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1、3 可积条件,4 定积分的性质,1定积分概念,5 微积分学基本定理,2 牛顿莱布尼茨公式,第九章 定 积 分,6 定积分的计算,9.1 定积分的概念,一、问题提出,1.曲边梯形的面积,下面讨论曲边梯形的面积,对于多边形的面积，我们在中学就已经会计算了，例如 矩形的面积=底高,显然，曲边梯形的面积不能用这个公式来计算。,虽然曲边梯形的准确面积我们不会计算，但是我们可以用一些小矩形来近似算出它的面积。,分割,用任意的一组分点：,把 a,b 分成 n 个小区间 xi-1,xi i=1,2,n,相应地把曲边梯形分为 n 个小曲边梯形，其面积分别记为Si i=1,2,n,（化整为零）,近似代替,在每个小
2、区间 xi-1,xi 上任取一点i，,其中,（曲转化为直）,于是小曲边梯形的面积,求和,（积零为整）,大曲边梯形的面积,取极限,令,则定义此极限值为曲边梯形的面积,（直转化为曲）,让每个小区间的长度趋于零,求曲边梯形的面积体现了曲转化为直、直转化为曲的辩证思想。这个计算过程，就是一个先微分后积分的过程。也就是说，把曲边梯形分割成许多小曲边梯形，在每个小曲边梯形中，把曲边看成直边，用这些小“矩形”面积的和近似地表示原来大曲边梯形的面积，从而实现了局部的曲转化为局部的直，即“以直代曲”。,然后，再把分割无限加细，通过取极限，就使小矩形面积的和，转化为原来大曲边梯形的面积。这样局部的直又反过来转化为
3、整体的曲。这种曲转化为直，直转化为曲，以及由此所反映出来的化整为零、积零为整的思想方法，是微积分乃至整个高等数学的一个重要方法。,F 虽然是变力，但在很短一段间隔内，F的变化不大，可近似看作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想，,A,B,再看一个变力做功的问题。设 质点 m 受力 的作用，在变力F的作用下，沿直线由 A 点运动到 B 点，求变力作的功,分割,近似代替,在 ti-1,ti 上任取一点i，于是在该小区间上的力,作的功,求和,总功,取极限,令,则定义此极限值为力所做的功,的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以
4、给定积分下一个定义,从上面例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都归结为形如,二、定积分的定义,定义1:在 a,b 内任取一组分点,将 a,b 分成 n个子区间i=xi-1,xi i=1,2,n 这些分点构成a,b 的一个分割，记为,T=x0,x1,xn=1,2,n,注：1由于,因此,可用来反映,2分割,与其模,的关系：,即分割,一旦给出，,就随之确定，但是,的分割,却有无限多个.,被分割的细密程度.,具有同一细度,称此和式为 f 在 a,b 上的一个积分和，也称为黎曼（Riemann）和,定义2:设函数 f(x)在
5、 a,b 上有定义,对a,b的一个分割T=1,2,n，任取点i i,i=1,2,n，作和,显然积分和既与分割,有关，又与所选取,有关,的点集,定义3:设函数 f(x)在 a,b 上有定义,若任给的 0，总存在 0，使得 对a,b的任何分割T=1,2,n，任意的i i,i=1,2,n，只要|T|,就有,则称函数,上可积或黎曼可积.数,称为,上的定积分或黎曼积分,记作,在,在,其中,称为被积函数，,为积分变量，,为积分区间，,分别称为这个定积分,的下限和上限,注1:把定积分定义的,说法和函数极限的,说法对照，便会发现两者有相似的陈述,方式，因此我们也常用极限符号来表达定积分,即把它写作,然而积分和
6、的极限与函数的极限之间有着极大,中，对每一个,来说，,的值是唯一确定的；,并不唯一,的区别：在函数极限,极限变量,而对于积分和的极限而言，每一个,对应积分和的一个值.这使得积分和极限要比,通常的函数极限复杂得多,于是本节开头两个实例都可用定积分记号,注2：可积性是函数的又一分析性质,（连续，可导为以前学过的另外两个分析性质）,据下一节定理9.3知,连续函数是可积的.,来表示,1.曲线 y=f(x)0，直线 x=a，x=b，y=0 所围成的曲边梯形面积可用定积分表示为,2.变力作功问题可表示为,注3 定积分的几何意义.,当 f(x)0，定积分,的几何意义就是曲线 y=f(x)直线 x=a，x=b
7、，y=0 所围成的曲边梯形的面积,当函数 f(x)0，xa,b 时 定积分,就是位于 x 轴下方的曲边梯形面积的相反数.即,对于一般非定号的,而言，定积分,的值,是曲线,在,轴上方部分所有,曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的,负面积的代数和,注 4：定积分数值只与被积函数及积分区间 a,b 有关,与积分变量记号无关,规定当 a=b 时,规定当 a b 时,例 1 求在区间 0,1 上，以抛物线 y=x2为曲边的曲边三角形的面积,解,由定积分的几何意义，有,因为定积分存在，对区间 0,1 取特殊的分割,将区间 0,1 等分成 n 等份,分点为,每个小区间的长度,取,则有,定积分的演示,曲边三角形面积的计算,把底边0,1分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线,这样曲边三角形被分成n个窄条,用矩形来近似代替,然后把这些小矩形的面积加起来,得到一个近似值:,因此,我们有理由相信,这个曲边三角形的面积为:,例2 利用定义计算定积分,解,四、小结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,3.定积分的几何意义及简单应用,思考题,将和式极限：,表示成定积分.,思考题解答,原式,作业：P204 1,2(1)(4).,
