所示的是几种zoom-FFT算法统计复乘次数：多相分解的滤波的zoom-FFT算法： 复调制zoom-FFT算法： Yip级联zoom-FFT算法（未修正）： 相位补偿zoom-FFT算法： 其中r表示的是滤波器的阶数，表示细化倍数，表示输出细化谱线数。 从上面各种zoom-FFT算法的统计复乘次数计算公式可以容易看出，随着细化的倍数的不同，各算法的运算量差异很大。如果滤波器的阶数r=100，输出的局部细化谱线数=64，细化的倍数为分别取1、16
33、、32、64，可以计算出此时的运算量如表4-2所示： Zoom-FFT 算法 =1 =16 =32 =64 多相分解滤波器 6656 7616 8640 10688 复调制zoom-FFT 6656 103616 207040 413888 Yip级联（未修正） 67 2096 5216 12480 相位补偿 67 4096 8192 16384 表4-2 多相分解滤波的zoom-FFT算法与其他常用zoom-FFT算法运算量的定量比较从表4-2的定量计算结果分析可以看出，在高精度要求下直接使用复调制局部频谱细化算法是不行，因为在高精度要求时，滤波器的阶数就会很大，使得算法的运算量非常的大，但
34、是在基于多相分解滤波的复调制zoom-FFT算法能够大大减少复调制zoom-FFT算法的运算量，并且随着细化的倍数的增加，减少的运算量越大。当细化的倍数达到了32时，基于多相分解滤波的zoom-FFT算法运算量比相位补偿zoom-FFT算法，未修正的Yip级联zoom-FFT算法等的运算量都要低。基于多相分解滤波的zoom-FFT算法不仅大大减少了运算量，而且保留了复调制zoom-FFT算法选带细化的灵活性，特别是在高精度要求下，复调制zoom-FFT算法有效性较差，再增加窄带信号情况时基于多相分解的局部频谱细化算法在工程中有有特别的工程意义。 第5章 基于多相分解的zoom-FFT 算法在MATLAB下的仿真 设有模拟信号： 采样频率=2014HZ，采样的点数N=1024,。我们分别采样直接FFT和基于多相分解的局部频谱细化算法来分析信号。 在基于多相分解的局部频谱细化算法是在复调制基础上改进得到的，因此也称为基于多相分解滤波的复调制局部频谱细化算法。在基于多相分解滤波的局部频谱细化算法中，选择细化的带宽分别设为64HZ（细化的倍数为=16），32HZ（细化的倍数为=32）,16HZ（细化的倍数为=6
