数分定积分概念资料课件.ppt
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1、3 可积条件,4 定积分的性质,1定积分概念,5 微积分学基本定理,2 牛顿莱布尼茨公式,第九章 定 积 分,6 定积分的计算,9.1 定积分的概念,一、问题提出,1.曲边梯形的面积,下面讨论曲边梯形的面积,对于多边形的面积,我们在中学就已经会计算了,例如 矩形的面积=底高,显然,曲边梯形的面积不能用这个公式来计算。,虽然曲边梯形的准确面积我们不会计算,但是我们可以用一些小矩形来近似算出它的面积。,分割,用任意的一组分点:,把 a,b 分成 n 个小区间 xi-1,xi i=1,2,n,相应地把曲边梯形分为 n 个小曲边梯形,其面积分别记为Si i=1,2,n,(化整为零),近似代替,在每个小
2、区间 xi-1,xi 上任取一点i,,其中,(曲转化为直),于是小曲边梯形的面积,求和,(积零为整),大曲边梯形的面积,取极限,令,则定义此极限值为曲边梯形的面积,(直转化为曲),让每个小区间的长度趋于零,求曲边梯形的面积体现了曲转化为直、直转化为曲的辩证思想。这个计算过程,就是一个先微分后积分的过程。也就是说,把曲边梯形分割成许多小曲边梯形,在每个小曲边梯形中,把曲边看成直边,用这些小“矩形”面积的和近似地表示原来大曲边梯形的面积,从而实现了局部的曲转化为局部的直,即“以直代曲”。,然后,再把分割无限加细,通过取极限,就使小矩形面积的和,转化为原来大曲边梯形的面积。这样局部的直又反过来转化为
3、整体的曲。这种曲转化为直,直转化为曲,以及由此所反映出来的化整为零、积零为整的思想方法,是微积分乃至整个高等数学的一个重要方法。,F 虽然是变力,但在很短一段间隔内,F的变化不大,可近似看作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想,,A,B,再看一个变力做功的问题。设 质点 m 受力 的作用,在变力F的作用下,沿直线由 A 点运动到 B 点,求变力作的功,分割,近似代替,在 ti-1,ti 上任取一点i,于是在该小区间上的力,作的功,求和,总功,取极限,令,则定义此极限值为力所做的功,的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来,作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以
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