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1、第25讲 有界变差函数,基本内容：一单调函数可导性的推论问题1：如果 fn 是单调函数序列，且，不难看出f也是单调 的，从而也几乎处处有有限导数，fn 的导数与 f 的导数有什么关系？等式 是否成立？,第25讲 有界变差函数,(1)Fubini定理问题2：跳跃函数的导数是什么？,推论1(Fubini)设 是 上的单调增加有限函数序列，且 在 上处处收敛到有限函数 f，则。,证明：不妨设，否则可令，对 讨论就行了。记，则 都是单调增加函数，故去掉一个零测集 E 后，都存在。,第25讲 有界变差函数,因 及单调增加，故其导数均非负，从而当 时，。由此得，级数 几乎处处收敛。往证。,第25讲 有界变
2、差函数,由于，对任意自然数 k，可取，使得，但 也是单调增加函数，且，所以,第25讲 有界变差函数,这说明 也是由单调增加函数列 构成的收敛级数，将上面关于 的结论用到 上，得,第25讲 有界变差函数,进而，级数的通项趋于0，即，也即。证毕。,第25讲 有界变差函数,证明：设 是 上的单调增加函数，注意对任意，由推论1立得证明。,推论2 若 是 上跳跃函数，则。,第25讲 有界变差函数,第25讲 有界变差函数,二单调函数导数的可积性问题3：从跳跃函数的导数几乎处处为零可以看出，单调函数的导数未必满足Newton-Leibniz公式，考虑更弱的问题：单调函数的导数是否R-可积？是否L-可积？其导
3、函数的积分与该函数有没有什么关系？,定理5 设 f 是 上的单调增加有限函数，那么 是 上的Lebesgue可积函数，且。,第25讲 有界变差函数,证明：将 f 扩充到 上，对任意，令，并令，它是Riemann可积函数，而且。,第25讲 有界变差函数,注意到,第25讲 有界变差函数,由Fatou引理得,证毕。,第25讲 有界变差函数,应该注意到定理5与牛顿-莱布尼兹公式的差别，此处严格不等式样可能成立的，例如，若，则。于是，但，故，所以。,第25讲 有界变差函数,另外，还应注意到，由定理4，上的单调函数 f 几乎处处有有限导数，因此定理5中导数 不存在的点 x 处可规定 为任意值。这就是说，在
4、一个零测集上可以任意改变函数值不会对 的积分产生影响。,第25讲 有界变差函数,从 我们还看到另一个事实，一个非常值的函数可以有几乎处处等于0的导数，这样的函数称为奇异函数，即下面的定义6 设 f 是 上的有限函数，若在 上，且 f 不恒为常数，则称 f 为 上的奇异函数。,第25讲 有界变差函数,三有界变差函数的定义问题4：a,b上单调函数除了跳跃度总和不超过，其任一分划所对应分点的函数值之差的总和是否必有限？,第25讲 有界变差函数,第25讲 有界变差函数,前面已经看到，单调函数的导数虽然可积但却没有类似的牛顿-莱布尼兹公式，或者说，单调函数不能通过其导数的积分还原。那么，何种函数能满足牛
5、顿一莱尼兹公式呢(当然，这里是相对于Lebesgue积分而言)？这正是下面要讨论的问题。,定义7 设 是 上的有限函数，对 的任一分划，记称 为 f 关于分划 的变差。,第25讲 有界变差函数,第25讲 有界变差函数,若存在常数 M，使对一切分划，都有，则称 为 上的有界变差函数。令，其中 取遍 的所有分划，称 为 f 在 上的总变差。,由定义7不难看出，上有限单调函数 f 都是有界变差函数，且。,第25讲 有界变差函数,四.有界变差函数的性质性质1 若 f 是 上的有界变差函数，则 f 必为有界函数。,第25讲 有界变差函数,证明：若不然，则存在。使，由 f 是有界变差函数知。对任意 n，作
6、 的分划，则,第25讲 有界变差函数,由，得。这与 矛盾，故必为有界函数，证毕。,第25讲 有界变差函数,第25讲 有界变差函数,性质2 若 都是 上的有界变差函数，则对任意常数 也是 上的有界变差函数，且。,证明：设 为 的任一分划，则,第25讲 有界变差函数,所以，证毕。,证明：由性质1知存在 M，使得，设 为 的任一分划：,性质3 设 是 上的有界变差函数，则 也是有界变差函数。,第25讲 有界变差函数,故，证毕。,第25讲 有界变差函数,则,证明：若 f 不为常数，则存在 使得 或，作的分划，则，这与 矛盾，故 f 必为常数，证毕。,性质4 若 f 是 上的有界变差函数，且，则 f 是
7、常数。,第25讲 有界变差函数,第25讲 有界变差函数,性质5 设 f 是 上的有界变差函数，则，特别地，也 f 是 上的有界变差函数。,第25讲 有界变差函数,证明：任取 的一个分划，对应到 的一个分划，于是，进而，证毕。,第25讲 有界变差函数,性质6 设 f 是 上的有界变差函数，c 是 内任一数，则。,证明：由全变差定义，对任意，可以找到分划及分划，使得，。,将 合并起来得 的一个分划，于是由 及得，由 的任意性立得。,第25讲 有界变差函数,第25讲 有界变差函数,反之，对任意，设是 的一个分划，满足，则对任意，存在，使得，于是,进而，任由 的任意性得，所以，证毕。,第25讲 有界变差函数,第25讲 有界变差函数,性质7 若 是 上的有界变差函数列，是有界数列，且 处处收敛到，则 g 也是 上的有界变差函数，且。,所以，证毕。,第25讲 有界变差函数,证明：记，任取 的一个分划，则,END,
