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1、第2章 时域离散信号和系统的频域分析,2.1 引言 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系 2.5 序列的Z变换 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性,2.1 引言,我们知道信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频域分析方法。在模拟领域中，信号一般用连续变量时间t的函数表示，系统用微分方程描述。为在频域进行分析，用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时域函数转换到频域。而在时域离散信号和系统中，信号用序列表示，其自变量仅取整数，系统用差分方程描述。,频域分析是用Z变换或傅里叶变换
2、这一数学工具。其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换，它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的，但都是线性变换，很多性质是类似的。本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换分析系统和信号频域特性。本章学习内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础。,2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质,2.2.1 序列傅里叶变换的定义 定义,(2.2.1),为序列x(n)的傅里叶变换，可以用FT(Fourier Transform)缩写字母表示。FT成立的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：,(2.2.2),为求FT的反变换，用e jn乘(2.2.1)式两边，并在-内对进行积分，得到,(2.
3、2.3),(2.2.4),式中,因此,上式即是FT的逆变换。(2.2.1)和(2.2.4)式组成一对傅里叶变换公式。(2.2.2)式是FT存在的充分必要条件，如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，例如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来，这部分内容在下面介绍。,例 2.2.1 设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT,解：,(2.2.5),设N=4，幅度与相位随变化曲线如图2.2.1所示。,图 2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线,2.2.2 序列傅里叶变换的性质1.FT的周期性在定义(2.2.1)式中，n取整数，因此下式成立,M为整数(2.2.6),因此序列的傅里叶变换是频率
4、的周期函数，周期是2。这样X(ej)可以展成傅里叶级数，其实(2.2.1)式已经是傅里叶级数的形式，x(n)是其系数。,图 2.2.2 cosn的波形,2.线性,那么,设,式中a,b为常数 3.时移与频移 设X(e j)=FTx(n)，那么,(2.2.7),(2.2.8),(2.2.9),4.FT的对称性 在学习FT的对称性以前，先介绍什么是共轭对称与共轭反对称以及它们的性质。设序列xe(n)满足下式：xe(n)=x*e(-n)(2.2.10)则称xe(n)为共轭对称序列。为研究共轭对称序列具有什么性质，将xe(n)用其实部与虚部表示 xe(n)=xer(n)+jxei(n)将上式两边n用-n
5、代替，并取共轭得到 x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n),对比上面两公式，左边相等，因此得到 xer(n)=xer(-n)(2.2.11)xei(n)=-xei(-n)(2.2.12)由上面两式得到共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。类似地可定义满足下式的称共轭反对称序列 xo(n)=-x*o(-n)(2.2.13),将x0(n)表示成实部与虚部如下式：xo(n)=xor(n)+jxoi(n)可以得到 xor(n)=-xor(-n)(2.2.14)xoi(n)-xoi(-n)(2.2.15)即共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。,例 2.2.2 试分析x(n)=e
6、 jn的对称性 解：将x(n)的n用-n代替，再取共轭得到：x*(-n)=e jn 因此x(n)=x*(-n)，满足(2.2.10)式，x(n)是共轭对称序列，如展成实部与虚部，得到 x(n)=cosn+j sinn 由上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。,对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即 x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.16)式中xe(n),xo(n)可以分别用原序列x(n)求出，将(2.2.16)式中的n用-n代替，再取共轭得到 x*(-n)=xe(n)-xo(n)(2.2.17)利用(2.2.16)和(2.2.17)两式，得到,(2.2.
7、18),(2.2.19),利用上面两式，可以分别求出xe(n)和xo(n)。对于频域函数X(ej)也有和上面类似的概念和结论：X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej)(2.2.10)式中Xe(ej)与Xo(ej)分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分，它们满足 Xe(ej)=X*e(e-j)(2.2.21)Xo(ej)=-X*o(e-j)(2.2.22)同样有下面公式满足：,(2.2.23),(2.2.24),(a)将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)x(n)=xr(n)+jxi(n)将上式进行FT，得到 X(e j)=Xe(e j)+Xo(e j),式中,上面两式中，xr(n)和xi
8、(n)都是实数序列，容易证明Xe(ej)满足(2.2.21)式，有共轭对称性，它的实部是偶函数，虚部是奇函数。Xo(ej)满足(2.2.22)式，具有共轭反对称性质，其实部是奇函数，虚部是偶函数。,最后得到结论：序列分成实部与虚部两部分，实部对称的FT具有共轭对称性，虚部和j一起对应的FT具有共轭反对称性。(b)将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，即 x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.25)将(2.2.18)式和(2.2.19)式重定如下：,将上面两式分别进行FT，得到FTxe(n)=1/2X(ej)+X*(ej)=ReX(ej)=XR(ej)FTxo(n)=1
9、/2X(ej)-X*(ej)=jImX(ej)=jXI(ej)因此对(2.2.25)式进行FT得到：X(ej)=XR(ej)+jXI(ej)(2.2.26),(2.2.26)式表示序列的共轭对称部分xe(n)对应着FT的实部XR(ej)，而序列的共轭反对称部分xo(n)对应着FT的虚部。,因为h(n)是实序列，其FT只有共轭对称部分He(ej)，共轭反对称部分为零。H(ej)=He(ej)H(ej)=H*(e-j)因此实序列的FT的实部是偶函数，虚部是奇函数，用公式表示为 HR(ej)=HR(e-j)HI(ej)=-HI(e-j),按照(2.2.18)和(2.2.19)式得到 h(n)=he(
10、n)+ho(n)he(n)=1/2h(n)+h(-n)ho(n)=1/2h(n)-h(-n)因为h(n)是实因果序列，按照上面两式he(n)和ho(n)可以用下式表示：,(2.2.27),(2.2.28),实因果序列h(n)分别用he(n)和ho(n)表示为 h(n)=he(n)u+(n)(2.2.29)h(n)=ho(n)u+(n)+h(o)(n)(2.2.30),(2.2.31),例 2.2.3 x(n)=anu(n);0a1;求其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)。解：x(n)=xe(n)+xo(n)按(2.2.2)式得到,按照(2.2.28)式得到,图 2.2.3 例2.2.3图,5.
11、时域卷积定理 设 y(n)=x(n)*h(n),则 Y(e j)=X(e j)H(e j)(2.2.32)证明,令k=n-m,该定理说明，两序列卷积的FT，服从相乘的关系。对于线性时不变系统输出的FT等于输入信号的FT乘以单位脉冲响应FT。因此求系统的输出信号，可以在时域用卷积公式(1.3.7)计算，也可以在频域按照(2.2.32)式，求出输出的FT，再作逆FT求出输出信号。,6.频域卷积定理 设y(n)=x(n)h(n)(2.2.33),7.帕斯维尔(Parseval)定理,(2.2.34),帕斯维尔定理告诉我们，信号时域的总能量等于频域的总能量。要说明一下，这里频域总能量是指|X(e j)
12、|2在一个周期中的积分再乘以1/(2)。最后表2.2.1综合了FT的性质，这些性质在分析问题和实际应用中是很重要的。,表 2.2.1 序列傅里叶变换的性质,2.3 周期序列的离散傅里叶级数 及傅里叶变换表示式,2.3.1周期序列的离散傅里叶级数 设 是以N为周期的周期序列，由于是周期性的，可以展成傅里叶级数,(2.3.1),式中ak是傅里叶级数的系数。为求系数ak，将上式两边乘以，并对n在一个周期N中求和,(2.3.2)式的证明，作为练习自己证明。因此 上式中，k和n均取整数，当k或者n变化时，是周期为N的周期函数，可表示成,(2.3.2),-k(2.3.3),取整数,上式中 也是一个以N为周
13、期的周期序列，称为 的离散傅里叶级数，用DFS(Discrete Fourier Series)表示。如对(2.3.4)式两端乘以，并对k在一个周期中求和，得到,同样按照(2.3.2)式，得到,(2.3.5),将(2.3.4)式和(2.3.5)式重写如下：,(2.3.6)式和(2.3.7)式称为一对DFS。(2.3.5)式表明将周期序列分解成N次谐波，第k个谐波频率为k=(2/N)k,k=0,1,2 N-1，幅度为。其波分量的频率是2/N，幅度是。一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。,(2.3.6),(2.3.7),例 2.3.1设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进
14、 行周期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列，周期为8，求 的DFS。解：按照(2.3.4)式,2.3.2 周期序列的傅里叶变换表示式 在模拟系统中，其傅里叶变换是在=o处的单位冲激函数，强度是2，即,(2.3.8),对于时域离散系统中，x(n)=e jon，2/o为有理数，暂时假定其FT的形式与(2.3.8)式一样，也是在=0处的单位冲激函数，强度为2，但由于n取整数，下式成立,取整数,上式表示复指数序列的FT是在02r处的单位冲激函数，强度为2如科2.3.2所示。但这种假定如果成立，要求按照(2.2.4)式的逆变换必须存在，且唯一等于，下面进行验证，按照(2.2.4)式,因此e j
15、0n的FT为,(2.3.9),图 2.3.2 的 FT,观察图2.3.2，在区间，只包括一个单位冲激函数，等式右边为，因此得到下式：对于一般周期序列，按(2.3.4)式展开DFS，第k次谐波为，类似于复指数序列的FT，其FT为，因此 的FT如下式,式中k=0,1,2 N-1,如果让k在之间变化，上式可简化成,(2.3.10),表 2.3.2 基本序列的傅里叶变换,对(a)式进行FT，得到,例 2.3.2求例2.3.1中周期序列的FT。解：将例2.3.1中得到的 代入(2.3.10)式中得到,其幅频特性如图2.3.3所示。,例 2.3.3令，2/0为有理数，求其FT。解：将 用欧拉公式展开,(2
16、.3.11),按照(2.3.9)式，其FT推导如下：,上式表明cos0n的FT，是在=0处的单位冲激函数，强度为，且以2为周期进行延拓，如图2.3.4所示。,图 2.3.4 cos0n的FT,2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系,我们知道模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换式用下面公式描述,(2.4.1),(2.4.2),这里t与的域均在之间。从模拟信号幅度取值考虑，在第一章中遇到两种信号，即连续信号和采样信号，它们之间的关系用(1.5.2)式描述，重写如下：采样信号 和连续信号xa(t)，它们傅里叶变换之间的关系，由采样定理(1.5.5)式描述，重写如下：,下面我们
17、研究如果时域离散信号x(n)，或称序列x(n)，是由对模拟信号xa(t)采样产生的，即在数值上有有下面关系式成立：x(n)=xa(nT)(2.4.3)注意上面式中n取整数，否则无定义。x(n)的一对傅里叶变换用(2.2.1)式和(2.2.4)式表示，重写如下：,X(e j)与Xa(j)之间有什么关系，数字频率与模拟频率(f)之间有什么关系，这在模拟信号数字处理中是很重要的问题。为分析上面提出的问题，我们从(2.4.3)式开始研究。将t=nT代入(2.4.2)式中，得到,(2.4.4),在第一章中曾得到结论，如果序列是由一模拟信号取样产生，则序列的数字频率与模拟信号的频率(f)成线性性关系，如(
18、1.2.10)式所示，重写如下：=T,式中T是采样周期T=1/fs，将(1.2.10)式代入(2.4.5)式得到,现在对比(2.4.1)式和(2.4.6)式，得到,(2.4.6),(2.4.7),上面(2.4.7)式即表示序列的傅里叶变换X(ej)和模拟信号xa(t)的傅里叶变换Xa(j)之间的关系式，我们将(2.4.7)式与(1.5.5)式对比，得到结论：序列的傅里叶变换和模拟信号的傅里叶变换之间的关系，与采样信号、模拟信号分别的FT之间的关系一样，都是Xa(j)以周期s=2/T进行周期延拓。,例 2.4.1设xa(t)=cos(2f0t)，f0=50Hz以采样频率fs=200Hz对xa(t
19、)进行采样，得到采相信号 和时域离散信号x(n)，求xa(t)和 的傅里叶变换以及x(n)的FT。解：,(2.4.8),Xa(j)是=2f0处的单位冲激函数，强度为，如图2.4.2(a)所示。以fs=200Hz对xa(t)进行采样得到采样信号，按照(1.5.2)式，与xa(t)的关系式为,的傅里叶变换用(1.5.5)式确定，即以s=2fs为周期，将Xa(j)周期延拓形成，得到：,(2.4.9),如图2.4.2(b)所示。将采样信号转换成序列x(n)，用下式表示：x(n)=xa(nT)=cos(2f0nT),按照(2.4.7)式，得到x(n)的FT，只要将=/T=fs代入 中即可。,将fs=20
20、0Hz，f0=50Hz代入上式，求括弧中公式为零时值，=2k/2，因此X(ej)用下式表示：,(2.4.10),图 2.4.2 例2.4.1图,2.5 序列的Z变换,2.5.1 Z变换的定义 序列x(n)的Z变换定义为,(2.5.1),式中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。注意在定义中，对n求和是在之间求和，可以称为双边Z变换。还有一种称为单边Z变换的定义，如下式,(2.5.2),使(2.5.3)式成立，Z变量取值的域称为收敛域。一般收敛域用环状域表示,这种单边Z变换的求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，用双边Z变换对信号进行分析和变换。(2.5.1)式Z变换存在的条件是等号右边级
21、数收敛，要求级数绝对可和，即,(2.5.3),图 2.5.1 Z变换的收敛域,对比序列的傅里叶变换定义(2.2.1)式，很容易得到FT和ZT之间的关系，用下式表示：,(2.5.4),式中z=e j表示在z平面上r=1的圆，该圆称为单位圆。(2.5.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。如果已知序列的Z变换，可用(2.5.4)式方便的求出序列的FT，条件是收敛域中包含单位圆。例 2.5.1 x(n)=u(n)，求其Z变换。解：X(z)存在的条件是|z-1|1，,|z|1,2.5.2 序列特性对收敛域的影响 序列的特性决定其Z变换收敛域，了解序列特性与收敛的一些一般关系，对使用Z变换是很
22、有帮助的。1.有限长序列 如序列x(n)满足下式：x(n)n1nn2 x(n)=0 其它,即序列x(n)从n1到n2序列值不全为零，此范围之外序列值为零，这样的序列称为有限长序列。其Z变换为,设x(n)为有界序列，由于是有限项求和，除0与丙点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个z平面均收敛。如果n10，则收敛域不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括z=点。具体有限长序列的收敛域表示如下：,n10时，00时，0z 例 2.5.2求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域 解：,这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为0z。2.右序列 右序列是在nn1时，序列值不全为零，而其它nn1，序列值全
23、为零。,第一项为有限长序列，设n1-1，其收敛域为0|z|。第二项为因果序列，其收敛域为Rx-|z|，Rx-是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为Rx-|z|。如果是因果序列，收敛域定为Rx-|z|。,例 2.5.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域 解：,在收敛域中必须满足|az-1|a|。3.左序列 左序列是在nn2时，序列值不全为零，而在nn1，序列值全为零的序列。左序列的Z变换表示为,如果n20，则收敛域为0|z|Rx+。例 2.5.4求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。,X(z)存在要求|a-1 z|1，即收敛域为|z|a|,4.双边序列 一个双边
24、序列可以看作一个左序列和一个右序列之和，其Z变换表示为,X(z)的收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的公共收敛区域。如果Rx+Rx-，其收敛域为Rx-|z|Rx+，这是一个环状域，如果Rx+Rx-，两个收敛域没有公共区域，X(z)没有收敛域，因此X(z)不存在。例2.5.5 x(n)=a|n|，a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域。解：,第一部分收敛域为|az|a|。如果|a|1，两部分的公共收敛域为|a|z|a|-1，其Z变换如下式：,|a|z|a|-1,如果|a|1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。当0a1时，x(n)的波形及X(z)的收敛域如图2.5.2所示。,图 2.5.2 例
25、2.5.5图,2.5.3 逆Z变换 已知序列的Z变换及其收敛域，求序列称为逆Z变换。序列的Z变换及共逆Z变换表示如下：,(2.5.5),1.用留数定理求逆Z变换 如果X(z)zn-1在围线c内的极点用zk表示，根据留数定理,(2.5.6),式中 表示被积函数X(z)zn-1在极点z=zk的留数，逆Z变换则是围线c内所有的极点留数之和。如果zk是单阶极点，则根据留数定理,(2.5.7),例 2.5.6 已知X(z)=(1-az-1)-1，|z|a，求其逆Z变换x(n)。,为了用留数定理求解，先找出F(z)的极点，极点有：z=a;当n0时z=0共二个极点，其中z=0极点和n的取值有关。n0时，n=
26、0不是极点。n0时，z=0是一个n阶极点。因此分成n0和n0两种情况求x(n)。n0 时，,n0时，增加z=0的n阶极点，不易求留数，采用留数辅助定理求解，检查(2.5.10)式是否满足，此处n0，只要N-N0，(2.5.10)式就满足。,图 2.5.4 例2.5.6中n0时F(z)极点分布,例 2.5.7已知，求其逆变换x(n)。解：该例题没有给定收敛域，为求出唯一的原序列x(n)，必须先确定收敛域。分析X(z)，得到其极点分布如图2.5.5所示。图中有二个极点z=a和z=a-1，这样收敛域有三种选法，它们是(1)|z|a-1|，对应的x(n)是右序列；(2)|a|z|z-1|，对应的x(n
27、)是双边序列；(3)|z|a|，对应的x(n)是左序列。,图 2.5.5 例2.5.7 X(z)极点分布图,下面按照收敛域的不同求其x(n)。(1)收敛域|z|a-1|,种收敛域是因果的右序列，无须求n0时的x(n)。当n0时，围线积分c内有二个极点z=a和z=a-1，因此,最后表示成：x(n)=(an-a-n)u(n)。(2)收敛域|z|a|这种情况原序列是左序列，无须计算n0情况，当n0时，围线积分c内没有极点，因此x(n)=0。n0时，c内只有一个极点z=0，且是n阶极点，改求c外极点留数之和,最后将x(n)表示成 x(n)=(a-n-an)u(-n-1)(3)收敛域|a|z|a-1|这
28、种情况对应的x(n)是双边序列。根据被积函数F(z)，按n0和n0两情况分别求x(n)。n0时，c内极点z=a x(n)=ResF(z),a=an,n0时，c内极点有二个，其中z=0是n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有z=a-1，因此 x(n)=-ResF(z),a-1=a-n 最后将x(n)表示为 an n0 x(n)=x(n)=a|n|a-n n0,1-az-1,例 2.5.9 已知求 其逆Z变换x(n)。解：由收敛域判定，x(n)是左序列，用长除法将X(z)展成正幂级数,3.部分分式展开法 对于大多数单阶极点的序列，常常用这种部分分式展开法求逆Z变换。设x(n)的Z变换X(z)是有
29、理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表(参考表2.5.1)求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列x(n)。设X(z)只有N个一阶极点，可展成正式,观察上式，X(z)/z在z=0的极点留数就是系数A0，在z=zm的极点留数就是系数Am。,(2.5.11),(2.5.12),(2.5.13),(2.5.14),求出Am系数(m=0,1,2,N)后，很容易示求得x(n)序列。,例2.5.10已知，求逆Z变换。,解,因为收敛域为22。第二部分极点z=-3，收敛域应取|z|3。查表2.5.1得到 x(n)=anu(n)+(-3)nu(-n-1)一
30、些常见的序列的Z变换可参考表2.5.1。,表2.5.1 常见序列Z变换,2.5.4 Z 变换的性质和定理 Z变换有许多重要的性质和定理，下面进行介绍。1.线性 设 X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+Y(z)=ZTy(n),Ry-|z|Ry+则 M(z)=ZTm(n)=aX(z)+bY(z),R m-|z|R m+(2.5.15)Rm+=min Rx+,Ry+Rm-=max Rx,Ry-,这里M(z)的收敛域(Rm-，Rm+)是X(z)和Y(z)的公式收敛域，如果没有公共收敛域，例如当 R x+R x-R y+R y-时，则M(z)不存在。2.序列的移位 设X(z)=ZTx(n),R x
31、-|z|R x+则ZTx(n-n0)=z-n0X(z),R x-|z|R x+(2.5.16),3.乘以指数序列 设 X(z)=ZTx(n),R x-|z|R x+y(n)=anx(n),a为常数 则 Y(z)=ZTanx(n)=X(a-1 z)|a|R x-|z|a|R x+(2.5.17),4.序列乘以n设,则,(2.5.18),5.复序列的共轭 设,则,证明,(2.5.19),6.初值定理 设 x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(n),(2.5.20),7.终值定理 若x(n)是因果序列，其Z变换的极点，除可以有一个一阶极点在z=1上，其它极点均在单位圆内，则,(2.5.21),8.序
32、列卷积 设,则,例2.5.11已知网络的单位取样响应h(n)=anu(n),|a|1，网络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列y(n)。解：y(n)=h(n)*x(n)求y(n)可用二种方法，一种直接求解线性卷积，另一种是用Z变换法。,由收敛域判定y(n)=0,n0。n0 y(n)=ResY(z)z n-1,1+ResY(z)z n-1,a,将y(n)表示为,9.复卷积定理如果 ZTx(n)=X(z)，R x-|z|R x+ZTy(n)=Y(z),R y-|z|R y+w(n)=x(n)y(n)则,W(z)的收敛域,(2.5.24)式中v平面上，被积函数的收敛域为,(2.5.24),(
33、2.5.25),(2.5.26),例2.5.12已知x(n)=u(n),y(n)=a|n|，若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZTw(n)解：,W(z)收敛域为|a|z|；被积函数v平面上收敛域为max(|a|,0)|v|min(|a-1|,|z|)，v平面上极点：a、a-1和z,c内极点z=a。,10.帕斯维尔(Parseval)定理 利用复卷积定理可以证明重要的帕斯维尔定理。,那么,v平面上，c所在的收敛域为,2.5.5 利用Z变换解差分方程 在第一章中介绍了差分方程的递推解法，下面介绍Z变换解法。这种方法将差分方程变成了代数方程，使求解过程简单。设N阶线性常系数差方程为,(2.5
34、.30),1.求稳态解 如果输入序列x(n)是在n=0以前时加上的，n时刻的y(n)是稳态解，对(2.5.30)式求Z变换，得到,式中,(2.5.31),(2.5.32),2.求暂态解 对于N阶差分方程，求暂态解必须已知N个初始条件。设x(n)是因果序列，即x(n)=0,n0，已知初始条件y(-1),y(-2)y(-N)。对(2.5.30)式进行Z变换时，注意这里要用单边Z变换。方程式的右边由于x(n)是因果序列，单边Z变换与双边Z变换是相同的。下面先求移位序列的单边Z变换。设,(2.5.33),按照(2.5.33)式对(2.5.30)式进行单边Z变换,(2.5.34),例2.5.13已知差分
35、方程y(n)=by(n-1)+x(n)，式中x(n)=anu(n),y(-1)=2，求y(n)。解：将已知差分方程进行Z变换,式中，,于是,收敛域为|z|max(|a|,|b|)，,式中第一项为零输入解，第二项为零状态解。,2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性,2.6.1 传输函数与系统函数 设系统初始状态为零，输出端对输入为单位脉冲序列(n)的响应，称为系统的单位脉中响应h(n)，对h(n)进行傅里叶变换得到H(e j),(2.6.1),一般称H(e j)为系统的传输函数，它表征系统的频率特性。,设h(n)进行Z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统的系统函数，它表征了系统的复频域特
36、性。对N阶差分方程(1.4.2)式，进行Z变换，得到系统函数的一般表示式,(2.6.2),如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，H(e j)与H(z)之间关系如下式：,(2.6.3),2.6.2用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性 因果(可实现)系统其单位脉响应h(n)一定满足当n0时，h(n)=0，那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含点，即点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。系统稳定要求，对照Z变换定义，系统稳定要求收敛域包含单位圆。如果系统因果且稳定，收敛域包含点和单位圆，那么收敛域可表示为 r|z|，0r1,例2.6.1已知 分析其因果性和稳定性.解：H(z)的极点为z=a，z=a-1，如图2.5.5所示。(1)收敛域a-1|z|，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应h(n)=(an-a-n)u(n)(参考例题2.5.7)，这是一个因果序列，但不收敛。(2)收敛域0|z|a,对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(参考例题2.5.7)，这是一个非因果且不收敛的序列。,(3)收敛域a|z|a-1，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列。,
