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1、拓扑优化算法及其实现,马灿2015年11月30日,拓扑优化简介拓扑优化设计流程算例,内容,拓扑优化：拓扑优化是结构优化的一种。结构优化可分为尺寸优化、形状优化、形貌优化和拓扑优化。尺寸优化以参数为优化对象，比如板厚、梁的截面宽、长和厚等；形状优化以结构件外形或者孔洞形状为优化对象，比如凸台过渡倒角的形状等；形貌优化是在已有薄板上寻找新的凸台分布，提高局部刚度；拓扑优化以材料分布为优化对象，通过拓扑优化，可以在均匀分布材料的设计空间中找到最佳的分布方案。拓扑优化相对于尺寸优化和形状优化，具有更多的设计自由度，能够获得更大的设计空间，是结构优化最具发展前景的一个方面。优化设计过程：将区域离散成足够
2、多的子区域，对这些子区域进行结构分析，再按某种优化策略和准则从这些子区域中删除某些单元，用保留下来的单元描述结构的最优拓扑。,拓扑优化,变密度法Level Set法(水平集法)ICM(独立映射法)ESO(进化法),拓扑优化建模方法,SIMP（Solid Isotropic Microstructures with Penalization）(固体各向同性惩罚函数法）,RAMP（Rational Approximation of Material Properties）（材料属性的理性近似模型）,OC法(优化准则法)MMA法(移动渐进线法)SLP(序列线性规划法）SQP(序列二次规划法),优化求
3、解方法,拓扑优化简介拓扑优化设计流程算例,内容,拓扑优化实现流程,基于99行拓扑优化程序代码top(nelx,nely,volfrac,penal,rmin),SIMP法+OC法,4节点矩形单元,有限元分析,目的：求整体位移矩阵,B、D、t分别代表什么？,整体刚度矩阵,e,划分网格数(nelx,nely),整体节点编排：,局部,(有限元基本方程),U 各节点位移矩阵,目标函数最小柔度(SIMP法),设计变量,本质上，结构拓扑优化是个（0,1）整数规划问题，属于组合优化的范畴。2n次计算有限元分析才能求得全局最优解，是个指数时间算法，非多项式时间算法，随着单元数量n的增加，计算量会激增，也即是困
4、扰组合优化领域的NP难题。,SIMP法,设计变量,密度变量的引入：在工程中，材料的刚度线性依赖材料的密度，即刚度大的材料，密度也大。比如，钢的密度比铝的密度大，因此钢的刚度比铝的刚度大。按照这个朴素的逻辑，就可用单元的密度来代替材料的有无，如下式,(0,1)整数规划问题,0,1区间内的单元密度的连续变量优化问题,优化求解,基本原理,变量约束优化的KT条件：定义在闭区间上的一元函数的优化（仅有变量上下限约束）,基本原理,OC法数学模型,对应于目标函数的拉格朗日函数为：,OC法数学模型,OC法数学模型,优化设计准则,OC法数学模型,优化设计准则,上式即为设计变量的迭代准则。由该式可以看出当柔度取得
5、极值时,在整个设计区域内单元的应变能密度是恒定的常数。由此建立更新设计变量迭代格式：,Imagesc(-x),xnew=max(0.001,max(x-move,min(1.,min(x+move,x.*sqrt(-dc./lmid),优化结果：各单元密度组成的矩阵X,敏度分析,目的：消除棋盘格效应及网格依赖性,方法：1、高阶单元法（计算量大）2、周长约束法（周长约束的上限值需要依靠经验来确定，因为局部尺寸和周长边界间没有直接的关系。如果周长约束边界定得太紧，则可能导致没有计算结果，如果定的太松又达不到预期的效果。因此约束边界很难确定，这种情况在三维问题下特别明显）3、局部梯度约束方法（局部斜
6、率约束属于局部约束，可防止局部细条的形成，从而降低结构拓扑的几何复杂性，但优化结果难以满足全局最佳，并且，这种方法在优化问题中引入了2N(二维)或3N(三维)个额外约束，使计算效率大大降低）4、网格过滤法（网格过滤方法只需定义一个局部长度尺寸，相对较为容易，在约束尺度下的结构变量都被过滤掉。网格过滤方法的优点是不需要在优化问题中加入额外约束，且容易实施。缺点是过滤方法为一种基于启发式求解规则的方法）,敏度分析（sigmund.O）,网格过滤法原理：数字图像处理中的降噪技术,一张图片被离散成有限个像素点，一个像素点代表一个灰度值（256个灰度水平）。假设灰度值是连续变化的。图像处理的一个常见问题
7、是噪音来自电气传感器噪声,噪声传输错误等。主要表现为离散孤立的像素变化,这些地方与其周围通常出现显著的不同。解决方法：线性和非线性 Pratt,(1991)证明了非线性技术优于线性技术。但是非线性技术不能应用于拓扑优化，因为非线性方法常会造成拓扑优化问题的不光滑。,线性技术又分为两种：基于傅里叶变换对的方法（频率）和基于卷积的方法。但是傅里叶变换法只能用于常规的矩形网格。,敏度分析（sigmund.O）,敏度分析,目前 SIMP 方法常用的过滤技术是Sigmund提出的过滤方案，用于修改目标函数的敏度信息：,敏度分析,拓扑优化简介OC法拓扑优化设计流程算例,内容,左边界各节点受横向约束右下角节点受纵向约束,约束情况,F(2,1)=-1;fixeddofs=union(1:2:2*(nely+1),2*(nelx+1)*(nely+1);top(60,20,0.5,3,3),在Matlab中运行程序行top(60,20,0.5,3,3),迭代次数：10,15,30,69,imagesc,悬臂梁,左端固支右端中间作用垂直载荷,F(2*nelx*(nely+1)+nely+2,1)=-1fixeddofs=1:2*(nely+1),top(80,50,0.5,3,3),迭代次数：5,10,29,
