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1、1,4.4 对数的概念及其运算,（1）对数的概念,2,引入,2、解以下方程10 x=10010 x=400,ab=N,1、2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长率为8%，那么经过多少年国民生产总值是2002时的2倍？,已知底数和幂的值，求指数问题。,3,一、对数的概念,如果ab=N(a0,a1)，那么数b就叫作以a为底N的对数记作,叫作底数 叫作以a为底N的对数 叫作真数,a,log,N,b,=,N,b,a,a0,a1bRN0,常用对数：lg x自然对数：ln x,4,例1：求下列各式中x的取值范围,5,例2：指数式、对数式互化,指数化成对数,对数化成指数,6,例3、用计算器计算
2、下列各数的值：（结果精确到0.01）,(1)lg5.24,lg0.02,lg348,lg82,(2)猜想真数为何值时，对数为正或为负；,（3）用指数函数的性质解释你的结论。,7,小结,对数的概念（由指数而来）底数、真数、对数的限制条件指数形式、对数形式互化（底数不变）,解1.08x=2,8,练习：P7练习4.4（1）,9,10,回家作业,练习部分习题4.4A组1，2，3B组1，2,11,homework,12,思考：,计算：lg2;lg200;lg0.002的值，讨论它们的首数与尾数有什么规律？,知识：一个整数的常用对数，都可以写成一个整数加上一个正的纯小数（或零）的形式，其中整数部分叫做常用
3、对数的首数，小数（或零）部分叫做常用对数的尾数。,13,对数的发明,对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢?在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家纳皮尔(JNapier,15501617)男爵在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数学”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数然而，纳皮尔所发明的对数，在形式上与
4、现代数学中的对数理论并不完全一样在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢?在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法让我们来看看下面这个例子：(1)0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，(2)1，2，4，8，16，32，64，126，256，512，1024，2048，4096，8192，16384，这两行数字之间的关系是极为明确的：第(1)行表示2的指数
5、，第(2)行表示2的对应幂如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现比如，计算64256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6，256对应8；然后再把第一行中的对应数字加起来：68=14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64256=16384纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了在“运用对数简化计算”的时候，采用的正是这种思路：计算两个复杂的乘积，先查常用对数表，找到这两个复杂数的常用对数，把这两个常用对数值相加，再通过常用对数的反对数表查出和值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了这种“化乘除为加减”从而达到
6、简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗?经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著奇妙对数定律说明书，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣伟大的导师恩格斯在他的著作自然辩证法中曾经把笛卡儿的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯(Pierre Simon Laplace,17491827)曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”,14,4.4 对数的概念及其运算,2 对数运算法则,15,任取两组M、N
7、完成下表,从中请找出同底的对数有哪些运算性质？并证明其中其中一个性质。并注意每个性质要满足什么条件才能成立,16,同底的积、商、幂对数性质,logaM+logaN=loga(MN)loga(MN)=logaM-logaNlogaMn=nlogaM,a0,a1M,N0,17,练习：判别下列结论是否正确：,注意成立条件,注意括号的重要性,典型的常见错误,18,例1、用 表示下列各式,19,2、计算,20,例3、科学家以里氏震级来度量地震的强度。若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级量度r可定义为r=(2/3)lgI+2,试比较6.9级和7.8级地震的相对能量的比值（精确到个位）,练习：
8、书本P10,21,22,23,小结,a0,a1,M,N0(1)logaM+logaN=loga(MN)(2)loga(MN)=logaM-logaN(3)logaMn=nlogaM,解1.08x=2,24,思考题,21000是几位数,25,回家作业,练习部分习题4.4A组4,5,6B组3，4,26,27,4.4 对数的概念及其运算,（3）换底公式,28,预习,如何利用计算器求其他底的对数？证明换底公式。利用换底公式可得到哪些常见的公式？,解1.08x=2,29,换底公式,常用性质,30,例题1：证明,例题2：求值（1）（2）,31,例3：设x,y,z都是正数，且，求证：,32,例4：已知log182=a,（1）你可以用a表示哪些对数？（2）如何用a来表示log32,33,练习,Page 12 练习4.4(3),，将下列各式用a的代数式表示,试用k表示,Page 2 练习部分习题4.4A组7，8，9B组5，6,34,小结,介绍什么是换底公式?利用换底公式将不同底的对数处理成同底的形式,35,回家作业,Page 2练习部分习题4.4A组7,8,9B组5,6,36,
